线性相关分析
第一节 线性相关系数 一、概念：相关系数（correlation coefficient）又称Pearson积差相关系数，用来说明具有直线关系的两变量间相关的密切程度与相关方向。 相关系数没有单位，其值为-1 r 1。r值为正表示正相关，r值为负表示负相关， r绝对值反应两变量间相关关系的密切程度，绝对值越大说明相关关系越密切， r的绝对值等于1为完全相关，r=0为零相关。
二、 计算公式 样本相关系数的计算公式为 （13-1）
例13-2 （续例13-1）计算表13-1中体重指数和收缩压的相关系数。 解： 1．绘制散点图，观察两变量之间是否有线性趋势。 从图13-1可见，体重指数与收缩压之间呈线性趋势，且方向相同，为正相关。 2．计算相关系数。从表13-1的合计栏中，已得出基本数据：
三、应用线性相关系数r时应注意的问题： 1. r只表示两个服从正态分布的随机变量之间线性关系的密切程度和相关方向，r=0只能说X与Y之间无线性关系，并不能说X与Y之间无任何关系。 2. 相关关系并不一定是因果关系。相关分析的任务就是对相关关系给以定量的计算和描述。
第二节 相关系数的假设检验
（13-2）
例13-3 （续例13-1） 根据样本相关系数，对总体相关系数=0进行假设检验。 解： 1. t检验法 检验步骤如下： （1）建立假设，确定检验水准 。 H0: =0（变量间不存在线性相关关系）； H1: 0（变量间有线性相关关系）；
检验步骤 （2）计算检验统计量 本例n=16，r=0.91，按公式（13-2）
2. 查表法 根据自由度 ，查附表13相关系数r界值表， ， ，本例r =0. 91，所以P<0 2. 查表法 根据自由度 ，查附表13相关系数r界值表， ， ，本例r =0.91，所以P<0.01，按 水准拒绝H0，接受H1，与 t 检验结论相同。
第四节 相关系数的可信区间 统计推断包括假设检验和区间估计，前面已学过相关系数的假设检验，假设检验只是回答了总体相关系数 是否存在的问题，如果想知道的 大致范围，就需要计算的 可信区间。 由于r呈非正态分布，故不能直接用r求可信区间，而是首先对r作Z转换，以消除这种偏态 式中为tanh为双曲正切函数，tanh-1为反双曲正切函数， SZ为Z的标准误。
转换后的Z统计量服从方差为 的正态分布，用下式计算Z统计量总体均数的100（1- ）%可信区间。当 时，即为95%可信区间。
最后，对此区间的上下限作反变换， 例13-4 （续例13-1） 例13-2中，求得样本相关系数r=0.9110，求 的 95%可信区间。
第五节 直线回归与相关应用的注意事项
1．根据分析目的选择变量及统计方法 直线相关用于说明两变量之间直线关系的方向和密切程度，X与Y没有主次之分； 直线回归则进一步地用于定量刻画应变量Y对自变量X在数值上的依存关系，其中应变量的定夺主要依专业要求而定，可以考虑把易于精确测量的变量作为X，另一个随机变量作Y，例如用身高估计体表面积。 两个变量的选择一定要结合专业背景，不能把毫无关联的两种现象勉强作回归或相关分析。
相关关系不一定是因果关系，可能仅是表面上的伴随关系，或两个变量同时受另一因素的影响，如小孩的身高和小树的树高同时受时间的影响，在校儿童的鞋的大小和阅读技能同时受年龄的影响。 不能只根据相关系数r的绝对值的大小来推断两事物现象之间有无相关以及相关的密切程度，而必须对r进行相关系数的假设检验。另外，不要把相关系数的显著性误解为两事物或现象相关的强度，例如对于相关系数的假设检验来说，P<0.01比P<0.05更有理由认为相关关系成立，但并不能得出前者比后者相关关系更密切的结论，相关关系的强度是用r的绝对值来反映的。
2．进行相关、回归分析前应绘制散点图—第一步 （1） 散点图可考察两变量是否有直线趋势； （2） 可发现异常点（outlier）。 散点图对异常点的识别与处理需要从专业知识和现有数据两方面来考虑，结果可能是现有回归模型的假设错误需要改变模型形式，也可能是抽样误差造成的一次偶然结果甚至过失误差。需要认真核对原始数据并检查其产生过程认定是过失误差，或者通过重复测定确定是抽样误差造成的偶然结果，才可以谨慎地剔除或采用其它估计方法。
3．资料的要求 直线相关分析要求 X与Y 服从双变量正态分布； 直线回归要求至少对于每个 X 相应的 Y 要服从正态分布，X可以是服从正态分布的随机变量也可以是能精确测量和严格控制的非随机变量； * 对于双变量正态分布资料，根据研究目的可选择由 X 估计 Y 或者由 Y 估计 X ，一般情况下两个回归方程不相同）。
4．结果解释及正确应用 反应两变量关系密切程度或数量上影响大小的统计量应该是回归系数或相关系数的绝对值，而不是假设检验的P值。