§ 2.10 拉伸、压缩静不定问题 静定、静不定(超静定)问题

关于静不定的基本概念 静定问题与静定结构——未知力（内力或外力）个数等于独立的平衡方程数 静不定问题与静不定结构——未知力个数多于独立的平衡方程数 静不定次数——未知力个数与独立平衡方程数之差，也称静不定度 多余约束——保持结构静定多余的约束

求解静不定问题的基本方法 静力平衡方程－力的平衡关系。 变形协调方程－变形与约束的协调关系。 物理关系－力与变形的关系。

静力平衡分析 P E1A1 l1 E2A2 l2 =E1A1 l1 E3A3 l3 A B C D y x P N3 N2 N1

P y x N3 N2 N1 静力平衡方程 平衡方程 静不定次数：3-2=1

变形协调方程-各杆变形的几何关系 Dl1= Dl2 = Dl3cosa A P B C D  l1  l2  l3 E3A3 l3 E2A2 l2 = E1A1 l1 E3A3 l3 A B C D A´ Dl1= Dl2 = Dl3cosa P  l1  l2  l3

物理关系－力与变形的关系 平衡方程: 变形协调方程： Dl1= Dl2 = Dl3cosa 物理关系

静不定问题的求解 结果：由平衡方程、变形协调方程、物理关系联立解出

例2.10 双层圆柱螺旋弹簧。内弹簧的刚度为C1，外弹簧的刚度为C2，压力为P，求内外弹簧各自分担的压力。

例2.10 解 P1 P1＋P2＝P P2 l1= l2 l1=P1/C1 l2=P2/C2 P1＝ P2＝ 解得 C1 P C1 + C2 1. 由平衡方程 P1＋P2＝P P2 2.变形协调方程 l1= l2 3. 内弹簧压缩变形 l1=P1/C1 外弹簧压缩变形 l2=P2/C2 P1＝ C1 P C1 + C2 P2＝ C2 P C1 + C2 解得

例2.11 AB为刚性梁，1、2两杆的横截面面积相等。求1、2两杆的内力。

例2.11 解 由平衡方程得 3P-2N2cosa-N1＝0 由变形协调条件得 = 2Dl1 Dl2 由物理关系 Dl1 = N1l 例2.11 解 由平衡方程得 3P-2N2cosa-N1＝0 由变形协调条件得 = 2Dl1 Dl2 cosa 由物理关系 Dl1 = N1l EA Dl2 = N2l EAcosa

例2.11 解续 = 2Dl1 Dl2 3P-2N2cosa-N1＝0 所以 N2l = 2 N1l 最后解得 N1 = 3P N2 = 例2.11 解续 = 2Dl1 Dl2 cosa 3P-2N2cosa-N1＝0 所以 N2l EAcos2a = 2 N1l EA 最后解得 N1 = 3P 4cos3a+1 N2 = 6Pcos2a 4cos3a+1

题2.40 由平衡方程得 R1 R1+R2＝P A 设A端固定，则B点位移dB为 C P dB ＝0 此即位移协调方程 B R2

题2.40 解续 dB ＝ N1a = N2b + R1a - R2b R1a = R2b 即 最后得 Pa a+b R1 = Pb EA = N2b + R1a - R2b R1a = R2b 即 最后得 Pa a+b R1 = Pb R2 =

两根杆材料不同，截面尺寸相同，且E1＞E2。要使两杆均匀拉伸，求拉力P的偏心距。 题2.41 分析： 要使两杆均匀拉伸，则两杆伸长必相同

题2.41 解 所以 d1＝ d2 d1 ＝ N1l d2 ＝ N2l 由平衡方程得 N1+N2＝P 最后得 E1P E1+E2 N1 = E1A d2 ＝ N2l E2A 由平衡方程得 N1+N2＝P 最后得 E1P E1+E2 N1 = E2P N2 =

