光的衍射

第四章 衍射 1.1 光的衍射现象 §1 光的衍射现象和惠更斯－菲涅耳原理 1）衍射的定义： 光波在传播过程遇到障碍物时，光束偏 离直线传播，强度发生重新分布的现象。

衍射——光绕过障碍物偏离直线传播而进入几何阴影区,并在屏上出现光强不均匀分布的现象。同光的干涉现象一样，是光的本质特性之一。

2)衍射装置： 日常生活中为什么我们很容易观察到声波、无线电波的衍射，而难以观察到光波的衍射呢？这是由于声波和无线电波的波长较长（约几百米），自然界中存在这样尺度的障碍物或空隙（如墙、山丘和建筑物等），容易表现出衍射现象；而光波的波长很短（4000-7600Å)，自然界中通常不存在如此小的障碍物或空隙，光主要表现出直线传播的特性。

3）衍射强弱与障碍物尺寸的关系： 以上：衍射效应不明显 ：衍射效应明显 ：向散射过渡 2) 产生衍射现象的条件：主要取决于障碍物或空隙的线 度与波长大小的对比。 3）衍射强弱与障碍物尺寸的关系： 以上：衍射效应不明显 ：衍射效应明显 ：向散射过渡

4）各种衍射现象

x y 5）衍射现象的特点 (1)在什么方向受限制，衍射图样就沿什么方向扩展 (2)限制越厉害，衍射越强烈

* 偏离直线的含义 * 缝宽与波长的关系 * 限制与扩展 光束在衍射屏上的什么方位受到限制，则接收屏上的衍射图样就沿该方向扩展；光孔线度越小，对光束的限制越厉害，则衍射图样越加扩展，即衍射效应越强。 -----光孔的线度与衍射图样的扩展之间存在着反比关系 如何从理论上解释光的衍射现象呢？

Huygens-Fresnel原理

球面波 传播方向 . . . . . 波源 S上的每一面元可以认为是次波的波源， . . . ut t 波面 t + t波面

原理的优点： ★提出了次波概念 原理的不足： ★给不出新波面的强度分布 ★ 没有说明子波不向后传播的问题

波场中各点的强度由各子波在该点的相干叠加决定 菲涅耳 惠更斯 — 菲涅耳原理 惠更斯 波阵面上各点都看成是子波波源 能定性解释光的传播方向问题 波场中各点的强度由各子波在该点的相干叠加决定 菲涅耳 能定量解释衍射图样中的强度分布

1.2 惠更斯－菲涅耳原理 1)原理的表述： （1）次波 （2）相干叠加 波前上每个面元d都可以看成是新的振动中心，它们发出次波。在空间某一点P的振动是所有这些次波在该点的相干迭加。

2）原理的数学表达式： （相干叠加----复振幅线性叠加） 3）假设： （球面波）

4）菲涅耳衍射积分公式： 即：不存在向后倒退的次波

5）菲涅耳－基尔霍夫衍射积分公式 ： ：

（3）基尔霍夫边界条件 θ→π 光孔部分 的复振幅： 光屏部分 的复振幅： 其它部分 的 ： 积分为“0”

(4)傍轴近似条件： 若 ，且

1.3巴俾涅原理 1)衍射屏的性质： 是自由传播的情形 两屏互补，即：

2）巴俾涅原理 已知： 则有：

3）用途 S (o) O P S P O (a) (b) P O S

则有： 又由于： 注意： (1) 或 不是巴俾涅原理，后一个公式也不成立。 （2）几何像点处没有 ， 因为

4．衍射的分类 菲涅耳衍射： 光源和接收屏幕距离衍射屏幕有限远

夫琅和费衍射: 光源和接收屏幕距离衍射屏幕无限远 等效形式

1.5 干涉与衍射的异同 相同点： 干涉与衍射都是相干叠加，其是主要的。 不同点： 1)干涉是离散点源发出的光波的相干叠加， 衍射是连续次波源发出的次波的相干叠加。 2)干涉的叠加是 求和，衍射的叠加是积分求和。 3)离散点源的光线遵循几何光学规律传播， 次波源的光线一般不服从几何光学传播规律。

