Next section: crystal orientating & crystallographic symbols 结晶学与矿物学 下面是第四章: 晶体定向和晶体学符号 Next section: crystal orientating & crystallographic symbols

结晶学与矿物学 晶体定向和晶体学符号 晶体定向的概念 整数定律 晶体定向的原则 晶系的定向法则 晶面符号 晶棱符号 晶带定律和晶带符号

晶体定向的概念 晶体定向(crystal orientating): 几个基本术语: 结晶学与矿物学 crystallographic axis: x, y, z interaxial angle: a = y^z, b = x^z, g = x^y axial unit distance: a, b, c axial ratios: a:b:c crystal constants: a:b:c, a, b, g

晶体定向的概念 各晶系的晶体几何常数特点 结晶学与矿物学 等轴晶系：a = b = c，a = b = g = 90； 单斜晶系：a ≠ b ≠ c，a = g = 90，b > 90； 三斜晶系：a ≠ b ≠ c，a ≠ b ≠ g；

结晶学与矿物学 晶体定向的概念 各晶系的晶体几何常数特点

结晶学与矿物学 晶体定向原则 符合晶体本身的对称 适宜的对称元素作为结晶轴 适宜的晶棱方向作为结晶轴 尽量使得晶轴之间夹角为90

晶体定向原则 晶体的三轴定向: 晶体的四轴定向: 结晶学与矿物学 选择三个不共面的坐标轴 x, y, z安置晶体 适用于六方和三方晶系(why?) 一个直立轴，三个水平轴

结晶学与矿物学 晶体定向原则 三轴定向和四轴定向的比较

各晶系的定向法则 等轴晶系的定向: 结晶学与矿物学 共有5个点群: 432, m3m, -43m, 23, m3 晶格常数为: a = b = g = 90°, a = b = c 三个互相垂直的L4, Li4或L2为 x, y, z 轴 z 轴直立，y 轴左右水平，x 轴前后水平

结晶学与矿物学 各晶系的定向法则 等轴晶系的定向 Point group = m3m

各晶系的定向法则 四方晶系的定向: 结晶学与矿物学 共有7个点群: 422, 4/mmm, -42m, 4mm, 4, 4/m, -4 晶格常数为: a = b = g = 90°, a = b < > c 唯一的L4或Li4为 z 轴; 相互垂直的L2, 或相互垂直的对称面法线, 或适当的晶棱为 x, y 轴 z 轴直立， y 轴左右水平，x 轴前后水平

结晶学与矿物学 各晶系的定向法则 四方晶系的定向 Point group = 4/mmm

各晶系的定向法则 斜方晶系的定向: 结晶学与矿物学 共有3个点群: 222, mmm, mm2 晶格常数为: a = b = g = 90°, a < > b < > c 三个相互垂直的L2为 z, x, y 轴; 或L2为z轴, 相互垂直的对称面法线为 x, y 轴 z 轴直立， y 轴左右水平，x 轴前后水平

结晶学与矿物学 各晶系的定向法则 斜方晶系的定向: Point group = mmm

各晶系的定向法则 单斜晶系的定向: 结晶学与矿物学 共有3个点群: 2, 2/m, m 晶格常数为: a = b = 90°, g > 90°, a < > b < > c L2为 y 轴; 或对称面法线为 y 轴 z 轴起立， y 轴左右水平， x 轴前后向前下倾斜

结晶学与矿物学 各晶系的定向法则 单斜晶系的定向: Point group = 2/m

各晶系的定向法则 三斜晶系的定向: 结晶学与矿物学 共有2个点群: 1, -1 晶格常数为: a < > b < > g < > 90 °, a < > b < > c 适当的晶棱为 x, y, z 轴 大致上 z 轴直立， y 轴左右， x 轴前后

各晶系的定向法则 三方和六方晶系的四轴定向 结晶学与矿物学 各晶系的定向法则 三方和六方晶系的四轴定向 选择唯一的高次轴作为直立结晶轴c轴，在垂直 z 轴的平面内选择三个相同的、即互成60°交角的L2或P的法线，或适当的显著晶棱方向作为水平结晶轴，即x 轴、 y 轴以及 d 轴(U轴) 共有12个点群: 晶格常数为: a = b = 90°, g =120°, a = b < > c z 轴直立， y 轴左右水平， x 轴前后水平偏左30°

结晶学与矿物学 各晶系的定向法则 三方和六方晶系的四轴定向 point group = -3m

结晶学与矿物学 整数定律 如果以平行于三根不共面晶棱的直线作为坐标轴，则晶体上任意二晶面在三个坐标轴上所截截距的比值之比为一简单整数比

结晶学与矿物学 布拉维法则 实际晶面为面网密度大 的面网所包围 参阅：P149，11.3节

结晶学与矿物学 实际晶体之晶面

晶体学符号 晶面符号(面号): 结晶学与矿物学 它是根据晶面(或晶体中平行于晶面的其他平面)与各结晶轴的交截关系，用简单的数字符号形式来表达它们在晶体上方位的一种晶体学符号; 目前国际上通用的都是米氏符号(Miller‘s symbol)，亦称米勒符号

晶面符号 晶面符号的确定: 结晶学与矿物学 其倒数比 1/p:1/q:1/r = h : k : l 晶体上任意一个晶面，若它在三个结晶轴X轴、Y轴、Z轴上的截距依次为OA、OB、OC, 已知轴率为a∶b∶c，则该晶面在晶轴上的截距系数p, q, r分别为: p = OX/a, q = OY/b, r = OZ/c 其倒数比 1/p:1/q:1/r = h : k : l 晶面指数(米氏指数): 取h:k:l的最简单整数比, 此时的h, k, l就称为晶面指数;

