方差分析 ANOVA 助教 李婕 2003年11月21日

已经学过的知识 一位研究者对长子与次子的心理特征感兴趣。他在一年级大学生中随机抽取了10个长子和20个非长子对其施测自尊量表。10个长子在量表上的平均分是X = 48， SS=670。 20个非长子的平均分是X = 41， SS=1010。这些数据表明两组间是否有显著差异？用α= .01 的显著性水平作假设检验。

一个新的情境 一位研究者感兴趣影响儿童阅读能力的因素.研究者认为儿童的年龄和每次阅读时间可能是重要的影响因素。研究者设计了以下实验：选取三个年龄组的儿童: 3 岁, 8 岁, 和 14 岁.将每个年龄组的儿童随机分配到三个阅读条件. 组 1阅读时间为 5 分钟; 组 2为15 分钟; 对于组 3为30 分钟.两个星期之后测试了这些儿童的阅读能力。    

  阅读时间 5 分钟 15 分钟 30 分钟 年龄 3 岁 8 岁 14 岁 3*3个共9个单元格，如何分析数据？

分析 t-检验和 z-检验不能用于多于 2 组的数据. 处理这类数据需要用一种新的推论统计程序: 方差分析 (ANOVA). (为什么)

这次课的内容 最基本的ANOVA.集中讨论单因素, 独立测量的研究设计. 1. ANOVA的简介 2. ANOVA的逻辑 5.     事后检验

ANOVA简介（1） 方差分析即analysis of variance，简称ANOVA。 功能：分析实验数据中不同来源的变异对总变异的贡献大小，确定实验中的自变量是否对因变量有重要影响。

方差的来源 什么造成样本的不同(处理间变异) 每一个样本内部的变异 (处理内变异) 处理/组效应 - 处理造成的差异 个体差异效应 - 个体差异变异 随机误差 每一个样本内部的变异 (处理内变异) 个体差异效应 随机误差

ANOVA简介（2） 在方差分析中, 自变量称为因素. 包含一个自变量的研究称为单因素设计（single-factor design）. 具有多于一个自变量研究称为因素设计（factorial design）. 构成因素的个别处理条件称为因素的水平

ANOVA简介（3） ANOVA能够处理数据的类型： 两个自变量 (称为因素): 年龄和阅读时间，都是组间 (独立样本) 变量. 包含组内 (重复测量) 因素的研究设计 同时包含组间和组内因素的混合设计(e.g. 假设上例中我们用同一些儿童作纵向研究。年龄是组内变量,阅读时间是组间变量). 上述研究称为因素设计, 两个组间因素,每一个因素有 3 个水平 (称为 3 X 3 组间设计).

ANOVA逻辑 与假设检验的逻辑是同样的, 只是具体内容有变化 step 1: 陈述 H0 (和H1) ，确定标准: a = ? step 2: ANOVA 检验总是 单尾（不同之处） step 3: 指出检验的df (有两个 df) step 4: 查表找出临界 F统计量 step 5: 对于样本，计算 F统计量 step 6: 比较 F统计量 和临界 F统计量 step 7: 对于H0 作出结论

单因素, 独立测量研究设计的例子 检验三个不同的学习方法的效应。将学生随机分配到3个处理组 方法 A：让学生只读课本, 不去上课. 方法 B：上课,记笔记，不读课本. 方法 C：不读课本，不去上课, 只看别人的笔记

单因素, 独立测量研究设计的例子 Step 1: 陈述假设和设定标准 (选择 a) H0: m1 = m2 = m3 m1不等于 m2 = m3 m1 = m3 不等于 m2 m1 = m2 不等于 m3 m1 不等于 m2 不等于 m3 因此，只需给出虚无假设就够了

单因素, 独立测量研究设计的例子 step 2: ANOVA 检验总是单尾. 因为不存在负的方差. F分布表也只有单侧的Alpha.（F分布图） step 3: 找出检验的 df. 注意要考虑几个 df step 4: 从表找出临界 F统计量 step 5:计算样本 的F统计量观测值 step 6:比较 F统计量的观测值与临界 F统计量 如果 F统计量的观测值 (Fobs) 在统计上显著地大于 1.0 则拒绝 H0