§2 菲涅耳圆孔和圆屏衍射 § 2 菲涅耳圆孔和圆屏衍射 2.1 实验现象 1） 衍射装置 量级

2）实验现象 （1）衍射图样是亮暗相间的同心圆环， 中心点可能是亮的，也可能是暗的。 （2）孔径变化，衍射图样中心的亮暗交替变化。 （3）移动屏幕，衍射图样中心的亮暗交替变化 （4）中心强度随 的变化很敏感，随距离 的变化很迟缓。 （5）圆屏的衍射图样也是同心圆环， 但衍射图样的中心总是一个亮点。

求解 由： 2.2 半波带法 1）要解决的问题 求菲涅耳衍射中心场点Po处的光强度。 采用近似处理的方法 2）解决方法： （半波带法是处理次波相干叠加的一种简化方法） 1）要解决的问题 求菲涅耳衍射中心场点Po处的光强度。 采用近似处理的方法 2）解决方法： 求解 由：

3）步骤 （1）把波前分割成为一系列环形半波带

（2）求出每个半波带的复振幅 (3) 求P0点的合振幅： 则：

（4）比较各个振幅的大小 由菲涅耳原理可知： 球冠面积： 另外： ， 其中：

由菲涅耳原理可知： 球冠面积： 其中： ，

则： 即： 可见： 仅随 变化，随k的增加缓慢减小， 最后趋近于零。 即：

4）求露出前n个半波带的圆孔衍射中心场点Po处的合振幅

5）求遮住前n个半波带的圆屏衍射中心场点Po处的合振幅

6）讨论： 时， ，Po点处是亮点 时， ，Po点处是暗点 （1）有限个奇偶半波带可以相互抵消，无限个半波带的奇偶半波带不能相互抵消。 （2）自由传播时，由于 （3）若衍射圆孔逐渐增大 时， ，Po点处是亮点 时， ，Po点处是暗点

时， Po点处是亮点 时， Po点处是暗·点 随包含的半波带数目逐渐增多， 中心强度的亮暗交替变化。 随着距离b的变化，中心强度的亮暗也交替变化。

（4）由圆屏衍射的振幅公式可知： 随圆屏半径的增大， 无论n是奇还是偶，中心场点总是亮的。 （5）半波带法的适用条件 只适用于能将圆孔或圆屏 整分成半波带时的情况。

2.3矢量图解法 3）处理步骤 (1)将半波带分割成 m个更窄的小环带 (2)写出每个小环带在P0点的复振幅

…………. (3)画出矢量图 注意： 矢量图是正多边形， 一个完整半波带首尾矢量的 位相差是 (4)连接首尾矢量，得到 合成矢量A，则 半波带 在P0点产生的光强为：

4)讨论 （1）若被分割的是整个半波带， 时 ,矢量图为半圆形 弧线，合成矢量 为半圆的直径。 （2）如果露出m个半波带 弧线，合成矢量 为半圆的直径。 （2）如果露出m个半波带 由于倾斜因子的影响，随半波带 序号的增长，每个半波带形成的 合矢量（半园的半径）逐渐收缩， 矢量图形成螺旋线。

（3）自由传播时，螺旋线旋绕到圆心C。合成矢 量 为第一个半圆的半径

5）例题： 求圆孔包含1/2个半波带时轴上点P0处的衍射强度 解： 此时圆孔露出部分是 半个半波带 作图过程仍然如前所述 但首尾矢量的位相差是 光强为自由传播时的两倍

