第五章 蒙特卡罗方法在计算机上的实现 源分布抽样过程 空间、能量和运动方向的随机游动过程 记录贡献和分析结果过程 核截面数据的引用 第五章 蒙特卡罗方法在计算机上的实现 源分布抽样过程 空间、能量和运动方向的随机游动过程 记录贡献和分析结果过程 核截面数据的引用 蒙特卡罗程序结构 作 业

第五章 蒙特卡罗方法在计算机上的实现 蒙特卡罗方法是随着计算机的出现和发展而逐步发展起来的。在计算机上能够产生符合要求的随机数，实现对已知分布的抽样，奠定了蒙特卡罗方法在计算机上得以实现的基础。在计算机上使用蒙特卡罗方法解粒子输运问题大致包括三个过程：源分布抽样过程，空间、能量和运动方向的随机游动过程以及记录、分析结果过程 。

源分布抽样过程 源分布抽样的目的是产生粒子的初始状态 。下面我们介绍一些常见的特定 类型的源分布抽样方法。

源粒子的位置常见分布的随机抽样 圆内均匀分布 设圆半径为R0，粒子在圆内均匀分布时，从发射点到中心的距离 r 的分布密度函数为：

设圆环的内半径为R0，外半径为R1，则粒子在该圆环内均匀分布时，从发射点到中心的距离 r 的分布密度函数为： ≤ >

设球的半径为R，粒子在球内均匀分布时，从发射点到中心的距离 r 的分布密度函数为： 在直角坐标系下，抽样方法为： ≤ >

设球壳的内半径为R0，外半径为R1，在均匀分布时，从发射点到中心的距离 r 的分布密度函数为： 球壳内均匀分布 设球壳的内半径为R0，外半径为R1，在均匀分布时，从发射点到中心的距离 r 的分布密度函数为： r 的抽样方法为： ≤ >

其中，r 由前面的抽样方法确定，θ、φ服从各向同性分布，其抽样方法为： 在直角坐标系下，球壳内点的坐标为： 其中，r 由前面的抽样方法确定，θ、φ服从各向同性分布，其抽样方法为： ＞ ≤

圆柱内均匀分布是指粒子发射点均匀地分布在底半径为 R，高为 2H 的圆柱内。若固定圆柱的中心为原点，圆柱的轴向为 z 轴，则分布密度函数为： 抽样方法为： ≤ >

点源分布 点源分布是指粒子由一固定点 发射，其分布密度函数为： 其中， 为狄拉克δ函数，源粒子的抽样方法为： 在球坐标系中，粒子发射点到球心的距离 r 的分布密度函数为： 其中， 为点源到球心的距离。源粒子的位置抽样为：

球外平行束源分布 球外平行束源分布是指粒子平行入射到半径为 R 的球面上，或球外点源距离球很远，可以近似地看作平行束源。设 r 为粒子发射点到球心的距离 , 其分布密度函数为： r 的抽样方法为： 在直角坐标系中，抽样方法为： ≤ >

源粒子的能量常见分布的随机抽样 单能源分布 单能源分布是指粒子的发射能量为一固定值 E0 ，其分布密度函数为 ： 源粒子的能量为：

裂变中子谱分布 裂变中子谱分布的一般形式为： 其中A，B，C，Emin，Emax 均为与元素有关的量。 对于铀-235， A=0.965，B=2.29，C=0.453，Emin=0，Emax=∞。

此外，裂变谱分布也有以数值曲线形式给出的，此时，用数值曲线抽样方法抽取 E 。 采用近似修正抽样，抽样方法为： 其中，m≈0.8746，M1≈0.2678，λ≈0.5543。 此外，裂变谱分布也有以数值曲线形式给出的，此时，用数值曲线抽样方法抽取 E 。 ≤ ＞

麦克斯韦(Maxwell) 谱分布 麦克斯韦谱分布的一般形式为： 该分布的抽样方法为 ＞ ≤

源粒子运动方向常见分布的随机抽样 各向同性分布 各向同性分布密度函数为： 其中，μ＝cosθ，θ为运动方向与 z 轴的夹角，φ为方位角。

在直角坐标系下，各方向余弦 u，v，w 为： 其抽样方法为： ＞ ≤

半面各向同性分布 不妨设在 x≥0 的半面方向上各向同性发射粒子，则在前述各向同性分布的抽样方法中，用ξ2代替η2就能得到所需分布的抽样。对于其它方向的情况，可用类似的方法处理。

