4.2 夫朗和费衍射 (Fraunhofer diffraction ) 对于夫朗和费衍射，观察屏必须放置在远离衍射屏的地方。 几何投影区 菲涅耳衍射区 夫朗和费衍射区 M  K1 K2 K3 K4

4.2.1 夫朗和费衍射装置 (Fraunhofer diffraction instrument) P 的光场，可以看作是开孔处入射波面Σ上各点次波波源发出的球面次波在 P 点产生光场的叠加。 Σ x1 y1 z x y P(x,y) 

4.2.1 夫朗和费衍射装置 (Fraunhofer diffraction instrument) 从波面上各点到 P 点的光线近似平行，所以 P 点的光场也就是由Σ 面上各点沿 方向发射光场的叠加。 Σ x1 y1 z x y P(x,y) 

4.2.1 夫朗和费衍射装置 (Fraunhofer diffraction instrument) 则由于透镜 f 的作用，与光轴夹角为 的入射平行光线将会聚在后焦平面上的 P 点。 Σ x1 y1 z x’ y P(x,y)  L z=f

4.2.1 夫朗和费衍射装置 (Fraunhofer diffraction instrument) 利用透镜时所得到的衍射图样就是不用透镜时的远场衍射图样，只是空间范围缩小，光能集中罢了。 Σ x1 y1 z’ x’ y’ P’(x’,y’)  L z’=f

4.2.1 夫朗和费衍射装置 (Fraunhofer diffraction instrument) 单色点光源 S 、透镜 L1 、开孔Σ、透镜 L2 的后焦平面上可以观察到夫朗和费衍射图样。 f S z x1 x Σ C Q  P P0 L1 L2

4.2.1 夫朗和费衍射装置 (Fraunhofer diffraction instrument) 可令Ē (x1, y1)＝A＝常数。又因为透镜紧贴孔径，z1  f。所以，后焦平面上的光场复振幅可写为 式中

式中

4.2.2 夫朗和费矩形孔和圆孔衍射 (Fraunhofer diffractions by rectangle a aperture aperture and a circular aperture) 1. 夫朗和费矩形孔衍射 2. 夫朗和费圆孔衍射 3. 光学成像系统的分辨本领(分辨率)

若衍射孔是矩形孔，则在透镜焦平面上观察到的衍射图样如图所示。 1. 夫朗和费矩形孔衍射 若衍射孔是矩形孔，则在透镜焦平面上观察到的衍射图样如图所示。 b a a b

1. 夫朗和费矩形孔衍射 下图是夫朗和费矩形行射装置的光路图。 a b x1 y1 x y L P0 P y x C Q O

1. 夫朗和费矩形孔衍射 根据(22)式,透镜焦平面上P (x, y) 点的光场复振幅为

1. 夫朗和费矩形孔衍射 是观察屏中心点 P0 处的光场复 振幅；a、b 分别是矩形孔沿 xl、y1 轴方向的宽度； 、 分别为

1. 夫朗和费矩形孔衍射 则在 P (x, y) 点的光强度为 式中，I0 是 P0 点的光强度，且有 。

(1) 衍射光强分布 对于沿 x 轴的光强度分布，因 y＝0，有 当＝0（对应于 P0 点）时，有主极大，IM / I0＝1; 在＝m (m =±1, ±2,…) 处，有极小值， IM＝0， 与这些  值相应的点是暗点。

(1) 衍射光强分布 暗点的位置为 相邻两暗点之间的间隔为

(1) 衍射光强分布 在相邻两个暗点之间有一个强度次极大，次极大的位 置由下式决定： 即

(1) 衍射光强分布 在同一坐标系中分别作出曲线 F＝tan 和 F＝，其交点即为方程的解。

F 作图求解 光强曲线 I／I0 2.46 p

头几次极大所对应的 值：  1.430  = 4.493 2 2.459  = 7.725 3 3.470 = 10.90  1.430  = 4.493 2 2.459  = 7.725 3 3.470 = 10.90 4 4.479 = 14.07 5 1 0.04718 0.01694 0.00834 0.00503 主极大 极小 次极大

(1) 衍射光强分布 夫朗和费短形孔衍射在 y 轴上的光强度分布由 决定，其分布特性与 x 轴类似。

(1) 衍射光强分布 在x、y 轴以外各点的光强度，可按(27)式进行计算。

显然，尽管在 xOy 面内存在一些次极大点，但它们的光强度极弱。 (1) 衍射光强分布 显然，尽管在 xOy 面内存在一些次极大点，但它们的光强度极弱。 1 y x 0.047 0.016 0.0007 0.0022 0.0002

矩形孔衍射的光能量主要集中在中央亮斑处，其边缘在 x、y 轴上的位置是 (2) 中央亮班 矩形孔衍射的光能量主要集中在中央亮斑处，其边缘在 x、y 轴上的位置是 b a