4、菲涅耳波带片

1)定义：将偶数个或奇数个半波带遮挡住， 就形成菲涅耳波带片。

2)例题： 波带片的孔径内有20个半波带，遮挡偶数个 半波带，求轴上场点P0处的光强？ 解： 波带片相当于透镜，可以会聚光强。

3）菲涅耳波带片的半径公式

4）成像公式 由 得： 令：

5）焦距公式： 6）实焦点和虚焦点： 实焦点： 虚焦点：

7）波带片和薄透镜的异同 相同点：都能会聚光能量 不同点： （1）透镜只有一个会聚焦点， 波带片有许多实会聚和虚会聚焦点。 （2）透镜具有物像等光程性，波带片的相 邻露出波带间相差一个波长的光程差。 （3）波带片具有面积大、轻便、 可折叠等透镜不具备的优点。

§3 夫琅禾费单缝和矩孔衍射 1、实验装置和实验现象

光源 衍射屏 衍射图样

不同宽度的单缝衍射图样

单缝衍射

2．单缝衍射光强分布

1）用矢量图解法计算光强分布 （1）分割成 m个窄波带 再求出每一个窄带的复振幅 ………….

（2）画出 的矢量图 （3）求出合矢量 ， 故：

时， 其中：

2）用复数积分法计算光强分布 O 是常数

其中：

若 ， ， ，

3．矩孔衍射的强度公式

，

设： 则： 若 ，则 , , 其中：

4．单缝衍射因子的特点 总特征：有一个主极大和一些次极大， 次极强之间夹着极小值点。 （1）主极大—零级衍射斑 零级斑的位置就是几何像点的位置 光程差为零的会聚点才是衍射的主极大点

（2）次极大的位置和强度 得： 令： 对应次极大 次极大处在超越方程 根的位置处 即：

即： 对应： 次极大的强度： 次极大弱得多，绝大部分能量集中在零级斑。

（3）衍射暗斑的位置 时，有： , 暗斑对应的位置： 即： 注意：此时

暗斑位置： （4）零级斑的半角宽 定义：相邻暗斑的角距离称作亮斑的角宽度

零级斑的半角宽 中央明纹的半角宽和线宽 中央明纹的宽 度约为其他明 纹的两倍 次极大角宽度的值:

实验装置和实验现象

光源 衍射屏 衍射图样

不同宽度的单缝衍射图样

单缝衍射

（5）半角宽的物理意义 是衍射效应强弱的标志 波长一定时，缝宽越小， 越大， 衍射效应越强。 反之： 时， 此时光束沿直线传播。 波长一定时，缝宽越小， 越大， 衍射效应越强。 反之： 时， 此时光束沿直线传播。 缝宽一定时，波长越长，衍射效应越显著。 波长越短，衍射效应越小。 几何光学就是 的极限。

（6）线光源的单缝衍射 衍射图样为直线条纹，是无数点光源 形成的衍射图样非相干叠加的结果。

总结：单缝衍射图样的特点 （1）条纹最大值光强不相等、 中央最大、其余皆小 ， Ｉ１０< 5%Ｉ０． （2）角宽度： 线宽度： ï î 　　　线宽度： ï î í ì = D a k l q 其余： 中央： 2 sin ï î í ì ¢ = D × a f l q 2 其余： 中央： ＝

（3）暗纹等间距，次最大不是等间距 （4）白光作光源：中央白，边缘为彩色 （5） （6） 几何光学 ® D >> = q l î q l a î í ì = D 光学变换放大 限制和扩展 －衍射反比率 . 2 1 a l q

波长一定,缝宽越窄,衍射现象越显著. l f

例题: 波长 546 nm 的平行光垂直照射在缝宽 0.437 mm的单缝上，缝后凸透镜的焦距为40 cm ，求透镜焦平面上衍射中央明纹的宽度。 解: m

§4 光学仪器的像分辨本领 1．夫琅禾费圆孔衍射

爱里斑

1）光强度分布 , ：圆孔的半径， ：衍射角， ：一阶贝塞耳函数

2）爱里斑（第一暗环的半角宽） 衍射的弥散程度由爱里斑的半角宽 衡量。 ：圆孔的直径。 , 圆孔衍射场中的绝大部分能量（ ） 集中在零级衍射斑内 2）爱里斑（第一暗环的半角宽） 衍射的弥散程度由爱里斑的半角宽 衡量。 ：圆孔的直径。 , 圆孔衍射场中的绝大部分能量（84%）集中在零级衍射斑内

