大学物理实验

内容提示 第1节 偶然误差理论 第2节 测量结果不确定度评定 第3节 有效数字的记录与计算 第4节 实验方案的选择原则 第1节 偶然误差理论 第2节 测量结果不确定度评定 第3节 有效数字的记录与计算 第4节 实验方案的选择原则 第5节 数据处理常用方法

第1节 偶然误差理论 一、测量与误差的基本概念 二、偶然误差理论

一、测量与误差的基本概念 1. 测量的定义与分类 2. 真值、算术平均值 3. 误差、偏差 4. 误差的分类 5. 测量结果的两种表示

1. 测量的定义与分类 测量: 就是通过物理实验的方法，把被测量与作为标准的同类单位量进行比较的过程。 直接测量 分类 间接测量

多次测量的算术平均值可作为真值的最佳近似值 2. 真值、算术平均值 真值: 某物理量客观存在的值称 真值是个理想的概念， 一般不可能准确知道。 算术平均值 多次测量的算术平均值可作为真值的最佳近似值

3. 误差、偏差 误差：被测物理量的测量值与真值之差 偏差：被测物理量的测量值与算术平均值之差

4. 误差的分类 系统误差 偶然误差 仪器误差 在同一条件下多次测量同一物理量时，其结果的符号和大小按一定规律变化的误差 方法误差 环境误差 人为误差 在同一条件下多次测量同一物理量时，其结果的符号和大小按一定规律变化的误差 来源 偶然误差 对于数学期望值为零的随机误差通常称它为偶然误差。

随机误差 在消除或修正系统误差之后，测量结果仍会出现一些无规律的起伏。这种绝对值和符号随机变化的误差，称为随机误差

4. 误差的分类 系统误差 偶然误差 仪器误差 在同一条件下多次测量同一物理量时，其结果的符号和大小按一定规律变化的误差 方法误差 环境误差 人为误差 在同一条件下多次测量同一物理量时，其结果的符号和大小按一定规律变化的误差 来源 偶然误差 主观方面 测量仪器方面 环境方面 对于数学期望值为零的随机误差通常称它为偶然误差。 来源

一、判别下列几种情况产生的误差属于何种误差？ 1. 米尺的分度不准； 2. 视差； 3. 水银温度计毛细管不均匀； 4. 游标卡尺或外径千分尺零点不准； 5. 电表接入被测电路所引起的误差； 6. 天平横梁不等臂；

5. 测量结果的两种表示 测量结果的误差表示方式 测量结果＝ x ±Δx 测量结果的不确定度表示方式 测量结果＝x  u

二、偶然误差理论 1. 偶然误差的统计规律 2. 标准误差  的意义 3.  的最佳估计值——样本的标准偏差

1. 偶然误差的统计规律 偶然误差分布函数： x ：表示测量误差（测量值与真值之差） f（x）：表示测量误差x出现的概率

对应正态分布的图： 有界性 单峰性 对称性 抵偿性

2. 标准误差  的意义 是正态分布函数的一个参数 σ可以表示测量值偏离真值大小的程度。 此时，被称为标准误差 σ小 σ大 是正态分布函数的一个参数 σ可以表示测量值偏离真值大小的程度。 此时，被称为标准误差 测量误差在（－σ，+σ）内的概率为68.3%； 测量误差在（－3σ，+3σ）内的概率为99.73%；

3.  的最佳估计值——样本的标准偏差 利用计算器的统计功能可以直接计算样本的标准偏差

第2节 测量结果不确定度评定 一、不确定度的两类分量 二、直接测量量的不确定度评定步骤 三、间接测量量的不确定度评定步骤

一、不确定度的两类分量 1. 不确定度的定义 对测量值的准确程度给出一个量化的表述 1. 不确定度的定义 对测量值的准确程度给出一个量化的表述 它表示测量值不能确定的一个范围，或者说以测量结果作为被测量真值的估计值时可能存在误差的范围，并且在这个范围内以一定的概率包含真值。 测量结果＝ｘu （P= ） 其中u值可以通过一定的方法进行估算，称为不确定度。