球外平行束源分布 令μ＝cosθ，θ为粒子运动方向的径向夹角，则μ分布密度函数为： μ的抽样方法为：

球外各向同性点源分布 设球外点源 S 到球心的距离为D0。点源 S 到球的最大张角为θ*， 则球外各向同性点源分布的抽样方法是： 先抽样确定 ，再转换成θ。 在直角坐标系下，取 OS 为 z 轴，抽样方法为：

次级粒子的源分布 在有关次级粒子（如裂变中子，中子生成光子，光子生成中子）的输运过程中，次级粒子源分布的抽样方法，主要可分为以下两种： 直接生成法 可将生成的次级粒子的位置、能量、方向、权重等参数直接作为源分布的抽样结果。也就是直接对生成的次级粒子进行跟踪。这种方法比较简单、直观。

离散分布法 将生成的次级粒子的权重，按空间位置、能量、方向分别记录，得到次级粒子的空间、能量、运动方向的离散的近似分布。再根据该分布，利用各种抽样技巧，得到源分布的抽样，对抽样的源粒子进行跟踪、记录。 当一个问题需要用两个以上的蒙卡程序处理时，可采用这种方法。

空间、能量和运动方向的随机游动过程 粒子由状态Sm到状态Sm+1时，需要确定粒子的空间位置 rm+1，能量 Em+1和运动方向Ωm+1。

碰撞点位置的计算公式 设 rm 为粒子第 m 次碰撞点的位置，Ωm 为碰撞后的运动方向，则粒子第 m+1 次碰撞点的位置 rm+1 为： 即 其中 为 的方向余弦，L 为两次碰撞点间的距离。

L 的分布密度函数为： 由 f (L) 抽样确定 L 的方法通常有三种： 直接抽样方法 确定 L 的直接抽样方法是： 首先由自由程分布 中抽取ρ 再由下列关系式解出 L 。

对于均匀介质，有 对于多层介质，如果 则 其中， 为粒子由 rm 出发，沿Ωm 方向在顺序经过的第 i 个介质区域内走过的距离， 为第 i 个介质 区域的宏观总截面 ( i =1，2，…，Imax )。 当 时，意味着粒子穿出系统。

最大截面法 对于多层介质，或其他介质密度与位置有关的问题，在求 ( i =1，2，…，Imax ) 时，如果系统形状复杂，计算是非常烦杂的。在这种情况下，使用最大截面法更方便。最大截面抽样方法为： 其中 ≤ ＞

限制抽样法 当介质区域很小时，如使用直接抽样法抽取输运长度，粒子很容易穿出介质，此时使用限制抽样法确定自由程个数ρ较好，ρ的分布密度函数为： 其中 Dm 为粒子由rm 出发，沿Ωm 方向到达区域边界的自由程个数。ρ的抽样方法是： 然后用直接抽样法中根据ρ计算 L 的方法计算输运长度 L 。此时，粒子的权重需乘以纠偏因子 。

碰撞后能量Em+1的随机抽样 粒子在介质中发生碰撞后，首先要确定与哪种原子核发生何种反应。粒子发生碰撞后（吸收除外）的能量 Em+1 一般只与其碰撞前后运动方向的夹角（散射角）有关。 粒子碰撞后常见的能量分布有下面几种情况。 裂变中子谱 中子引起原子核裂变反应时，裂变中子的能量服从裂变谱分布。其抽样方法可参考以前的介绍。

中子弹性散射后能量的确定 中子弹性散射后，能量与质心系散射角θC的关系是： 能量与实验室系散射角θL的关系是： 其中，A 为碰撞核的质量， 。 或 确定后，即可求出 Em+1。

中子非弹性散射后能量的确定 中子非弹性散射后，能量与质心系散射角θC的关系是： 其中， 为第 K 个能级的阈能， 为第 K 个能级的激发态能量。 如果确定了实验室系散射角θL，则根据下式 确定 后，再计算出 Em+1。

光子康普顿（Compton）散射后能量的确定 光子发生康普顿散射后，其能量分布密度函数为： 其中， K(α) 为归一因子。 ， 和 分别为光子散射前后的能量，以 m0c2 为单位，m0为电子静止质量，c 为光速。

光子康普顿散射能量分布的抽样方法为： x 的抽样确定后，散射后的能量为： ＞ ≤

碰撞后散射角的随机抽样 粒子碰撞后运动方向Ωm+1的确定，一般与散射角有关。由已知分布抽样确定散射角后，再确定Ωm+1。常见的散射角分布有如下几种： 质心系各向同性分布 散射角在质心系服从各向同性分布时，其抽样方 法为 。质心系散射角θC抽样确定后， 需转换成实验室系散射角θL。