题2.41 解续 N1b ＝P (e + ) b 2 P N1 N2 e b e ＝b ( - ) 1 2 E1 E1+E2

铸铁套筒中穿过钢螺栓。旋进1/4圈，求螺栓与套筒间的预紧力。设螺距为h。 题2.46

题2.46 解

§2.11 温度应力与装配应力 工作在温度变化范围较大的构件，由于温度变化引起杆件内力，称温度应力 发电机输热管道 化工管道 桥梁 §2.11 温度应力与装配应力 工作在温度变化范围较大的构件，由于温度变化引起杆件内力，称温度应力 发电机输热管道 化工管道 桥梁 裸露的输气管及水管

图2.34 由平衡方程得 RA＝ RB 由温度引起的伸长为 DlT＝ aDT·l 由于基座的约束，AB杆其实并无伸长 DlT ＝ Dls

温度应力的解法 Dls ＝ RBl EA 可解得 aDT·l = RBl EA RB = EA aDT s = E aDT

碳钢的温度应力 碳钢的a=12.5x10-6/C，E=200GPa。 sT = E aDT =12.5x10-6x200x103DT=2.5DT (MPa) 当DT＝80 C时， sT高达200MPa，而低碳钢的ss仅235MPa，而许用应力[s]通常仅120MPa 左右。所以应力是非常大的。

伸缩节 波纹管伸缩节

伸缩缝 火车钢轨伸缩缝 钢轨 负温度系数的材料 叠合伸缩缝 梳状伸缩缝

ACB为刚杆，钢杆AD的A1＝100mm2，l1=330mm，E1＝200GPa，a1=12 ACB为刚杆，钢杆AD的A1＝100mm2，l1=330mm，E1＝200GPa，a1=12.5x10 -6/C ；铜杆BE 的A2＝200mm2，l2=220mm，E2＝100GPa，a2=16.5x10 -6/C 。温升30 C ，试求两杆的轴力。 例2.12

例2.12 解 位移协调方程 = 240 150 Dl1T -Dl1 Dl2 - Dl2T 由平衡方程得 240N1=150N2

例2.12 解续 DlT＝ aDT·l 由 得 Dl1T＝ 124x10-6m Dl2T＝ 109x10-6m Dl1 = N1l1 例2.12 解续 DlT＝ aDT·l 由 得 Dl1T＝ 124x10-6m Dl2T＝ 109x10-6m Dl1 = N1l1 E1A1 Dl2 = N2l2 E2A2 由 得 Dl1＝0.0165x10-6N1 Dl2＝0.011x10-6N2 代入平衡方程及位移协调方程 240N1=150N2 = 240 150 Dl1T -Dl1 Dl2 - Dl2T N1=6.68kN 得 N2=10.7kN 此处设N为压力，结果为正，表示所设方向正确

装配应力 由于加工时的尺寸误差，造成最后装配后的结构存在应力，称装配应力。装配应力与温度应力一样，仅存在于静不定结构中。 装配应力通常对材料强度不利 ，但并非全是坏事: 机械结构配合尺寸中的过盈配合，通常会产生装配应力，但这是结构需要。 预应力梁即是利用装配应力提高结构强度的例子。

预应力空心楼板 混凝土 预应力钢筋

吊桥链条的一节由三根长为 l 的钢杆组成。截面积杆同，材料相同，中间一节短于名义长度。加工误差为d=l/2000，求装配应力。 例2.13

例2.13 解 由平衡方程得 2N1=N2 由位移协调方程得 Dl1+ Dl2＝d Dl1 = N1l1 Dl2 = N2l2 由 例2.13 解 由位移协调方程得 Dl1+ Dl2＝d Dl1 = N1l1 E1A1 Dl2 = N2l2 E2A2 由 N1 +N2 = EA 2000 得 N1 = EA 6000 N2 = 3000 最后得 s1=33.3MPa s2=66.7MPa

§2.12 应力集中的概念 由于截面尺寸的突然变化，使截面上的应力分布不再均匀，在某些部位出现远大于平均值的应力，称应力集中。

应力集中的实例

应力集中与圣维南原理

理论应力集中系数 k = smax s

理论应力集中系数与尺寸的关系

屈服与应力重新分配

应力集中的危害 脆性材料－应力集中部位的应力首先达到屈服而破坏。 塑性材料－在交变应力作用下，应力集中部位首先产生疲劳裂纹而产生疲劳破坏。

习题 2.39 2.43 2.47 *2.49