2.不确定度的两类分量 Ａ类 统计不确定度 是指可以采用统计方法计算的不确定度。 （即具有随机误差性质） Ａ类 统计不确定度 是指可以采用统计方法计算的不确定度。 （即具有随机误差性质） 这类不确定度被认为是服从正态分布规律的

Ｂ类 非统计不确定度 是指用非统计方法求出或评定的不确定度 对Ｂ类不确定度的估计作简化处理，只讨论因仪器不准对应的不确定度。仪器不准确的程度主要用仪器误差来表示 ，即：

3.合成不确定度

二、直接测量量的不确定度评定步骤 （1）修正测量数据中的可定系统误差； （2）计算测量列的算术平均值 作为测量结果的最佳值； （2）计算测量列的算术平均值 作为测量结果的最佳值； （3）计算测量列的样本标准偏差 ； （4）样本标准偏差作为不确定度Ａ类分量 ； （5）计算不确定度的Ｂ类分量 ； （6）求合成不确定度 （7）写出最终结果表示：

例：用毫米刻度的米尺，测量物体长度十次，其测量值分别是：l=53. 27；53. 25；53. 23；53. 29；53. 24；53 例：用毫米刻度的米尺，测量物体长度十次，其测量值分别是：l=53.27；53.25；53.23；53.29；53.24；53.28；53.26；53.20；53.24 ；53.21 (单位cm） 。 试计算合成不确定度，并写出测量结果。 [解]： 1）修正测量数据中可定系统误差（如零点修正，本题不用） 2）计算 l 的最佳估值; 3) 计算Ａ类不确定度: 4) Ｂ类不确定度 : 5）合成不确定度： 6）测量结果：

三、间接测量量的不确定度评定步骤 间接测量量 直接测量量

1. 间接测量量的最佳值 为间接测量量的最佳值 注意：

2. 不确定度的传递 以微小量代替微元 ，得： 不确定度与微小量之间的关系：

当x，y，z相互独立时，有

对于以乘、除运算为主的函数

例： 已知质量m=（213.04±0.05）g，的铜圆柱体，用0~125mm、分度值为0.02mm的游标卡尺测量其高度h六次；用一级0~25mm千分尺测量其直径D也是六次，其测值列入下表（仪器零点示值均为零），求铜的密度。 次数 1 2 3 4 5 6 高度h/mm 80.38 80.37 80.36 直径D/mm 19.465 19.466 19.464 19.467

解：铜圆柱体的密度： 可见ρ是间接测量量。由题意，质量m是已知量，直径D、高度h是直接量。

（1）高度h的最佳值及不确定度： 游标卡尺的仪器误差： 因此得： （中间运算，可以多取一位）

（2）直径D的最佳值及不确定度： 千分尺的仪器误差： 因此得 （中间运算，可以多取一位）

（3）密度的算术平均值： （4）密度的不确定度：

因此得： （5）密度测量的最后结果为：

第3节 有效数字的记录与计算 一、直接测量量的有效数字之运算 二、间接测量量的有效数字之运算 三、有效数字的舍入法则

一、直接测量量的有效数字之运算 1. 一般读数应读到最小分度以下再估一位; 2. 有时读数的估计位，就取在最小分度位； 1. 一般读数应读到最小分度以下再估一位; 2. 有时读数的估计位，就取在最小分度位； 3. 游标类量具只读到游标分度值，一般不估读； 4. 数字式仪表及步进读数仪器不需要进行估读，仪器所 显示的未位就是欠准数字； 5. 在读取数据时，如果测值恰好为整数，则必须补“０”，一直补到可疑位 。

读数举例： 2.02cm 0.919 KΩ 0~500mA 129mA

二、间接测量量的有效数字之运算 （1）加减运算 时，“尾数取齐”。例如：278.2+12.451=290.7。 （2）乘除运算时， “位数取齐”。例如：5.438×20.5=111 （3）乘方、开方运算，其结果的有效数字位数与被乘方、 开方数的有效数字位数相同。例如： （4）对数运算，小数点后的后面的位数取成与真数的位数相同；例如：ln56.7=4.038 指数函数运算结果的有效数字中，小数点后的位数取成与指数中小数点后的位数相同； 例如：e9.14=1.03×104 祥看课本24页 （5）一般说来，函数运算的有效数字，应按间接量测量误差 （不确定度）传递公式进行计算后决定。 (中间运算过程中可 以多取几位)