3）例题 若氦氖激光（ ）出射窗口的直径 为1mm，求激光束衍射的发散角 ？ 解： 在10km处光斑半径可达7.7m

2．望远镜的分辨本领 1)望远镜的物镜和目镜的作用 Le Lo F 望远镜的物镜是孔径光阑，限制入射光束 的孔径角，具有衍射作用。 目镜一般不限制光束的口径，光束通过时 不发生衍射，其作用是放大衍射斑的视角。

2)仪器刚可分辨两个非相干物点的条件 （1）两个非相干物点形成的衍射斑 叠加后合光强的图形

（2）刚可分辨的条件 当一个衍射斑的中心刚好落在另一个衍射斑 的边缘时，合光强鞍点的强度约等于每个 圆斑中心强度的73.5% 此时人眼睛刚刚可以分辨是两个光斑。

（3）瑞利判据（望远镜的分辨本领 或望远镜的最小分辨角） 设： 为两个衍射斑的角距离， ：每个衍射斑的半角宽 设： 为两个衍射斑的角距离， ：每个衍射斑的半角宽 若： ，如图（a），可分辨两个星体 若： ，如图（c），不可分辨两个星体

当 时，如图（b），刚可分辨两个星体 则称 为瑞利判据 记为： 称为仪器的最小分辨角

3)满足瑞利条件的办法 两个物体的角距离 不能改变 要让 由 变为 只能增大望远镜的物镜直径D。

4)满足人眼最小分辨角条件的办法 人眼的最小分辨角 这个指标无法改变。 要让 由 （没加目镜） 变为 （加上目镜） 需要增大视角放大率 要让 由 （没加目镜） 变为 （加上目镜） 需要增大视角放大率 由于： 只能增大物镜的焦距 或减小目镜的焦距

5)仪器刚可分辨两个非相干物点的条件 6)人眼刚可分辨两个非相干物点的条件

7）例题：已知望远物镜的直径D=5cm， 白光的平均波长为 ， 求望远镜的最小分辨角 和刚刚能够 被人眼分辨两个物点所需的视角放大率M? 白光的平均波长为 ， 求望远镜的最小分辨角 和刚刚能够 被人眼分辨两个物点所需的视角放大率M? 解：（1） （2）

8）增大视角放大率不能 提高望远镜的分辨本领 （1）提高望远镜的分辨本领的含义是： 缩小衍射图样的半角宽度 （2）增大视角放大率的结果是： 增大了物镜的焦距 ， 或减小了目镜的焦距 。 不能增大望远镜的物镜直径D

（3）结论： 增大 M 不能增大物镜直径 D 增大视角放大率只能整体放大两个衍射斑， 无法改变两个衍射斑之间的相对位置。 因此不能提高望远镜的分辨本领。

§5 多缝夫琅禾费衍射和光栅

衍射光栅 定义： 种类： ①. 透射光栅， 反射光栅；

②. 平面光栅，凹面光栅； ③. 黑白光栅，正弦光栅； ④. 一维光栅，二维光栅，三维光栅。 性质： 是一种分光装置。 用途：形成光谱。

5.1. 实验装置和衍射图样 1.实验装置： a: 各缝的宽度. b: 缝间不透明 部分的宽度. d＝a+b: 光栅常量. 上边缘－上边缘、下边缘－下边缘、 中点－中点；它反映光栅的空间周期性。 1/d: 光栅密度.它表示每毫米内有多少狭缝。

2.衍射图样的强度分布特征： ⑵. 主最大的位置与缝数N无关， 但它们宽度∝ 强度∝ N 2 。 ⑴. 有一系列的主极大和次极大；单缝只有一个主最大。 ⑵. 主最大的位置与缝数N无关， 但它们宽度∝ 强度∝ N 2 。

⑶. 相邻主极大之间有N-1条暗纹和N-2个次最大. ⑷. 强度分布中保留了单缝衍射的因子 ——曲线的包迹与单缝衍射强度曲线 形式一样.