(2) 中央亮班 中央亮斑面积为 该式说明，中央亮斑面积与矩形孔面积成反比, 在相同波长和装置下，衍射孔愈小，中央亮斑愈大。

(2) 中央亮班 但是，由 可见，相应的 P0 点光强度愈小。这就说明，虽然光斑变大，但是光强降低。

当 a  b，即对于矩形孔径，其衍射图样沿 x、y 方向的形状虽然一样，但线度不同。 (3) 衍射图形状 当 a  b，即对于矩形孔径，其衍射图样沿 x、y 方向的形状虽然一样，但线度不同。 b a

(3) 衍射图形状

由于光学仪器的光瞳通常是圆形的，所以讨论圆孔衍射现象对光学仪器的应用，具有重要的实际意义。 2. 夫朗和费圆孔衍射 由于光学仪器的光瞳通常是圆形的，所以讨论圆孔衍射现象对光学仪器的应用，具有重要的实际意义。 f S

圆孔衍射的讨论方法与矩形孔衍射的讨论方法相同，只是由于圆孔结构的几何对称性，采用极坐标处理。 2. 夫朗和费圆孔衍射 圆孔衍射的讨论方法与矩形孔衍射的讨论方法相同，只是由于圆孔结构的几何对称性，采用极坐标处理。 x1 y1 x y  L2 P0 P Q O1 1   O

圆孔中心 Ol 位于光轴上，则圆孔上任一点 Q 的位置坐标为1、1，与相应的直角坐标 x1、y1 的关系为 2. 夫朗和费圆孔衍射 圆孔中心 Ol 位于光轴上，则圆孔上任一点 Q 的位置坐标为1、1，与相应的直角坐标 x1、y1 的关系为 x1 y1 x y  L2 P0 P Q O1 1   O

观察屏上任一点 P 的位置坐标 、 与相应的直角坐标的关系为 2. 夫朗和费圆孔衍射 观察屏上任一点 P 的位置坐标 、 与相应的直角坐标的关系为 x1 y1 x y  L2 P0 P Q O1 1 1   O

P 点的光场复振幅按照(22)式，在经过坐标变换后为 2. 夫朗和费圆孔衍射 P 点的光场复振幅按照(22)式，在经过坐标变换后为

是衍射方向与光轴的夹角，称为衍射角。在这里，已利用了sin   的近似关系。 2. 夫朗和费圆孔衍射 式中 是衍射方向与光轴的夹角，称为衍射角。在这里，已利用了sin   的近似关系。 x1 y1 x y  L2 P0 P Q O1 1 1   O

x y r 

2. 夫朗和费圆孔衍射 根据零阶贝塞尔函数的积分表示式 可将(36)式变换为 这里已利用了J0(k1)为偶函数的性质。

2. 夫朗和费圆孔衍射 再由贝塞尔函数的性质 式中，Jl(x) 为一阶贝塞尔函数，可得

2. 夫朗和费圆孔衍射 P 点的光强度为 I0=S2(A / f )2 是光轴上 P0 点的光强；S = a2 是圆孔面积； = ka 是圆孔边缘与中心点在同一 方向上光线间的相位差。

 = ka 是圆孔边缘与中心点在同一 方向上光线间的相位差。

2. 夫朗和费圆孔衍射 (1) 衍射图样 由 = ka 及(38)式可见，光强分布仅与 有关( = /f)，而与方位角 坐标无关。

(1) 衍射图样 这就说明，夫朗和费因孔衍射图样是圆形条纹。

(2) 衍射图样的极值特性 由贝塞尔函数的级数定义，可将(38)式表示为

(2) 衍射图样的极值特性 该强度分布曲线如图所示： 1.0  3.83 5.14 7.02 8.42 -3.83 -5.14 -7.02 1.0 3.83 5.14 7.02 8.42 -3.83 -5.14 -7.02 -8.42 

1.0 3.83 5.14 7.02 8.42 -3.83 -5.14 -7.02 -8.42  圆孔衍射 矩孔衍射 I／I0 2.46 p 1.0

①当＝0 时，即对应光轴上的 P0 点，有 I＝I0， 它是衍射光强的主极大值。 (2) 衍射图样的极值特性 ①当＝0 时，即对应光轴上的 P0 点，有 I＝I0， 它是衍射光强的主极大值。 1.0 3.83 5.14 7.02 8.42 -3.83 -5.14 -7.02 -8.42 

②当 满足 J1()＝0 时，I＝0，这些  值决定 了衍射暗环的位置。 (2) 衍射图样的极值特性 ②当 满足 J1()＝0 时，I＝0，这些  值决定 了衍射暗环的位置。 1.0 3.83 5.14 7.02 8.42 -3.83 -5.14 -7.02 -8.42 

在相邻两个暗环之间存在着一个衍射次极大值，其位置由满足下式的  值决定： (2) 衍射图样的极值特性 在相邻两个暗环之间存在着一个衍射次极大值，其位置由满足下式的  值决定： 1.0 3.83 5.14 7.02 8.42 -3.83 -5.14 -7.02 -8.42 

下表列出了中央的几个亮环和暗环的  值及光强： (2) 衍射图样的极值特性 下表列出了中央的几个亮环和暗环的  值及光强： 条纹次序  ［2J1()/］2 光能分布 中央亮绞 第一暗纹 第一亮纹 第二暗纹 第二亮纹 第三暗纹 第三亮纹 1.220 = 3.832 1.635 = 5.136 2.233 = 7.016 2.679 = 8.417 3.238 = 10.174 3.699 = 11.620 1 0.0175 0.00415 0.0016 83.78％ 7.22％ 2.77％ 1.46％