结晶学与矿物学 晶面符号 米氏指数(Miller indices)是指：用来表达晶面在晶体上之方向的一组无公约数的整数，它们的具体数值等于该晶面在结晶轴上所截截距系数的倒数比。 如果将米氏指数按顺序连写，并置于园括号内, 表达为(h k l), 便构成了晶面的米氏符号。 按X、Y、Z轴顺序，不得颠倒！ 晶轴有正负方向，指数的负号写在上面 晶面可与晶轴垂直, 平行或斜交 考察若干模型晶面的晶面符号

晶面符号 结晶学与矿物学 unit cell shape 举例（2D） x = (1 2 0) y = (1 1 0) b a x y unit cell shape 举例（2D） b x = (1 2 0) y = (1 1 0) a axial ratio = a:b = 0.80

晶面符号 结晶学与矿物学 unit cell shape 举例（2D） x = (1 1 0) y = (2 1 0) b x = (1 1 0) y = (2 1 0) a x b y a axial ratio = a:b = 1.60

y = (12 3 4) 晶面符号 结晶学与矿物学 举例（3D） x = (1 1 1) y = (h k l) = ? c C Z O A B a b

结晶学与矿物学 晶面符号 b (1 1 0) (2 1 0) (1 0 0) a Can you index the rest?

晶面符号 b (0 1 0) (1 1 0) (1 1 0) (2 1 0) (2 1 0) (1 0 0) -a a (1 0 0) 结晶学与矿物学 晶面符号 b (0 1 0) (1 1 0) (1 1 0) (2 1 0) (2 1 0) (1 0 0) -a a (1 0 0) (2 1 0) (2 1 0) -b (1 1 0) (1 1 0) (0 1 0)

晶面符号 四轴定向时的晶面符号: 结晶学与矿物学 定义同三轴定向 用(h k i l)的形式表达 指数依次与X、Y、U和Z轴相对应

晶棱符号 [u v w] = [u v w] 此例：[u v w] = [1 2 3] 结晶学与矿物学 用简单数字符号形式表达 晶棱符号只涉及方向, 不涉及具体位置 表达为[u v w] u:v:w = MR/a : MK/b : MF/c [u v w] = [u v w] 此例：[u v w] = [1 2 3]

结晶学与矿物学 晶棱符号 四轴定向时的晶棱符号 以[u v m w]的形式表达 也有三指数形式: [u v w] 四指数和三指数之间的比较

晶带符号 晶带(zone) 晶带轴(zone axis) 晶带符号(zone symbol) 结晶学与矿物学 彼此间的交棱均相互平行的一组晶面之组合 晶带轴(zone axis) 用以表示晶带方向的一根直线，它平行于该晶带中的所有晶面，也就是平行于该晶带中各个晶面的公共交棱方向 晶带符号(zone symbol) 在晶体上用相应的晶带轴(晶棱)符号来表示

结晶学与矿物学 晶带符号 例如 (1-10), (100), (110), (010)…的交棱相互平行，组成一个晶带; 直线CC’即可表达为此晶带的晶带轴 此组晶棱的符号,即该晶带轴的符号，为[001]（或者[00-1]）晶带 在wulff网上的投影？

晶带定律 晶带定律(zone law) 简单的证明 结晶学与矿物学 任一属于[u v w]晶带的晶面(h k l)，必定有： h u + k v + l w = 0---晶带方程 简单的证明 三维空间的一般平面方程为 Ax + By + Cz + D = 0 系数A、B、C决定该平面的方向，常数项D决定距原点的距离。那么过坐标原点且平行于(h k l)的平面方程则可以表达为 h x + k y + l z = 0 因(h k l)晶面属于[u v w]晶带, 故直线[u v w]上的任一点均满足平面方程, 即用u, v, w替代x, y, z, 便得到上述的晶带方程。

晶带定律的应用 结晶学与矿物学 已知两个晶面，求包含此二晶面的晶带之符号 求同时属于某二已知晶带的该晶面之晶面符号 判断某一已知晶面是否属于某个已知的晶带 由四个互不平行的已知晶面, 或四个已知晶带, 求出晶体上一切可能 的晶面与晶带(即晶棱)

[u v w] = u : v : w = (k1l2 - k2l1) : (l1h2 - l2h1) : (h1k2 - h2k1) 结晶学与矿物学 晶带定律的应用 举例：若已知属于同一晶带的两晶面为(h1 k1 l1)和(h2 k2 l2)，求晶带符号。 根据晶带方程hu + kv + lw = 0，可以得出： h1u + k1v + l1w = 0 (1) h2u + k2v + l2w = 0 (2) 解联立式(1)和式(2)的方程组，可得 [u v w] = u : v : w = (k1l2 - k2l1) : (l1h2 - l2h1) : (h1k2 - h2k1)

空间格子的划分 结晶学与矿物学 平行六面体划分原则 能反映结点分布的对称性 棱与棱之间尽量垂直 体积力求最小 划分7种平行六面体 对应于7个晶系 形状及参数？ 平行六面体中4种结点类型 原始格子(primitive, P) 体心格子(body-centered, I) 面心格子(face-centered, F) 底心格子(end-centered, C, A, B)

结晶学与矿物学 空间格子的划分 Why not 7 × 4 = 28 ??

P P I = C P C F I a b Triclinic ¹ b ¹ g ¹ c a b c Monoclinic a = g = 90 o ¹ b ¹ I = C c a P Orthorhombic a = b = g = 90 o ¹ C F I

P I P F I a c Tetragonal a = b = g = 90 = a ¹ a Isometric a = b = g 1 c P Tetragonal a = b = g = 90 o = a 2 ¹ I a 1 3 P Isometric a = b = g = 90 o = a 2 F I

三斜和单斜晶系的定向

斜方和四方晶系的定向

三方和六方晶系的定向

等轴晶系的定向