三、有效数字的舍入法则 “小于五舍去，大于五进位，等于五凑偶” 将下列数据保留三位有效数字：

第4节 实验方案的选择原则 一、测量仪器的选择 二、测量最佳条件的选择 三、测量环境的选择

一、测量仪器的选择 ① 仪器选择：精度、量程、使用方式。 ② 仪器搭配：保证测量时由仪器引入的误差符合测量要求，同时又经济实惠

仪器搭配原则—误差均分原则 测间接测量量 ，若对函数的最大相对误差给出限制，即要求 不大于给定的百分数值，则各独立变量误差对函数Ｎ的相对误差传递按等贡献分配。

最大相对误差传递公式：（仪器误差传递公式） 误差均分： 注意：均分原则不是绝对的。实验设计时可根据具体情况，适当调整各直接测量量的所占分额。但均分原则理论上讲是科学的。

例：测量某圆柱体的体积（H≈40mm；D≈4mm)，要求由仪器引入的相对误差≤0.5%，问应如何选配仪器？ 解： 相对误差传递公式： 由误差均分原则： 用十分度的游标卡尺（ ）测高度H；用外径千分尺（ ）测直径D可满足要求。

二、测量最佳条件的选择 测量结果的误差大小除了与仪器的精度有关外，还与测试条件有关。

确定最佳测试条件的原则： 设间接测量量 ， 其相对误差为： 欲使 最小，只要满足下式即可。

例1．用线式电桥测电阻， ，式中 和 为滑线两臂长，Ｌ＝ + ，问滑动片在什么位置作测量，能使 相对误差最小？ G

解：相对误差 假定R0与滑线总长L为准确数 这就是线式电桥测电阻时的最佳条件

三、测量环境的选择 在选择实验方案、设计实验装置时，总是要突出所要研究或测量的对象，排除干扰，也就是要尽量的提高“信噪比”，不能使待测量淹没在误差之中。

第5节 数据处理常用方法 一、 列表法 二、 作图法 三、 逐差法 四、 最小二乘法

1. 列表法 一种记录测量数据的方法； 根据需要有时把计算过程的中间值列在数 据表中； 要交代清表中各符号所代表的物理量并在 符号后写明单位； 表中数据要正确反映测量结果的有效数字

列表法示例1: 伏安法测电阻数据记录 次 数 1 2 3 4 5 电流I （A） 0.082 0.094 0.131 0.170 0.210 电压U（V） 0.87 1.00 1.40 1.80 2.30 电流I和电压U均为直接测量量； 电流I的单位：A ；电压U的单位：V； 按有效数字规则记录数据。

列表法示例2: 热敏电阻温度特性研究数据记录 列表法示例2: 热敏电阻温度特性研究数据记录 直接测量量 1 2 ……. 8 （℃） 14.6 23.2 …… 61.9 0.00347 0.00337 0.00298 （Ω） 271.3 223.4 66.9 5.6032 5.4090 4.203 中间量

2. 作图法 （1） 常用图线类型 函数曲线 校准曲线

函数曲线 U I 热敏电阻的温度曲线 伏安特性曲线 在一定条件下，某一物理量与另一物理量 之间的相互关系； 图线是光滑曲线

校准曲线 Ix △Ix △Imax 电流表校准曲线 相邻校准点以直线连接； 校准曲线与被校准仪器一起使用

2. 作图法 （2） 作图法规则 1）作图一定要用坐标纸 2）图中要标明图名、轴名，并适当选取x轴、y轴比例（且符合有效数字位数要求）及坐标的起点，使图形比较对称地充满整个图纸。 3）描点和连线。描点可用“+、×、⊙”符号表示数据点。 连线要纵观所有数据点的变化趋势，充分尊重实验事实，不要人为地往理论上靠。所连的线不一定要通过所有的数据点，而要在线的两测数据点均衡分布。 4）表明图线特征（截距、斜率等，标出被选计算点坐标）