5.2 N衍射的振幅分布和强度分布 =aθ ) sin sin( ( A q l p d N a Q = \ . sin a β Nβ I β Nβ I θ α O δ BN C ï î í ì = ) sin ( l q p d β a α

= \ . sin a 2 β Nβ I θ α 5.3 缝间干涉因子 （1）主极大的大小、位置和数目

= \ . sin a β Nβ I （2）零点的位置、主极大的半角宽度和次极大的数目 α 相邻主极大之间有N-1条暗纹，N-2条次极大 β Nβ I θ α （2）零点的位置、主极大的半角宽度和次极大的数目 相邻主极大之间有N-1条暗纹，N-2条次极大 靠近中央的地方： 偏离中央的地方：

= \ . sin a 2 β Nβ I θ α 5.4 单缝衍射因子的作用 单缝衍射暗条纹： 缝间干射主极大： 谱线的缺级：

5.5黑白光栅和正弦光栅 x L1 LN O Pθ

x L1 LN O Pθ

（1）黑白光栅 -a/2 a/2 -d/2 d/2

（2）正弦光栅

（2）正弦光栅

例题：已知平面透射光栅狭缝的宽度 ，若以波长632.8nm的氦氖激光垂入射在这个光栅上，发现第四级缺级，会聚透镜的焦距为1.5m。试求： （1）屏幕上第一级亮条纹与第二级亮条纹的距离； （2）屏幕上所呈现的全部亮条纹数。

波长为600 nm的光垂直照射到平面衍射光栅上，在与光栅平面法线成30°角的方向上，观察到该光的第二级谱线。（1）试问该光栅的光栅常量d 为何值？（2）如果缝宽a=0.0012mm，波长为600 nm的光以30°角入射，则在屏幕上能观察到多少亮条纹？

6.1 光栅的分光原理 6.2 光栅的色散本领 色分辨本领 光栅方程 （1）光栅的色散本领 两条谱线中心的波长间隔 角色散本领 与被分开的角距离 或在屏幕上被分开的线距离 之比分别称为角色散本领和线色散本领。 角色散本领 线色散本领

光栅的角色散本领 光栅的线色散本领 讨论 （1） 与 成反比，与 成正比。 （2） 与 成反比，与 和 成正比 （3） 和 均与 无关

例题11 钠黄光包括 和 两条谱线，使用15cm、每毫米内有1200条缝的光栅， 求：一级光谱中两条谱线的位置、角间隔和半角宽各是多少？ 解：光栅常数为 一级谱线衍射角 角色散本领

角间隔 半角宽度 （2）光栅的色分辨本领 例题12 P207 例题13 P207

6.3 量程和自由光谱范围 6.4 闪耀光栅 问题 透射光栅大部分能量集中于零级——无色散 问题 透射光栅大部分能量集中于零级——无色散 原因 单缝衍射的零级主极大方向恰好是缝间干涉的零级主极大方向 目的 使二主极大方向分开——将大部分能量(衍射零级)集中到所需(缝间干涉)光谱极次上

闪耀光栅：通过刻槽的形状实现 入射方式一 垂直槽面入射时闪耀光栅的一级闪耀波长公式

入射方式二 垂直光栅平面入射时闪耀光栅的一级闪耀波长公式 效果 （1）单元衍射零级极强与某一个非零级干涉主极强重叠 （2）除与单元零级衍射极强重叠的干涉主极强外，其余缝间干涉主极强均缺级,80%--90%光能集中到闪耀级次上