3.2 微分和求导法则 函数的和、差、积、商的微分与求导法则 反函数的微分与求导法则 复合函数的微分与求导法则 基本求导法则与导数公式 3.2 微分和求导法则 函数的和、差、积、商的微分与求导法则 反函数的微分与求导法则 复合函数的微分与求导法则 基本求导法则与导数公式 小结 思考题 第三章 导数与微分 导数与微分
一、和、差、积、商的微分与求导法则 定理1
证(1)、(2)略. 证(3)
推论
例 解 例 解
例 解 同理可得
例 解 同理可得 例 解 同理可得
二、反函数的微分与导数 定理2 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
证 于是有 可得, 得证.
例 解 同理可得
三、复合函数的微分与求导法则 定理3 即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
证 得证.
推广 例 解
例 解 例 解
例 解 例 解
反双曲函数的导数 同理
微分形式的不变性 结论： 微分形式的不变性
例 解 法一 用复合函数求导公式 法二 用微分形式不变性 在计算中也可以不写中间变量,直接利用微分形式不变性.
例 在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立. 解
四、运算法则与运算公式 1.常数和基本初等函数的导数公式
2.函数的和、差、积、商的求导法则 设 ) ( ), x v u = 可导，则 （ 1 ） ¢ , 2 c cu 3 4 . ( 是常数) uv + 4 ¹ - . ( 是常数)
3.复合函数的求导法则
4.反函数的导数 利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全 决. 注意:初等函数的导数仍为初等函数.
例 解
( ) 练习 ? . , 3 sin 可导 其中函数 的导数 求 f x y = ) 3 (sin x f ¢ ] ) 3 (sin [ ¢ 解 则 注 上式中 是函数 f 对括号中的中间 ) 3 (sin x f ¢ 变量求导, ] ) 3 (sin [ ¢ = x f ?
例 解
例 解
练习 分析 这是抽象函数与具体函数相结合的导数, 综合运用函数线性组合、积、商求导法则以及 复合函数求导法则. 解
例 解 所以
练习 答案 练习 ), ( ) , x a f j - = 处连续 在 若 ). ( a f ¢ 求 解
五、小结 函数和、差、积、商的微分求导法则; 反函数的微分求导法则（注意成立条件）; 复合函数的微分求导法则 （注意函数的复合过程,合理分解正确使用链导法）; 已能求导的函数:可分解成基本初等函数,或常数与基本初等函数的和、差、积、商. 分段函数求导时, 分界点导数用左右导数求.
思考题
思考题解答 正确地选择是（3） 例 在 处不可导， 取 在 处可导， 在 处不可导， 取 在 处可导， 在 处可导，
作业 习题3.2(62页) 7.(3)(6)(9)(12)(15) 11. 12.(2)(6)(9) 15.(3)(7)
练 习 题
练习题答案