数学第二轮专题复习第一部分 专题三 分类整合的思想方法

分类整合的思想方法 知识概要 ＞＞ 03 考题剖析 ＞＞ 07 规律总结 ＞＞ 27

分类整合的思想方法 知识概要 1.分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置. 所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略. ←返回目录

分类整合的思想方法 ←返回目录 知识概要 2.运用分类整合思想解题的基本步骤： (1)明确讨论的对象：即对哪个参数进行讨论； (2)对所讨论的对象进行合理分类(分类时要做到不重复、 不遗漏、标准要统一、分层不越级)； (3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决； (4)归纳总结：将各类情况总结归纳. ←返回目录

分类整合的思想方法 ←返回目录 3.明确引起分类讨论的原因，有利于掌握分类整合的思想方法解决问题.分类讨论的主要原因有： 知识概要 (1)由数学概念引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角、两条直线所成的角等等. (2)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零、偶次方根为非负、对数中真数与底数的要求、不等式中两边同乘以一个正数、负数对不等号方向的影响等等； ←返回目录

分类整合的思想方法 ←返回目录 知识概要 (3)由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论； (4)由图形的不确定性引起的分类讨论； (5)由参数的变化引起的分类讨论，某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或者由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法； (6)其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、 组合问题，应用问题等. ←返回目录

考 题 剖 析 ←返回目录

分类整合的思想方法 考题剖析 1.（2007·山东微山二中）如果函数f(x)=ax(ax－3a2－1)(a>0且a≠1) 在区间［0,+∞)上是增函数，那么实数a的取值范围是（ ） A.( 0, ］ B.［ , 1) C.( 0, ］ D.［ ,+∞) B ［解析］ 令ax=t因为f(x)在x∈［0,+∞)上单调递增 ①当a>1时,ax单调递增,t∈［1,+∞),f(t)=t2－(3a2+1)t 则1≥ 满足题意 解得a∈ . ②当0<a<1时,ax单调递减,t∈(0,1］,f(t)=t2－(3a2+1)t 则1≤ 满足题意,解得a∈［ ,1) 综合①②可得a∈［ ,1) ←返回目录

［点评］本题主要考查复合函数的单调性， 分类整合的思想方法 ←返回目录 考题剖析 由于指数与对数函数的单调性是用分类形式给出的， 而底数a与１的关系不确定所以要对a进行讨论. ←返回目录

分类整合的思想方法 ←返回目录 考题剖析 2.(2007·上海六校联考)已知各项均为正的等比数列{bn}的 首项b1=1，公比为q，前n项和为Sn，若 =1， 则公比q的取值范围是 . ［解析］ ①当q＝１时，Sn=nb1， ∴ = =1成立 ②当q≠１时，Sn= ， = = ←返回目录

分类整合的思想方法 ←返回目录 考题剖析 若０<q<1， =1成立， 若q>1，则 不存在 ［点评］ 本题主要考查等比数列的求和和数列的极 限求法.在等比数列求前n项和时要对公比q进行为1与不为1 的讨 论；在求形如 的极限时要讨论a与b的大小. ←返回目录

分类整合的思想方法 ←返回目录 考题剖析 3.（2007·山东淄博市）椭圆 =1的离心率为 ， 则m = . 又e＝ ，所以 3.（2007·山东淄博市）椭圆 =1的离心率为 ， 则m = . ［解析］当椭圆的焦点在x轴上时，a2=2,b2=m,则c2=2－m， 又e＝ ，所以 当椭圆的焦点在y轴上时， a2=m,b2=2,则c2=m－2，又e＝ 所以 ［点评］本题主要考查椭圆的方程及其性质，椭圆的方程虽然是标准形式但由于焦点位置未定所以要讨论. ←返回目录

分类整合的思想方法 ←返回目录 考题剖析 4.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分(如图). 现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种 一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花 . 不同的栽种方法有 种.(以数字作答) ［解析］解法1:将6个区域分4组，不同组栽种不同颜色的花，同一组栽种同一颜色的花.因为区域1与其它5个区域都有公共边，所以为了栽种方案合乎题意，分在同一组的区域至多只能有 2个.因而，由图形可知,不同分组法有且只有5类，如下表 ： ←返回目录