不同类型的坐标纸 直角坐标纸 单对数坐标纸 双对数坐标纸 极坐标纸

某金属丝电阻温度曲线 （23.0，77.00） （50.0，85.00） t

2. 作图法 （3） 作图法应用 粗略确定两物理量间相应的函数关系； 校准曲线； 图线内插法或外推法测得无法测得的物理量； 曲线改直；

通过外推法可推算出气垫导轨上滑块的瞬时速度 V △X（cm） 2 4 6 8 10 V瞬时 通过外推法可推算出气垫导轨上滑块的瞬时速度

曲线改直（例半导体热敏电阻电阻温度特性） RT T lnRT 1/T

3. 逐差法 当自变量成线性关系，而自变量为等间距变化时，用逐差法处理更具有独特的优点。

例：杨氏模量实验（钢丝不断地增加等负荷情况下，测定其伸长量 Δx的平均值） 一般方法取平均： 伸长量 ： Δx1 Δx2 Δx3 Δx4 Δx5 Δx6 Δx7 测量序号：1 2 3 4 5 6 7 8 测量值： x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 可见中间值全部消掉，只有始末两个测量值起作用。

逐差法取平均： 测量序号：1 2 3 4 5 6 7 8 测量值： x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 测量序号：1 2 3 4 5 6 7 8 测量值： x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 逐差伸长量： Δx1 Δx2 Δx3 Δx4 逐差伸长量的定义（分两组）： Δxi=xi+4-xi 逐差法具有充分利用数据，减小误差的优点

？ 4. 最小二乘法 作图法直观、方便，但在曲线的绘制上带有一定的主观随意性。同一组数据可能会得到不同的拟合曲线。 Y X ？ 从一组实验数据中客观地找出一条最佳的拟合曲线

4. 最小二乘法 （ 一种精确的曲线拟合方法） （1）回归方程的确定 y = a + bx （2）相关系数 r

4. 最小二乘法 x1 x2 … xi … xn y1 y2 … yi … yn （1）回归方程的确定 设两个物理量之间满足线性关系: 最小二乘法原理: 所有偏差平方之和为最小值时，所拟合的直线为最佳。

y = a + bx 是由实验数据（xi，yi）所拟合出的最佳直线方程，即回归方程。

4. 最小二乘法 （2）相关系数 r

相关系数 r图解

例题： 实验测量一组数据点如下： x =0， 1.000， 2.000， 3.000， 4.000， 5.000 y =0， 0.780， 1.576， 2.332， 3.082， 3.898 用最小二乘法求经验公式。 解： ①设定x、y满足线性关系：y=a+bx ②用最小二乘法求系数a、b ③求相关系数 r=0.999999 ④经验公式：y=0.00517+0.7758x

参考书 《物理实验教程》第二版 丁慎训主编 清华大学出版社 《物理实验教学参考书》 潘人培主编 高等教育出版社 《物理实验教程》第二版 丁慎训主编 清华大学出版社 《物理实验教学参考书》 潘人培主编 高等教育出版社 《大学物理实验》 武瑞兰 主编 中国计量出版社 《普通物理实验教程》曾贻伟 主编 北京师范大学出版社 《大学物理实验》 陆廷济等编著 同济大学出版社

二、实验注意事项 迟到15分钟，取消实验资格。请假要有有效的假条。严肃处理中途退场、冒名顶替或伪造实验数据者。 　　　　　二、实验注意事项 迟到15分钟，取消实验资格。请假要有有效的假条。严肃处理中途退场、冒名顶替或伪造实验数据者。 学生进入实验室后先交预习报告，再检查本实验仪器是否齐全、完好，如果发现问题及时报告。实验过程中发现仪器损坏，要报告教师。 实验中若发现问题应及时向教师请教。 实验中要求自己多动手操作。若两个人合作，要轮流操作。反对互相帮助。 要用钢笔或圆珠笔记录原始数据，不能用铅笔。 实验完毕，将实验数据交教师审查签字，再将实验仪器整理还原后方可离开实验室。决不允许伪造实验数据。 注意老师的具体实验要求，部分实验要求当堂交实验报告。