单因素, 独立测量研究设计的例子 F<或＝1, 即MS组间/ MSw组内<1，说明数据的总变异由分组不同造成的变异只占很小的部分，大部分是由试验误差何个体差异所致，就是说不同的实验处理之间变异不大，或者说试验处理基本无效。 F>1而且落入F分布的临界区，说明实验数据的变异由不同的实验处理所造成，即不同的试验处理之间有差异。

   ANOVA的专用符号    K = 处理条件(或组)的数目 n = 每一个组的数目(如果它们相等) ni = 第i组的数目(如果 它们不等) N = Sni = 总的样本容量 Ti = SXij G = SXij =总的和 G-bar = G / N = 总的均值 SSi = 每一个组的和方 = S(Xij - i)2

研究方法 4 1 3 2 6 T1 = 5 T2 = 20 T3 = 5 SS1 = 6 SS2 = 6 SS3 = 4 n1 = 5 方法 A 只读课本 方法 B 只作笔记 方法 C 借别人笔记 4 1 3 2 6 T1 = 5 T2 = 20 T3 = 5 SS1 = 6 SS2 = 6 SS3 = 4 n1 = 5 n2 = 5 n3 = 5 1 = 1 2 = 4 3 = 1

SX2=106 G=30=总的和 N=15=总的样本容量 G-bar=30/15=2= 总的均值 K = 3 =处理条件 (或组)

ANOVA的过程 F比率 = 处理间方差 /处理内方差( 需要找出两个方差. ) 最基本公式s2 = SS/df. SS和 = SX2 - (G2/N) SS和 = 106 - (302/15) =106 - 60 = 46 需要将其分解为组间变异和组内变异. SS和 = SS组间 + SS组内 如何得到SS组内? 将每一个组SS相加 SSwithin = SSS每一个 处理内部 = SSSi= 6 + 6 + 4 = 16 如何得到SS组间? 快捷的方法是: SS和- SS组内

注意 不推荐用这种方法, 因为: 无法检查计算错误 未涉及SS组间 是如何组成.

直接计算 SS组间的两个公式 :定义公式和计算公式 定义公式：SS间 = S[ni( X-bar- G-bar)2] = 5(1 - 2) 2 + 5(4 - 2) 2 + 5(1 - 2)2 = 5 + 20 + 5 = 30 计算公式：SS间 = S(T2/ni) - G2/N = 52/5 + 202/5 + 52/5 - 302/15 = 5 + 80 + 5 - 60 SS和 = SS组间 + SS组内 = 16 + 30 = 46 s2 = SS/df.

df 共有两个 (或三个) 自由度, 一个组间方差df,一个组内方差df (以及一个总的 df). df和 = N - 1 df组内 = = N - K df组间= K - 1 df和 = df组内 + df组间

df 在例子中: df组内 = 15 - 3 = 12 df组间= 3 - 1 = 2

均方：计算方差. 方差 = 均方 = MS = SS/df MS组间= SS组间/df组间 --> 上例中 = 30/2 = 15 --> 上例中 = 16/12 = 1.33

F比率 F比率 = 处理间方差/处理内方差 = MS组间 / MSw组间 上例中的F比率是: 15/1.33 = 11.28

查 F表 确定 Fcrit 对假设作出结论 df组间 = 分子的df df组内 = 分母的df (误差) 如果选择 a = .05, Fcrit = 3.88 如果选择 a = .01, Fcrit = 6.93 F比率的观测值11.28> Fcrit., 所以拒绝 H0 (m1 = m2 = m3). 报告结果 F(df组间,df组内) = Fobs, p < ?

报告结果 单因素方差分析发现学习方法有显著的效应, F(2,12) = 11.28, p < 0.01.

