第三十七课时 空间几何体的结构即表面积和体积 会做的一定要做对，该拿的分一定拿下 第三十七课时 空间几何体的结构即表面积和体积 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。 2.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。

教 材 复 习 审题要细，决不能粗心大意 1.棱柱的结构特征： 教 材 复 习 1.棱柱的结构特征： (1)棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行. 其中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱. 如果棱柱的一个底面水平放置，则铅垂线与两底面的交点之间的线段或距离，叫做棱柱的高.

运算要快，决不能拖泥带水 2.棱锥的结构特征： (2)棱柱的分类：①按侧棱与底面的关系可分为：斜棱柱、直棱柱；②按底面多边形边数可分为：三棱柱、四棱柱、五棱柱等；③底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱. 2.棱锥的结构特征： (1)棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥. (2)正棱锥的定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥.

①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高. 判断要准，决不能掉入陷阱 (3)正棱锥的性质： ①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高. ②棱锥的高、斜高和斜足与底面中心连线组成一个直角三角形； 棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形。

变形要稳，决不能忙中出错 3.圆柱、圆锥、圆台的结构特征： 分别以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台. 其中旋转轴叫做所围成的几何体的轴；在轴上的这条边叫做这个几何体的高；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做这个几何体的底面；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做这个几何体的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线.

答案要全，决不能丢三落四 4.棱台、圆台的结构特征： 用平行于底面的平面去截棱锥、圆锥，截面与底面间的部分叫做棱台、圆台. 5.球 (1)一个半圆围绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球.形成球的半圆的圆心叫做球心；连结球面上一点和球心的线段叫球的半径；连结球面上两点且通过球心的线段叫球的直径.

解题要活，决不能生搬硬套 (2)球面被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆，被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆. 6.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和. 7.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面积之和.

会做的一定要做对，该拿的分一定拿下 8.柱体的体积： 锥体的体积： 台体的体积： 9.球的表面积： 球的体积：

审题要细，决不能粗心大意 基 础 自 测 D 1.下列命题中正确的是( ) A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 D.有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥

运算要快，决不能拖泥带水 2.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是( ) A.300 B.450 C.600 D.900 C 3.已知高为3的直棱柱ABC-A’B’C’的底面是边长为1的正三角形(如图所示)，则三棱锥B’-ABC的体积为( ) D

D 判断要准，决不能掉入陷阱 4.如图所示，正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A、B、C、D在球O的同一个大圆上， 点P在球面上.如果 ，则球O的表面积是( ) A.4π B.8π C.12π D.16π D

变形要稳，决不能忙中出错 题型一 柱、锥、台、球体的有关计算 题型一 柱、锥、台、球体的有关计算 提示：本题可将长方体表面展开，利用平面内两点间的线段长是两点间的最短距离来解答。

说明：求立体图形表面上两点的最短距离问题，是立体几何中的一个重要题型。这类题目的特点是：立体图形的性质和数量关系分散在立体图形的几个平面上或旋转体的侧面上。为了便于发现它们图形间性质与数量上的相互关系，必须将图中的某些平面旋转到同一平面上，或者将曲面展开为平面，使问题得到解决。其基本步骤是：展开(有时全部展开，有时部分展开)为平面图形，找出表示最短距离的线段，再计算此线段的长。

答案要全，决不能丢三落四 变 式 演 练 1.两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm，把它们重叠在一起组成一个新长方体.在这些长方体中，最长的对角线长度为( ) C

C 解题要活，决不能生搬硬套 题型二 多面体的表面积与体积 题型二 多面体的表面积与体积 【例2】如图所示，三棱台ABC-A1B1C1中，AB:A1B1=1:2，则三棱锥A1-ABC，B-A1B1C，C-A1B1C1的体积之比为( ) A.1:1:1 B.1:1:2 C.1:2:4 D.1:4:4 C 说明：三棱柱、三棱台可以分割成三棱锥，分割后可由椎体的体积求柱体和台体的体积关系，在立体几何中，割补法是重要的方法。

A 变 式 演 练 会做的一定要做对，该拿的分一定拿下 变 式 演 练 2.如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且∆ADE、∆BCF均为正三角形，EF//AB，EF=2，则该多面体的体积为( ) A

【例3】如图，在∆ABC中，若AC=3，BC=4，AB=5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积. 审题要细，决不能粗心大意 题型三 旋转体的表面积与体积 【例3】如图，在∆ABC中，若AC=3，BC=4，AB=5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积. 【思维导图】求组合体的条件：首先要弄清它是由哪些基本几何体组成的；再通过轴截面分析和解决问题。

变 式 演 练 运算要快，决不能拖泥带水 3.棱长为a的正四面体的四个顶点均在一个球面上，求此球的表面积与体积. 变 式 演 练 3.棱长为a的正四面体的四个顶点均在一个球面上，求此球的表面积与体积. 解：以正四面体的每条棱作为一个正方体的面的一条对角线构造如图所示的正方体，则该正四面体的外接球也就是正方体的外接球.

判断要准，决不能掉入陷阱 方法规律： 1.对于基本概念和能用公式直接求棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决，这种题目难度不大. 2.要注意将空间问题转化为平面问题. 3.当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利.

变形要稳，决不能忙中出错 (1)几何体的“分割”：将已知几何体按照结论要求，分割成若干个易求体积的几何体； (2)几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等，另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积； (3)有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素.

答案要全，决不能丢三落四 4.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题；球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图.

解题要活，决不能生搬硬套 剖析试题，追踪题源，预测趋势，强化训练 【高考动向】多面体与旋转体是立体几何问题的载体，高考既可能在多面体与旋转体中考查线面的位置关系、成角和距离的计算，也可能直接考查其表面积与体积的计算，特别要注意球的内接多面体的相关问题.

C 会做的一定要做对，该拿的分一定拿下 【命题视角】 【例4】如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=600，E为AB的中点，将∆ADE与∆BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P-DCE的外接球的体积为( ) C

审题要细，决不能粗心大意 【例5】设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，则四棱锥B-APQC的体积为( ) C 【特殊值法】1.取直三棱柱； 【特殊值法】2.取点P与A1重合 【随堂小练】 1.三棱柱ABC-A’B’C’的所有棱长均为a，∠A’AB= ∠ A’AC=600，求其全面积.

练习作业手册 运算要快，决不能拖泥带水 2.已知圆锥的母线长为10cm，高为5cm. (1)求过顶点作圆锥的截面中，最大截面的面积； (2)这个截面是轴截面吗？为什么？ 50(cm2) 面积最大的截面不是轴截面 你的发现：当顶角大于900时，面积最大的截面是两条母线互相垂直的截面；当顶角不大于900时，面积最大的截面是轴截面。 【作业】创新设计第三十七课时 练习作业手册