工 程 控 制 原 理 2. 数学模型与传递函数 2.2 拉普拉斯变换 主讲：周晓君 办 公 室：机械副楼209-2室 办 公 室：机械副楼209-2室 电子邮件：sdzhouxj@shu.edu.cn 办公电话：56331523

2. 数学模型与传递函数 2.2 拉普拉斯变换 系统的数学模型以微分方程的形式表达输出与输入的关系。经典控制理论的系统分析方法：时域法、频域法。 时域分析法 求解数学模型微分方程，获得系统输出随时间变化的规律。 借助于系统频率特性分析系统的性能，拉普拉斯变换是其数学基础。 频域分析法 频域分析法是经典控制理论的核心，被广泛采用，该方法间接地运用系统的开环频率特性分析闭环响应。

2.2 拉普拉斯变换 2.2.1 复数和复变函数 复数的概念 复数 s= +j （有一个实部 和一个虚部，  和 均为实数） 两个复数相等：当且仅当它们的实部和虚部分别相等。 一个复数为零：当且仅当它的实部和虚部同时为零。 称为虚数单位

2.2.1 复数和复变函数 复数的表示法 对于复数 s= +j 复平面：以 为横坐标(实轴)、  为纵坐标(虚轴)所构成的平面称为复平面或[s]平面。复数 s= +j 可在复平面[s]中用点( , )表示：一个复数对应于复平面上的一个点。  o 复平面[s] 1 2 j 1 2 s1=1+j1 s2=2+j2

2.2.1 复数和复变函数 ① 复数的向量表示法 复数 s= +j 可以用从原点指向点( , )的向量表示。 向量的长度称为复数的模：  o 1 2 j s1 s2 r1=|s1| r2=|s2| 向量与 轴的夹角 称为复数s的复角：

2.2.1 复数和复变函数 ② 复数的三角函数表示法与指数表示法 根据复平面的图示可得： = r cos ， = r sin 复数的三角函数表示法： s = r (cos + j sin ) 欧拉公式：  o 1 2 j s1 s2 r1=|s1| r2=|s2| 复数的指数表示法：

2.2.1 复数和复变函数 ③ 复变函数、极点与零点的概念 以复数s= +j为自变量构成的函数G(s)称为复变函数： G(s) = u + jv 式中：u、v 分别为复变函数的实部和虚部。 通常，在线性控制系统中，复变函数G(s)是复数s的单值函数。即：对应于s的一个给定值，G(s)就有一个唯一确定的值与之相对应。 当复变函数表示成 分子为零 当s=-zi时，G(s)=0，则si=-zi称为G(s)的 零点 ； (b) 当s=-pj时，G(s)→∞，则sj=-pj称为G(s)的 极点 。 分母为零

例： 解： 2.2.1 复数和复变函数 G(s)＝s2+1＝( +j)2 + 1 ＝ 2 + j(2 ) - 2 + 1 当s= +j时，求复变函数G(s) =s2+1的实部u和虚部v。 解： G(s)＝s2+1＝( +j)2 + 1 ＝ 2 + j(2 ) - 2 + 1 ＝( 2 - 2 + 1) + j(2 ) 复变函数的实部 复变函数的虚部

2.2 拉普拉斯变换 2.2.2 拉普拉斯变换的定义 拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量s的乘积，将时间表示的微分方程，变成以s表示的代数方程。 设有时间函数 f(t)，当 t < 0 时，f(t)＝0；在 t≥0时定义函数 f(t) 的拉普拉斯变换为： 象函数 复变量 拉氏变换符号 原函数 拉普拉斯变换：在一定条件下，把实数域中的实变函数 f(t) 变换到复数域内与之等价的复变函数 F(s) 。

拉氏变换是否存在取决于定义的积分是否收敛。拉氏变换存在的条件： 2.2.2 拉普拉斯变换的定义 拉氏变换是否存在取决于定义的积分是否收敛。拉氏变换存在的条件： ① 当t≥0时，f(t) 分段连续，只有有限个间断点； ② 当t →∞时，f(t) 的增长速度不超过某一指数函数，即 式中：M、a为实常数。 在复平面上，对于Res >a的所有复数s (Res表示s的实部)都使积分式绝对收敛，故Res >a是拉普拉斯变换的定义域， a称为收敛坐标。

2.2 拉普拉斯变换 2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换 (1) 单位阶跃函数 单位阶跃函数定义： 其拉普拉斯变换为：

2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换 (2) 单位脉冲函数 单位脉冲函数定义： 且： 其拉普拉斯变换为：