分类整合的思想方法 ←返回目录 (表中数字为区域号)： 考题剖析 每一类分组法，都有A 种不同的栽种方法.应用加法原理，得到所有符合题意的不同栽种方法的种数为N＝５A ＝120 第一组 第二组 第三组 第四组 第一类 1 2 3，5 4，6 第二类 2，5 3，6 4 第三类 3 第四类 2，4 6 第五类 5 ←返回目录

分类整合的思想方法 考题剖析 解法2:因为区域1与其它5个区域都有公共边，所以当区域1栽种一种颜色的花之后，该颜色的花就不能栽于其它区域.因而可分两步走，考虑如下： 第一步，在区域1中，栽上一种颜色的花，有4种栽法； 第二步，在剩下的五个区域中，栽种其它三种颜色的花.为此，可将2至6号五个区域分成3组，使同一组中的不同区域没有公共边.这样的分组法有且只有5类，如下表(表中数字为区域号)： ←返回目录

分类整合的思想方法 ←返回目录 考题剖析 对每一类分得的3个组，将3种颜色的花分别栽于各组，共有A 种栽法. 第一组 第二组 第三组 第一类 2 3，5 4，6 第二类 2，4 6 第三类 3，6 5 第四类 2，5 4 第五类 3 对每一类分得的3个组，将3种颜色的花分别栽于各组，共有A 种栽法. 应用乘法原理和加法原理，得合乎题意要求的不同栽种方法的种数为N＝４×５×A ＝120 ←返回目录

分类整合的思想方法 ←返回目录 考题剖析 解法3:分两类情况考虑： 第1类：第1、2、3、5等四个区域栽种不同颜色的4种花，共有 A 种栽法.对于每一种栽法，第4、6区分别都只有1种颜色的花可栽. 第2类：第1、2、3、5等四个区域栽种不同颜色的3种花，共有 种栽法.对于每一种栽法，要么2、5区栽同色花，要么3、5区栽同色花.对于前者，第6区有2种颜色的花可供选栽，第4区只能栽第4种颜色的花；对于后者，第4区有2种颜色的花可供选栽，第6区只能栽第4种颜色的花.即无论何种情形，第4、6区的栽法都是2种. 综合上述情形，应用加法原理与乘法原理，得不同栽种方法的 种数为 ←返回目录

分类整合的思想方法 考题剖析 ［点评]本题以花圃设计为应用背景，主要考查排列、组合的基础知识，侧重考查乘法原理和加法原理的应用，以及逻辑思维能力和计数能力. 为了正确解答本题，首先必须准确理解题意：抓住花圃布局的要求，看清图形中6个部分的关系；明确每个部分只种同一种颜色的花，相邻部分应种不同颜色的花；而且4种颜色的花都要种上，缺一不可.对这些条件要求，稍有疏忽、遗漏或曲解，都会导致解答出错;其次，应设计好周全而又不出现重复计数的推算程序，关键是推算过程中分步、分类的安排要合理且严密；此外，在每一分步或分类中，计数不出错；最后，乘法原理和加 法原理的运用，以及数值计算还得无误，方能得出正确的答数. 采用不同的计数模式和计数程序，伴随出现不同的解法，解法恰当还可避免分类讨论. ←返回目录

分类整合的思想方法 ←返回目录 考题剖析 动点M到定直线y＝１的距离等于d，并且满足条件： 其中O为坐标原点，k为参数. 5.（2007·北京市朝阳区期末）已知向量 , 动点M到定直线y＝１的距离等于d，并且满足条件： 其中O为坐标原点，k为参数. （１）求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型； （２）如果动点M的轨迹是一条圆锥曲线， 其离心率e满足 ≤e≤ ，求实数k的取值范围. ←返回目录

分类整合的思想方法 ←返回目录 考题剖析 ［解析］（１）设M (x,y)，则由 且O为坐标原点得 A( 2, 0),B（２，１），C（０，１）， 从而 代入 整理得 (1－k)x2+2(k－1)x+y2=0为所求轨迹方程. ①当k＝１时，得y＝０，轨迹是一条直线 ②当k≠１时，得(x－1)2+ =1 若k＝０，则轨迹是一个圆；若k>1，则轨迹为双曲线； 若k<0或0<k<1则轨迹为椭圆. ←返回目录