在中子弹性散射情况下，转换公式为： 其中 A 为碰撞核质量， 。 在中子非弹性散射情况下，转换公式为： 其中， 为第 K 个能级的阈能。

中子弹性散射勒让德 (Legendre) 多项式分布 中子弹性散射角分布常以勒让德多项式的展开形式给定。散射角余弦 x＝cosθ的分布密 度函数为： 其中 Pl(x) 为 l 阶勒让德多项式。 该分布即为 n 阶勒让德近似展开。 勒让德多项式由以下递推公式确定：

考虑新的分布： 当选取 x0，x1，… xn 为 Pn+1(x)＝0 的根，且 时，fa(x) 依照勒让德多项式展开的前 n 项与 f (x) 的展开形式相同。因此，可以用 fa(x) 作为 f (x) 的近似分布。

在实际问题中，由于勒让德多项式展开项数不够，可能出现某个 为负值的现象。此时可以采用如下近似分布： 其中： 对于该近似分布，可用加抽样方法进行抽样： 此时，由于偏倚抽样而引起的纠偏因子为 wK ，也就是说，粒子的权重要乘上wK。

光子康普顿散射角分布 光子的康普顿散射角与其散射前后的能量有关 , 它的分布密度函数为： 抽样方法为：

碰撞后运动方向Ωm+1的确定 实验室系散射角θL确定后，依据不同的坐标系的表现形式，有不同的确定方法。 确定方向余弦 um+1，vm+1，wm+1

其中， 方位角 在 [0, 2π] 上均匀分布。 当 时，不能使用上述公式，可用下面的简单公式：

确定Ωm+1的球坐标 (θm+1，φm+1) 设Ωm的球坐标分别为 (θm,φm)，其中，θ为粒子运动方向与 z 轴的夹角， φ为粒子运动方向在 x y 平面上投影的方位角。则Ωm+1的球坐标 (θm+1,φm+1) 分别由下式确定：

球形几何的随机游动公式 一般几何的随机游动公式可以应用到球形几何，而对球对称问题，使用特殊形式更为方便。 下次碰撞点的径向位置 rm+1的确定 两次碰撞点间的距离 L 确定之后，下次碰撞点的径向位置 rm+1的计算公式为： 设系统的外半径为R，如 rm+1≥R，则粒子逃出系统。

粒子碰撞后瞬时运动方向的确定 在球对称系统中，粒子运动方向用其与径向夹角余弦来描述。使用球面三角公式，粒子碰撞后瞬时运动方向与径向夹角余弦 cosθm+1的计算公式为： 其中， 为在 [0, 2π] 上均匀分布的方位角， 为在 rm+1 点进入碰撞前瞬时运动方向与 rm+1 径向之间的夹角。

点到给定边界面的距离 在抽样确定输运距离、判断粒子是否穿透系统时， 常遇到求由 rm 出发，沿Ωm 方向到达某个区域表面的距离问题。在记录对结果的贡献时，也常使用类似的量。区域表面通常是平面或二次曲面。 求到达区域表面的距离问题，实际上是求直线（或半射线）与平面或二次曲面的交点问题。这是 蒙特卡罗方法解粒子输运的各种实际问题时 , 所遇到的基本几何问题。

点到平面的距离 点 沿方向 的直线方程为： 该直线到达方程为 的平面的距离为： 当 与平面平行时，即 直线与平面无交点。 如果 l 为负值，直线与平面也无交点。这时，粒子的运动方向是背离平面的。

点到球面的距离 在三维直角坐标系中，设球心为 rc＝(xc, yc, zc) ，球半径为 R，则球面方程为： 将直线方程代入该球面方程，得到点 r0沿Ω0方向到达球面的距离 l ： 其中

当 R0≤R 时，即 r0 点在球内 ，Δ≥δ2，l 只有一个正根：

在球坐标系中，不失一般性，设球心为 rc＝0，则球面方程为 r＝R。 当 r0≤R 时，即 r0 点在球内 ，有一个交点： 其中θ0为Ω0与 r0 的径向夹角。 当 r0＞R 时，即 r0 点在球外 ，令 当 cosθ0≥0 时，直线与球面无交点。 当 cosθ0＜0 时，若 d≥R，则直线与球面无交点。 若 d＜R，则有两个交点：