2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换 (3) 单位速度函数（单位斜坡函数） 单位速度函数定义： 其拉普拉斯变换为：

2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换 (4) 指数函数 指数函数表达式： 式中：a是常数。 其拉普拉斯变换为：

2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换 (5) 正弦信号函数 正弦信号函数定义： 两式相减 由欧拉公式，正弦函数表达为： 其拉普拉斯变换为：

2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换 (6) 余弦信号函数 余弦信号函数定义： 两式相加 由欧拉公式，余弦函数表达为： 其拉普拉斯变换为：

2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换 1 (单位阶跃函数) 拉普拉斯变换简表 (待续) s  (t) (单位脉冲函数) K K (常数) 拉普拉斯变换简表 (待续) 序号 原函数 f(t) (t >0) 象函数 F(s)=L[f(t)] 1 1 (单位阶跃函数) s 2  (t) (单位脉冲函数) 3 K (常数) K 4 t (单位斜坡函数) s2

t n (n=1, 2, …) e -at tn e -at (n=1, 2, …) 2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换 拉普拉斯变换简表 (续1) 序号 原函数 f(t) (t >0) 象函数 F(s) = L[f(t)] 5 t n (n=1, 2, …) n! s n+1 6 e -at 1 s + a 7 tn e -at (n=1, 2, …) (s+a) n+1 8 T Ts + 1 t T e

2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换 拉普拉斯变换简表 (续2) e -at sint e -at cost 拉普拉斯变换简表 (续2) 序号 原函数 f(t) (t >0) 象函数 F(s) = L[f(t)] 9 sint  s2+2 10 cost s 11 e -at sint (s+a)2+2 12 e -at cost s+a

2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换 拉普拉斯变换简表 (续3) 拉普拉斯变换简表 (续3) 序号 原函数 f(t) (t >0) 象函数 F(s) = L[f(t)] 13 (1-e -at ) 1 s(s+a) 14 (e -at -e -bt ) (s+a) (s+b) 15 (be -bt -ae –at ) s 16 sin(t + )  cos + s sin s2+2 1 a b-a

2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换 拉普拉斯变换简表 (续4) 拉普拉斯变换简表 (续4) 序号 原函数 f(t) (t >0) 象函数 F(s) = L[f(t)] 17 e -nt sinn 1-2 t n2 s2+2ns+n2 18 1 19 e -nt sin(n 1-2 t -  ) s  = arctan n 1-2 1 n 1-2 

2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换 拉普拉斯变换简表 (续5) 拉普拉斯变换简表 (续5) 序号 原函数 f(t) (t >0) 象函数 F(s) = L[f(t)] 20 1- e -nt sin(n 1-2 t +  ) n2 s(s2+2ns+n2)  = arctan 21 1-cost 2 s(s2+2) 22 t - sint 23 t sint 2s (s2+2)2 1 1-2 

2.2 拉普拉斯变换 2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质 (1) 线性定理 若、是任意两个复常数，且： 则： 证明：

2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质 (2) 平移定理 若： 则： 证明：

2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质 (3) 微分定理 若： f(0)是 t =0 时的 f(t) 值 则： 证明： 同理，对于二阶导数的拉普拉斯变换：

2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质 (3) 微分定理 推广到n阶导数的拉普拉斯变换： 如果：函数 f(t) 及其各阶导数的初始值均为零，即 则：

2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质 (4) 积分定理 若： 函数 f(t) 积分的初始值 则： 证明：

2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质 (4) 积分定理 同理，对于n重积分的拉普拉斯变换： 若：函数 f(t) 各重积分的初始值均为零，则有 注：利用积分定理，可以求时间函数的拉普拉斯变换；利用微分定理和积分定理，可将微分-积分方程变为代数方程。

2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质 (5) 终值定理 若： 则： 证明：根据拉普拉斯变换的微分定理，有 由于 ，上式可写成 写出左式积分

2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质 (6) 初值定理 若： 则： 证明：根据拉普拉斯变换的微分定理，有 由于 ，上式可写成 或者

2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质 (7) 卷积定理 两个时间函数 f1(t)、f2(t) 卷积的拉普拉斯变换等于这两个时间函数的拉普拉斯变换。 式中： 称为函数 f1(t)与f2(t) 的卷积 而

2.2 拉普拉斯变换 2.2.5 拉普拉斯反变换 (1) 拉普拉斯反变换的定义 将象函数F(s)变换成与之相对应的原函数f(t)的过程，称之为拉普拉斯反变换。其公式： 简写为： 拉氏反变换的求算有多种方法，如果是简单的象函数，可直接查拉氏变换表；对于复杂的，可利用部分分式展开法。