分类整合的思想方法 ←返回目录 考题剖析 （2）因为 ≤e≤ 所以方程表示椭圆. 对于方程(x－1)2+ =1 ①当０<k<１时，a2=1,b2=1－k,则c2=k，此时e2= =k， 而 ≤e≤ ，所以 ≤k≤ ②当k<０时，b2=1,a2=1－k,则c2=－k，e2= = ， 所以 ≤ ≤ ,得－1≤k≤－ 综上得：k的范围是 ≤k≤ 或－1≤k≤－ ←返回目录

分类整合的思想方法 考题剖析 ［点评］ 本题主要考查轨迹的求法及方程表示轨迹和分类讨论思想，由于方程系数不确定其表示曲线类型也不确定因此要讨论参数k. 6.已知函数f(x)=x3+3ax－1,a为实常数. （1）a在什么范围内时，y=f(x)与y=3只有一个公共点？ （2）若φ(x)= | |在［－2,0)∪(0,2］上有最小值2， 求a的值. ←返回目录

分类整合的思想方法 ←返回目录 考题剖析 ［解析］（1）f ′(x)=3x2+3a=3(x2+a). ①当a≥0时，f ′(x)≥0，所以f(x)在R上单调递增，此时y=f(x)与y=3只有一个公共点； ②当a≤0时，f ′(x)=3(x+ )(x－ ) . 由f ′(x)=0，得x1=－ , x2= . 在x∈R上列表： x （－∞, ） - （- ， ） （ ,+∞） f ′(x) ＋ ─ f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ←返回目录

分类整合的思想方法 ←返回目录 考题剖析 因为y=f(x)与y=3只有一个公共点， 所以f(x)极大值 < 3或f(x)极小值 > 3. 所以f (－ )<3,或f ( )>3， 得－ <a<0，或－1＜a＜0. 综上，a>－1，y=f(x)与y=3只有一个公共点. （2）φ(x)= | | = | | = | x+ |. 由φ(－x)=φ(x)，可知φ(x)为偶函数， 则原题即为φ(x)在(0,2］上有最小值2.设g(x)=x+ （x∈(0,2］）， 则g′(x)=1－ = . ←返回目录

分类整合的思想方法 ←返回目录 考题剖析 ①a<0时，g′(x)>0，所以g(x)在(0,2］上单调递增， 因为φ(x)在(0,2］上有最小值2，所以2+ =－2，所以a=－ . ②a=0时，φ(x)=x，无最小值，不合题意. ③a>0时，φ(x)=g(x)，g′(x)= = . （Ⅰ） ≥2，即a≥ 时，g′(x)<0，所以g(x)在(0,2］ 上单调递减，所以g(x)∈［2+ ,+∞)， 此时φ(x)在(0,2］上的最小值为2+ ≠2，不合. ←返回目录

分类整合的思想方法 ←返回目录 考题剖析 （Ⅱ） <2，即0<a< 时，由g′(x)=0，得x= . ∴φ(x)min=g(x)min=g( )=2 =2，所以a = . 综上，a的值为－ 或 . x ( 0, ) ( , 2 ) 2 g′(x) – ＋ g(x) ↘ 极小值 ↗ 2+ ［点评］本题主要考查函数的最值及导数的运用，注意对参数a的讨论. ←返回目录

规 律 总 结 ←返回目录

分类整合的思想方法 ←返回目录 1.分类讨论问题已成为高考考查学生知识与能力的热点问题，这是因为： 规律总结 2.解分类讨论问题的实质： 其一，分类讨论问题一般都覆盖知识点较多，有利于知识的考查； 其二，解分类讨论问题要有一定的分析能力、一定的分类思想与分类技巧，有利于对学生能力的考查； 其三，分类思想与生产实践和高等数学都紧密相关. 2.解分类讨论问题的实质： 将整体问题化为若干个部分来解决，化成部分后增加了题设条件，从而有利于问题的解决. ←返回目录

分类整合的思想方法 ←返回目录 规律总结 3.分类讨论要注意的几点： (1) 根据问题实际，做到分类不重复、不遗漏; (1) 根据问题实际，做到分类不重复、不遗漏; (2) 熟练地掌握基本知识、基本方法和基本技巧，并做到融会贯通，是解好分类讨论问题的前提条件; (3) 不断地总结经验和教训，克服分类讨论中的主观性和盲目性; (4) 要注意简化或避免分类讨论，优化解题过程. ←返回目录