第二章 模态分析

模态分析 第一节： 模态分析的定义和目的 第二节： 对模态分析有关的概念、术语以及模态提取方法的讨论 第一节： 模态分析的定义和目的 第二节： 对模态分析有关的概念、术语以及模态提取方法的讨论 第三节： 学会如何在ANSYS中做模态分析 第四节： 做几个模态分析的练习 第五节： 学会如何做具有预应力的模态分析 第六节： 学会如何在模态分析中利用循环对称性

模态分析是用来确定结构的振动特性的一种技术： 自然频率 振型 振型参与系数 （即在特定方向上某个振型在多大程度上 参与了振动） 模态分析 第一节： 定义和目的 什么是模态分析? 模态分析是用来确定结构的振动特性的一种技术： 自然频率 振型 振型参与系数 （即在特定方向上某个振型在多大程度上 参与了振动） 模态分析是所有动力学分析类型的最基础的内容。

使结构设计避免共振或以特定频率进行振动（例如扬声器）； 使工程师可以认识到结构对于不同类型的动力载荷是如何响 应的； 模态分析 定义和目的（续上页） 模态分析的好处： 使结构设计避免共振或以特定频率进行振动（例如扬声器）； 使工程师可以认识到结构对于不同类型的动力载荷是如何响 应的； 有助于在其它动力分析中估算求解控制参数（如时间步长）。 建议： 由于结构的振动特性决定结构对于各种动力载荷的响应情 况，所以在准备进行其它动力分析之前首先要进行模态分 析。

这个方程的根是 i， 即特征值， i 的范围从1到自由度的数目， 相应的向量是 {u}I， 即特征向量。 模态分析 第二节： 术语和概念 通用运动方程： 假定为自由振动并忽略阻尼： 假定为谐运动： 这个方程的根是 i， 即特征值， i 的范围从1到自由度的数目， 相应的向量是 {u}I， 即特征向量。 注意: 模态分析假定结构是线性的(如, [M]和[K]保持为常数) 简谐运动方程u = u0cos(wt), 其中 w 为自振圆周频率(弧度/秒）

特征值的平方根是 wi ， 它是结构的自然圆周频率（弧度/秒），并可得出自然频率 fi = wi /2p 模态分析 术语和概念 （续上页） 特征值的平方根是 wi ， 它是结构的自然圆周频率（弧度/秒），并可得出自然频率 fi = wi /2p 特征向量 {u}i 表示振型， 即假定结构以频率 fi振动时的形状 模态提取 是用来描述特征值和特征向量计算的术语

在ANSYS中有以下几种提取模态的方法： Block Lanczos法 子空间法 PowerDynamics法 缩减法 不对称法 阻尼法 模态分析 - 术语和概念 模态提取方法 在ANSYS中有以下几种提取模态的方法： Block Lanczos法 子空间法 PowerDynamics法 缩减法 不对称法 阻尼法 使用何种模态提取方法主要取决于模型大小（相对于计算机的计算能力而言）和具体的应用场合

模态分析 - 术语和概念 模态提取方法 - Block Lanczos法 是一种功能强大的方法，当提取中型到大型模型（50.000 ~ 100.000 个自由度）的大量振型时（40+），这种方法很有效； 经常应用在具有实体单元或壳单元的模型中； 在具有或没有初始截断点时同样有效。（允许提取高于某个给定频率的振型）； 可以很好地处理刚体振型； 需要较高的内存。

模态分析 - 术语和概念 模态提取方法- 子空间法 子空间法比较适合于提取类似中型到大型模型的较少的振型 （<40） 需要相对较少的内存； 实体单元和壳单元应当具有较好的单元形状，要对任何关于单元形状的警告信息予以注意； 在具有刚体振型时可能会出现收敛问题； 建议在具有约束方程时不要用此方法。

模态分析 - 术语和概念 模态提取方法- PowerDynamics法 PowerDynamics 法适用于提取很大的模型（100.000个自由度以上）的较少振型（< 20）。这种方法明显比 Block Lanczos 法或子空间法快，但是： 需要很大的内存； 当单元形状不好或出现病态矩阵时，用这种方法可能不收敛； 建议只将这种方法作为对大模型的一种备用方法。 注: PowerDynamics方法 子空间技术使用Power求解器(PCG)和 一直质量矩阵； 不执行Sturm序列检查(对于遗漏模态); 它可能影响多个重复频率的模型； 一个包含刚体模态的模型, 如果你使用PowerDynamics方法,必须执行RIGID命令(或者在分析设置对话框中指定RIGID设置)。

模态分析 - 术语和概念 模态提取方法- 缩减法 如果模型中的集中质量不会引起局部振动，例如象梁和杆那样，可以使用缩减法： 它是所有方法中最快的； 需要较少的内存和硬盘空间； 使用矩阵缩减法，即选择一组主自由度来减小[K] 和[M] 的大小； 缩减[的刚度矩阵[K] 是精确的，但缩减的质量矩阵 [M]是近似的，近似程度取决于主自由度的数目和位置； 在结构抵抗弯曲能力较弱时不推荐使用此方法，如细长的梁和薄壳。 Reduced Method Guidelines for selecting master DOF are presented in the Structural Analysis Guide. 注意: 选择主自由度的原则请参阅<<ANSYS结构分析指南>>.

