第3讲 空间点、直线、平面之间 的位置关系 [最新考纲] 1．理解空间直线、平面位置关系的定义． 2．了解可以作为推理依据的公理和定理． 第3讲　空间点、直线、平面之间 的位置关系 [最新考纲] 1．理解空间直线、平面位置关系的定义． 2．了解可以作为推理依据的公理和定理． 3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.

知 识 梳 理 1．平面的基本性质 (1)公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在此平面内． (2)公理2：过 的三点，有且只有一个平面． (3)公理3：如果两个不重合的平面有 公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 两点 不在一条直线上 一个

(4)公理2的三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面； 推论2：经过两条 直线有且只有一个平面； 推论3：经过两条 直线有且只有一个平面． 相交 平行

平行 相交 任何 锐角(或直角)

(3)平行公理和等角定理 ①平行公理：平行于 的两条直线互相平行． ②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 ． 3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有 、 、 三种情况． (2)平面与平面的位置关系有 、 两种情况． 同一条直线 相等或互补 在平面内 相交 平行 相交 平行

辨 析 感 悟 1．对平面基本性质的认识 (1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分． ( ) (2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，记作α∩β＝A. ( ) (3)(教材练习改编)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面． ( ) (4)(教材练习改编)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． ( ) × × √ ×

2．对空间直线关系的认识 (5)已知a，b是异面直线、直线c平行于直线a，那么c与b不可能是平行直线． ( ) (6)没有公共点的两条直线是异面直线． ( ) √ ×

[感悟·提升] 1．一点提醒　对做有关平面基本性质的判断题时，要抓住关键词，如“有且只有”、“只能”、“最多”等．如(1)中两个不重合的平面还可把空间分成三部分． 2．两个防范　一是两个不重合的平面只要有一个公共点，那么两个平面一定相交得到的是一条直线，如(2)；二是搞清“三个公共点”是共线还是不共线，如(4)． 3．一个理解　异面直线是指不同在任何一个平面内，没有公共点．不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线，如(6)．

考点一　平面的基本性质及其应用 【例1】　(1)以下四个命题中，正确命题的个数是(　　)． ①不共面的四点中，其中任意三点不共线； ②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面； ③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面． A．0　　　 B．1　　　　 C．2　　　 D．3

(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么正方体的过P，Q，R的截面图形是(　　)． 解析　(1)①正确，可以用反证法证明；②从条件看出两平面有三个公共点A，B，C，但是若A，B，C共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上．

(2)如图所示，作RG∥PQ交C1D1于G，连接QP并延长与CB延长线交于M，连接MR交BB1于E，连接PE，则PE，RE为截面的部分外形． 同理连PQ并延长交CD于N，连接NG交DD1于F，连接QF，FG. ∴截面为六边形PQFGRE. 答案　(1)B　(2)D

规律方法　(1)公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据．要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理． (2)画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置．

【训练1】　如图所示是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形的序号是________．

解析 可证①中的四边形PQRS为梯形；②中，如图所示，取A1A和BC的中点分别为M，N，可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形；③中，可证四边形PQRS为平行四边形；④中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P，Q，R，S四点不共面． 答案　①②③

考点二　空间两条直线的位置关系 【例2】　如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中， ①GH与EF平行； ②BD与MN为异面直线； ③GH与MN成60°角； ④DE与MN垂直． 以上四个命题中，正确命题的序号是________．

解析 把正四面体的平面展开图还原．如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN. 答案　②③④

规律方法　空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．

【训练2】　在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．

解析　图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中GH与MN异面． 答案　②④

考点三　异面直线所成的角 【例3】　在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°. (1)求四棱锥的体积； (2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值．

审题路线　(1)找出PB与平面ABCD所成角⇒计算出PO的长⇒求出四棱锥的体积． (2)取AB的中点F⇒作△PAB的中位线⇒找到异面直线DE与PA所成的角⇒计算．

规律方法　(1)平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下： ①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形；

【训练3】　(2014·成都模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1B1，A1D1的中点，则A1B与EF所成角的大小为________．

1．证明线共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上． 2．证明点或线共面问题，一般有以下两种途径： (1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余线(或点)均在这个平面内； (2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证平面重合．

3．异面直线的判定方法 (1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线； (2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．

思想方法8——构造模型判断空间线面的位置关系 【典例】　(2012·上海卷)已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则(　　)． A．m与n异面 B．m与n相交 C．m与n平行 D．m与n异面、相交、平行均有可能

解析　在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是m∥n1，所以A，B错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误． 答案　D

[反思感悟]　这类试题一般称为空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体(如正方体、正四面体等)为模型进行推理或者反驳．

【自主体验】 1．(2013·浙江卷)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面(　　)． A．若m∥α，n∥α，则m∥n　　　　 B．若m∥α，m∥β ，则α∥β C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α　　　　 D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β

解析　本题可借助特殊图形求解，画一个正方体作为模型(如图)．设底面ABCD为α，侧面A1ADD1为β. ①当A1B1＝m，B1C1＝n时，显然A不正确； ②当B1C1＝m时，显然D不正确； ③当B1C1＝m时，显然B不正确．故选C. 答案　C

2．对于不同的直线m，n和不同的平面α，β，γ，有如下四个命题： ①若m∥α，m⊥n，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥n，则n∥α；③若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ；④若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β.其中真命题的个数是(　　)． A．1　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4

解析　本题可借助特殊图形求解．画一个正方体作为模型(如图)设底面ABCD为α. ①当A1B1＝m，B1C1＝n，显然符合①的条件，但结论不成立； ②当A1A＝m，AC＝n，显然符合②的条件，但结论不成立； ③与底面ABCD相邻两个面可以两两垂直，但任何两个都不平行； ④由面面垂直的判定定理可知，④是正确的． 只有④正确，故选A. 答案　A