2.2.5 拉普拉斯反变换 如果把 f(t) 的拉氏变换 F(s) 分成各个部分之和，即 假若F1(s)、F2(s)，…，Fn(s)的拉氏反变换很容易由拉氏变换表查得，那么 当 F(s) 不能很简单地分解成各个部分之和时，可采用部分分式展开将 F(s) 分解成各个部分之和，然后对每一部分查拉氏变换表，得到其对应的拉氏反变换函数，其和就是要得的 F(s) 的拉氏反变换 f(t) 函数。

2.2.5 拉普拉斯反变换 (2) 部分分式展开法 在系统分析问题中，F(s)常具有如下形式： 式中A(s)和B(s)是s的多项式， B(s)的阶次较A(s)阶次要高。 对于这种称为有理真分式的象函数 F(s)，分母 B(s) 应首先进行因子分解，才能用部分分式展开法，得到 F(s) 的拉氏反变换函数。

2.2.5 拉普拉斯反变换 将分母 B(s) 进行因子分解，写成： 式中，p1，p2，…，pn称为B(s)的根，或F(s)的极点，它们可以是实数，也可能为复数。如果是复数，则一定成对共轭的。 当 A(s) 的阶次高于 B(s) 时，则应首先用分母B(s)去除分子A(s)，由此得到一个s的多项式，再加上一项具有分式形式的余项，其分子s多项式的阶次就化为低于分母s多项式阶次了。

2.2.5 拉普拉斯反变换 (1) 分母B(s)无重根 此时，F(s)总可以展成简单的部分分式之和。即 式中，ak(k=1,2,…,n)是常数，系数 ak 称为极点 s= -pk 处的留数。

2.2.5 拉普拉斯反变换 ak 的值可以用在等式两边乘以 (s+pk)，并把 s= -pk代入的方法求出。即

2.2.5 拉普拉斯反变换 在所有展开项中，除去含有 ak 的项外，其余项都消失了，因此留数 ak 可由下式得到 因为 f(t) 时间的实函数，如 p1 和 p2 是共轭复数时，则留数 1 和 2 也必然是共轭复数。这种情况下，上式照样可以应用。共轭复留数中，只需计算一个复留数1(或2)，而另一个复留数 2(或 1)，自然也知道了。

2.2.5 拉普拉斯反变换 例题1 求F(s)的拉氏反变换，已知 解 由留数的计算公式，得

2.2.5 拉普拉斯反变换 因此 查拉氏变换表，得

2.2.5 拉普拉斯反变换 例题2 求L-1[F(s)]，已知 解： 分母多项式可以因子分解为 进行因子分解后，可对F(s)展开成部分分式

2.2.5 拉普拉斯反变换 由留数的计算公式，得 由于2与1共轭，故

2.2.5 拉普拉斯反变换 所以

2.2.5 拉普拉斯反变换 查拉氏变换表，得

2.2.5 拉普拉斯反变换 (2) 分母B(s)有重根 若有三重根，并为p1，则F(s)的一般表达式为 式中系数2, 3, …, n仍按照上述无重根的方法(留数计算公式)，而重根的系数11, 12, 13可按以下方法求得。

2.2.5 拉普拉斯反变换 依此类推，当 p1 为 k 重根时，其系数为：

2.2.5 拉普拉斯反变换 例题3 已知F(s)，求L-1[F(s)]。 解 p1= -1，p1有三重根。

2.2.5 拉普拉斯反变换 由上述公式

2.2.5 拉普拉斯反变换 因此，得： 查拉氏变换表，有

2.2.5 拉普拉斯反变换 采用拉氏反变换的方法，可以求得线性定常微分方程的全解(补解和特解)。求解微分方程，可以采用数学分析方法(经典方法)，也可以采用拉氏变换方法。采用拉氏变换法求解微分方程是带初值进行运算的，许多情况下应用更为方便。 利用拉氏变换解微分方程的步骤： (1) 对给定的微分方程等式两端取拉氏变换，变微分方程为 s 变量的代数方程。 (2) 对以 s 为变换的代数方程加以整理，得到微分方程求解的变量的拉氏表达式。对这个变量求拉氏反变换，即得在时域中（以时间 t 为参变量）微分方程的解。

利用拉氏变换解常系数线性微分方程 例题 解方程 其中： 解：将方程两边取拉氏变换，得 将 代入，并整理，得 所以