点到圆柱面的距离 设圆柱面的方程为： 其中 (xc, yc, 0) 为圆柱的中心，R 为圆柱底半径。 点 r0沿Ω0方向到达圆柱面的距离 l 为： 其中

当 R0≤R 时，r0 点在圆柱内 ，如果 ，则 l 有一个正根： 如果 ，即Ω0平行于圆柱的对称轴，直线与圆柱面无交点。 当 R0＞R 时，r0 点在圆柱外，分以下三种情况： 若δ≥0，l 无正实根，直线与圆柱面无交点。 若δ＜0，Δ＜0，l 无实根，直线与圆柱面无交点。 若δ＜0，Δ≥0 且 ，l 有两个正实根，直线与圆柱面有两个交点。 在 的情况下，直线与圆柱面不相交。

点到圆锥面的距离 设圆锥顶点在原点，以 z 轴为对称轴，则圆锥面的方程为： 点 r0沿Ω0方向到达圆锥面的距离 l 为： 其中 如果Ω0与锥面某一母线平行，即 ，则

空腔处理 在粒子输运问题中，所考虑的系统常有空腔存在，如中空的球壳 , 平板间的空隙等。粒子输运时，可有两种处理空腔的方法： 将空腔作为宏观总截面Σt＝0 的区域 , 按通常的方法输运。 设 分别为由 rm 出发，沿Ωm 方向到空腔区域的 近端和远端的交点，当粒子超过 时，以 为新的起 点，重新开始输运。 显然，这两种方法在统计上是等价的。

等效的边界条件 全反射边界 在反应堆活性区中，元件盒常常按正方形或六角形排列。假定元件盒足够多，每个盒结构相同，那么活性区中每个盒所占的栅胞的物理情况，可以代表整个活性区中的状况。

进一步假定，元件盒是圆对称的，那么每个栅胞中情况，可以用更小的单位（栅元）来反映。比如对六角形栅胞可取其 1/12 的ΔOAB 来做代表；正方形栅胞可用其 1/8 的ΔO'A'B' 来做代表。这样一来问题就大大简化了。

现在的问题是怎样计算直角三角形栅元的物理量（如通量）。用蒙特卡罗方法如何模拟中子在栅元内的运动，反映出整个活性区对它的影响。 我们可把OA'、OB'、A'B' 作为全反射边界来处理。所谓全反射边界，就是当中子打到该边界上时，按镜面反射的方式，从边界 上全部反射回来，中子的能量与权重均不改变。 在这种边界上的反射条件，称之为全反射条件，就是通常的镜面反射条件。

在全反射边界条件下，一条通过活性区若干个区域的中子径迹，可以用栅元ΔO'A'B' 中的一条折线轨 道来反映出来。

一般曲面全反射条件 对于一般曲面的全反射，设入射方向为Ω，入射点的内法线方向为 n ，则反射方向Ω' 为： 其中 设 则

平面全反射条件 设三角形栅元的横截面ΔOAB 在 X-Y 平面上，∠OAB＝θ。则边界 OA、OB、AB 上的反射都是平面全反射。在任一与 X-Y 平面垂直且与 X 轴成α角的平面上，全反射条件为： 由此就可得到OA、OB 和 AB 边上的全反射条件，对于 OB 边，α=θ；对于 OA 边，α= 0；对于 AB 边，α=π/ 2。

反射层边界条件 对于具有大反射层的系统，如存放，运输和生产裂变物质的仓 库、车厢和车间等，当中子从里面打到四周墙上或反射层时，还要继续对它进行跟踪。这种跟踪常常要花费很大的计算量，并且在结果中引起的方差也比较大。如果在计算这种系统的不同方案中，反 射层条件不变，那么这种大量重复的计算是很不经济的。

中子射入反射层后，一部分被介质吸收，只有一部分返回，由于中子的散射慢化，损失一部分能量，因此反射回来的中子有一个能量方向分布。显然，对这种反射层，不能应用全反射条件。不过，我们仍然可以把它当做边界，在边界上按反射层的物理作用来处理。

比如，如果反射层是一种平板几何，我们可以用数值方法或蒙特卡罗方法，预先算好在各种不同入射能量 E 下的反照率β(E)，反射中子的能量分布 RE(E→E' )。于是代替在反射层中眼踪中子，我们可在反射层边界上作如下处理： 一旦中子打入反射 层，立即返回，反射后权重为 其中，E 为射入反射层中子的能量，W 为中子的权重。反射后的能量 Eβ 由反射能谱 RE(E→Eβ) 中抽样产生。反射后的方向Ωβ 由半平面各向同性分布或余弦分布中抽样。反射后的中子位置为入射时的位置。 计算表明，对于大尺寸的反射层来说，这样的近似，引 起的结果上的误差是可以忽略的，却能带来计算量的大量节省。