(2) 衍射图样的极值特性 由上面的讨论可知，衍射图样中两相邻暗环的间距不相等，距离中心愈远，间距愈小。

(2) 衍射图样的极值特性 第二暗环－第一暗环＝7.016－3.832=3.184； 第三暗环－第二暗环＝10.174－7.016=3.158 条纹次序  ［2J1()/］2 光能分布 中央亮绞 第一暗纹 第一亮纹 第二暗纹 第二亮纹 第三暗纹 第三亮纹 1.220 = 3.832 1.635 = 5.136 2.233 = 7.016 2.679 = 8.417 3.238 = 10.174 3.699 = 11.620 1 0.0175 0.00415 0.0016 83.78％ 7.22％ 2.77％ 1.46％

(3) 爱里斑 中央亮斑集中了入射在圆孔上能量的83.78％，这个亮斑叫爱里斑。

爱里斑的半径 o 由第一光强极小值处的 值决定。 (3) 爱里斑 爱里斑的半径 o 由第一光强极小值处的 值决定。 1.0 1.22 5.14 7.02 8.42 -1.22 -5.14 -7.02 -8.42 

(3) 爱里斑  爱里斑 I/I0 1.22

(3) 爱里斑 因此 或以角半径 0 表示

(3) 爱里斑 爱里斑的面积为 S 为圆孔面积。圆孔面积愈小，爱里斑面积愈大，衍射现象愈明显。

课本内习题 2(P207) 由氩离子激光器发出波长＝488nm的蓝色平面光，垂直照射在一不透明屏的水平矩形孔上，此矩形孔尺寸为0.75mm0.25mm。在位于矩形孔附近正透镜(f＝2.5m)焦平面处的屏上观察衍射图样。试描绘所形成的中央最大值。 解:中央最大衍射图形为矩形，其长宽分别为

光强为：

10(P208) 用波长 ＝0. 63m 的激光粗测一单缝缝宽。若观察屏上衍射条纹左右两个第五级极小的距离是6 10(P208) 用波长 ＝0.63m 的激光粗测一单缝缝宽。若观察屏上衍射条纹左右两个第五级极小的距离是6.3cm，屏和缝的距离是5m，求缝宽。 解： 极小值的位置出现在 ， 的地方，其中m = ±1，±2，±3，… 。

两个第五级极小的间距是 ，

考虑：为什么用单色光作单缝衍射实验时，当缝的宽 度比单色光波长大很多或小很多时都观察不到衍射条 纹？

3. 光学成像系统的分辨本领(分辨率) 光学成像系统的分辨本领是指能分辨开两个靠近的点物或物体细节的能力，它是光学成像系统的重要性能指标。

1) 瑞利判据 瑞利判据:两个强度波长的两条纹只有当它们的合强度曲线中央极小值低于两边极大值的81%时,才算被分开。

设有Sl 和S2 两个非相干点光源，间距为，它们到直径为D 的圆孔距离为 R，则S1和S2对圆孔的张角 为 1) 瑞利判据 设有Sl 和S2 两个非相干点光源，间距为，它们到直径为D 的圆孔距离为 R，则S1和S2对圆孔的张角 为 D L S1 S2 R

1) 瑞利判据 S1 和 S2 将分别在观察屏上形成各自的衍射图样。假设其爱里斑关于圆孔的张角为0，则由(40)式有

1) 瑞利判据 当＞0 时，两个爱里斑能完全分开，S1 和S2 可分辨;当 ＜0 时，两个爱里斑分不开，S1 和 S2不可分辨;当  0 时，情况比较复杂，不同的人有不同的感觉.

1) 瑞利判据 恰 能 分 辨 不 θ0 1.0 0.735

当人眼瞳孔直径为2mm 时，对于最敏感的光波波长 ＝0.55m，可以算得人眼的最小分辨角e 为 (1) 人眼睛的分辨本领 当人眼瞳孔直径为2mm 时，对于最敏感的光波波长 ＝0.55m，可以算得人眼的最小分辨角e 为 A B e n=1.0 B’ A’

(2)望远镜的分辨本领 望远镜的作用相当于增大人眼睛的瞳孔。设望远镜物镜的圆形通光孔径直径为 D，若有两个物点恰好能为望远镜所分辨开，则根据瑞利判据，张角 为 望远镜物镜的直径 D 愈大，分辨本领愈高，且这时像的光强也增加了。

(2) 望远镜的分辨本领 天文望远镜物镜的直径做得可达6m，对于0.55m的单色光来说，比人眼的分辨本领要大三干倍左右。

习题2 人眼的最小分辨角约为 1，教室中最后一排(距黑板 15m )的学生对黑板上的两条黄线(5893Å)的最小分辨距离为多少？并估计瞳孔直径大小。 dmin I * S1 S2  L

解：当两黄线恰可分辨时，两爱里斑中心到人眼张角为最小分辨角

由于 因此