事后检验（Post hoc tests）1 ANOVA 的结果是检验H0: m1 = m2 = m3 ,并未提供哪个备择假设得到支持. 也就是说, 只知道一些组与其它组不同, 但并知道差别在哪些组之间. 所以从ANOVA得到显著差异的结果 (拒绝H0)后,一定要做作事后检验. 事后检验 使我们能够比较各组, 发现差异产生在什么地方. 事后检验就是比较每一个处理组与另一个处理组, 一次比较两个. 这称为成对比较.

事后检验（Post hoc tests）2 在上例中, 可以比较 m1 与 m2, m1与 m3, 以及 m2与 m3. 这样的做法有没有问题？ 每一个比较 都是一个单独的假设检验, 每一个都有犯I类错误的风险. 所以,比较对数越多, 作结论的风险越大。即容易发现实际不存在的差异。 这称为实验导致的（experimentwise）alpha 水平 (或族系（familywise） 误差)

事后检验（Post hoc tests）3 αEW = 1 - (1 - a)c c = 比较对数 I类错误的机会增加到14.7%而不再是5%，多数事后检验设计中都控制了实验导致误差.

事后检验（Post hoc tests）4 介绍两个事后检验: Tukey's HSD 检验 (honestly差异显著性) 检验和 Scheff 检验.

a) Tukey's HSD 检验 可以计算出单一的值确定处理均值间的最小差异，考查此差异在统计上是否显著. 此检验要求各组有相等的样本容量. HSD = q * sqrt（MS组内/n） q 值 可以从表中查出(附表6). 需要用到K和 df组内, 以及αEW

举例 在上例中 (用αEW = .05): HSD = q * sqrt（MS组内/n）=(3.77) sqrt（1.33/5） = (3.77)(.516) = 1.94 比较 1: H0: m1 = m2 2 -1 = 4.0 - 1.0 = 3.0 HSD = 1.94 < 3.0，拒绝 H0 比较 2: H0: m1 = m3 3 -1 = 1.0 - 1.0 = 0.0 HSD = 1.94 > 0.0，不能 拒绝 H0 比较 3: H0: m2 = m3 2 -3 = 4.0 - 1.0 = 3.0 HSD = 1.94 < 3.0， 拒绝 H0 所以 B 与 A 和 C不同，而A 与 C 没有差异

b)     ScheffŽ检验 用F比率检验差异. 这是最保守的检验 (降低 I类错误的风险, 但增加II类错误的风险). 特别适用于n 不等的情况  重新计算 MS组间, 每次只检验一个比较.注意:用整体的 df组间 和整体的MS组内.

举例：比较 1 H0: m1 = m2 SS组间 == 52/5+202/5-252/10 = 22.5 F比率 = MS间/MS组内= 11.25/1.33 = 8.46 查 F表. a = .05, Fcrit(2,12) = 3.88 8.46 > 3.88, 拒绝 H0

举例：比较 2 H0: m1 = m3 SS组间== 52/5+52/5-102/10= 0 MS组间 =0/2 = 0 F比率 = MS间/MS组内= 0/1.33 = 0 查 F表. a = .05, Fcrit(2,12) = 3.88 0 < 3.88, 不能拒绝 H0

举例：比较 3 H0: m2 = m3 SS组间 ==52/5+202/5-252/10 = 22.5 F比率 = MS间 /MS组内 = 11.25/1.33 = 8.46 查 F表. a = .05, Fcrit(2,12) = 3.88 8.46 > 3.88, 拒绝 H0

与t-检验的关系 差异间独立样本 t-检验与两个水平的单因素组间 ANOVA有何区别? 没有. F比率 = t2 差异间t-检验和 ANOVA, t-检验是考察两个均值间的差异ANOVA 是考察方差. 如果只有两个组, t 统计量的平方就是F 统计量.

练习题 一位研究者研究三种键盘设计。记录了三组被试的错误次数： 键盘A： 0 4 0 1 0 键盘B： 6 8 5 4 2 键盘C： 6 5 9 4 6 键盘类型对打字错误有无显著的影响？