记录贡献与分析结果过程 在粒子输运问题中，除了得到某些量的积分结果外，还需要得到这些量的方差、协方差、以及这些量的空间、能量、方向和时间的分布。这些量可以利用分类记录手续同时得到。

记录与结果 为了得到所求量的估计值，在粒子输运过程中需进行记录，即求每个粒子对所求量的贡 献。 设模拟了 N 个粒子，所求量的估计值为： 其中 gi 为第 i 个粒子的总贡献。

记录的贡献由所求量决定。对于同一个所求量，又随所用的蒙特卡罗技巧的不同而不同。 例如，所求量是粒子穿透屏蔽概率，使用直接模拟法时，如粒子穿透屏蔽，在叠加记录单元加“1” ( 初始值为零 )，否则没有贡献。使用加权法时，如粒子穿透屏蔽，在叠加记录单元加粒子的权重，否则没有贡献。使用统计估计法时，粒子每发生一次碰撞 (包括零次碰撞)，都要记录贡献，等等。

方差和协方差的估计 估计量 g 和 g' 的方差和协方差为： 它们可以用下式估计：

因此，要得到 和 的估计，只要对每一个历史记 录结果的 和 进行记录，并加以累加即可。 方差估计值 确定后，可得到误差 其中 为置信限，它随置信水平 而定。在通常 情况下，取 。

位置、能量、方向、时间分布 在前面已经提到，用蒙特卡罗方法求某种量的空间、能量、方向和时间分布，实质上是得到这种分布的阶梯函数近似的估计值。而求这种估计值是很方便的，只要将跟踪过程中所得到的感兴趣量，按其状态的空间、能量、方向、时间特征，分别记录其权 重，最后将这些记录结果适当处理即可。

事先，将问题的空间、能量、方向（常按相对于某个方向的夹角余弦）、时间范围，各分为如下不同间隔： 再用一批存贮单元 {A} 记录相应间隔上阶梯函数近似的累计值。

核截面数据的引用 用蒙特卡罗方法解粒子输运问题，需要介质所包含的各种原子核的核数据。以中子核数据为例，需要各种涉及到的核的微观总截面、弹性散射、非弹性散射、n-2n 反应、裂变、俘获等截面；也需要这些反应的相应能量、角度分布、次级粒子数，以及其它关心的粒子数及其能量、方向分布。从输运方程中可以知道，有了这些数据，问题就完全确定了；反映到蒙特卡罗模拟中，有了这些数据， 就能决定宏观总截面，决定碰撞核的具体形式，就能实现抽样和跟踪。 在蒙特卡罗计算中，引用的核数据有点截面、分段常数截面和群截面三种形式。

点截面形式 在跟踪粒子时，对粒子的每一种能量，先从截面库中取出需要的核数据，再用插值（或其它方式），求出相应能量的各种截面数据。这种方法是直接的，也是比较精确的。不少通用程序就是这样做的。这样做的条件是要有完备的核截面数据库，计算机有大而快的存贮能力。

分段常数形式 将问题的能量范围（Emin，Emax）分成许多间隔，截面数据在每个间隔上看作与能量无关，即截面取分段常数形式。这种引用截面数据的好处是，数据量相对地少。问题是它要根据问题的物理特点来划分能量间隔。而为了保证误差较小，所取的间隔数一般是比较多的。

群截面形式 解中子输运问题，常常采用多群近似方法。在多群近似下，中子能量 E 用群指标 i 代替。为了实现蒙特卡罗跟踪，只需要以下群截面： 显然，这种跟踪过程数据量小，程序简单。

蒙特卡罗程序结构 在电子计算机上，蒙特卡罗方法解粒子输运问题的程序，一般都可分为：源抽样，空间输运过程，碰撞过程，记录过程和结果的处理与输出等部分。

开始 数据预处理, 各记录单元清零 取一个粒子历史 源分布抽样 记录过程 输运过程 记录过程 碰撞过程 记录过程 历史终止否？ 统计处理 记录过程 做完给定历史数否？ 结果的处理与输出 终止

至于粒子历史终止条件，根据问题的几何条件、物理假定，处理方法，可归纳为以下几种： 粒子从系统逃脱； 粒子经碰撞被吸收； 经俄国轮盘赌后，历史被终止； 粒子能量低于给定能量（阈能） ; 粒子位置越过某一界面； 粒子飞行时间超过给定时间； 粒子权重小于某个小量。

作 业