模态分析 - 术语和概念 模态提取方法- 不对称法 不对称法适用于声学问题（具有结构藕合作用）和其它类似的具有不对称质量矩阵[M]和刚度矩阵[K] 的问题： 计算以复数表示的特征值和特征向量 实数部分就是自然频率 虚数部分表示稳定性，负值表示稳定，正值表示不确定 Unsymmetric Method Uses the Lanczos algorithm. Does not perform a Sturm sequence check， so missed modes are possible at the higher end. 注意: 不对称方法采用Lanczos算法,不执行Sturm序列检查,所以遗漏高端频率.

模态分析 - 术语和概念 模态提取方法- 阻尼法 在模态分析中一般忽略阻尼，但如果阻尼的效果比较明显，就要使用阻尼法： 主要用于回转体动力学中，这时陀螺阻尼应是主要的； 在ANSYS的BEAM4和PIPE16单元中，可以通过定义实常数中的SPIN（旋转速度，弧度/秒）选项来说明陀螺效应； 计算以复数表示的特征值和特征向量。 虚数部分就是自然频率； 实数部分表示稳定性，负值表示稳定，正值表示不确定。 注意: 该方法采用Lanczos算法 不执行Sturm序列检查,所以遗漏高端频率 不同节点间存在相差 响应幅值 = 实部与虚部的矢量和 Damped Method Uses the Lanczos algorithm. Does not perform a Sturm sequence check， so missed modes are possible at the higher end. Response at different nodes can be out of phase. Response amplitude = vector sum of real and imaginary parts.

只能使用线性单元和线性材料，非线性性质将被忽略 参看第一章中有关建模要考虑的因素 模态分析 第三节： 步骤 模态分析中的四个主要步骤： 建模 选择分析类型和分析选项 施加边界条件并求解 评价结果 建模： 必须定义密度 只能使用线性单元和线性材料，非线性性质将被忽略 参看第一章中有关建模要考虑的因素 Typical commands： /PREP7 ET，... MP，EX，... MP，DENS，… ! Geometry … ! Mesh

建模的典型命令流(接上页) /PREP7 ET，... MP，EX，... MP，DENS，… ! 建立几何模型 … ! 划分网格

进入求解器并选择模态分析 模态提取选项* 模态扩展选项* 其它选项* 模态分析步骤 选择分析类型和选项 选择分析类型和选项： 典型命令： 建模 选择分析类型和选项： 进入求解器并选择模态分析 模态提取选项* 模态扩展选项* 其它选项* *将于后面讨论。 典型命令： /SOLU ANTYPE，MODAL

模态分析步骤 选择分析类型和选项 （接上页） 模态提取选项： 方法： 建议对大多数情况使用Block Lanczos 法 振型数目： 必须指定（缩减法除外） 频率范围： 缺省为全部，但可以限定于某个范围内 （FREQB to FREQE） 振型归一化： 将于后面讨论 处理约束方程： 主要用于对称循环模态中 （以后讨论） 典型命令 MODOPT，...

模态分析步骤 选择分析类型和选项 （接上页） 振型归一化： 因为自由度解没有任何实际意义，它只表明了振型，即各个节点相对于其它节点是如何运动的； 振型可以或者相对于质量矩阵[M]或者相对于单位矩阵 [I]进行归一化：。 对振型进行相对于质量矩阵[M]的归一化处理是缺省选项，这种归一化也是谱分析或将接着进行的振型叠加分析所要求的 如果想较容易的对整个结构中的位移的相对值进行比较，就选择对振型进行相对于单位矩阵[I]进行归一化

模态分析步骤 选择分析类型和选项 （接上页） 模态扩展： 对于缩减法而言，扩展意味着从缩减振型中计算出全部振型； 对于其它方法而言，扩展意味着将振型写入结果文件中； 如果想进行下面任何一项工作，必须扩展模态： 在后处理中观察振型； 计算单元应力； 进行后继的频谱分析。 典型命令： MXPAND，...

模态分析步骤 选择分析类型和选项 （接上页） 模态扩展 （接上页）： 建议： 扩展的模态数目应当与提取的模态数目相等，这样做的代价最小。

模态分析步骤 选择分析类型和选项 （接上页） 其它分析选项： 集中质量矩阵： 主要用于细长梁或薄壳，或者波传播问题； 对 PowerDynamics 法，自动选择集中质量矩阵。 预应力效应： 用于计算具有预应力结构的模态（以后讨论）。 阻尼： 阻尼仅在选用阻尼模态提取法时使用； 可以使用阻尼比阻尼和阻尼； 对BEAM4 和 PIPE16 单元，允许使用陀螺阻尼。

选择分析类型和选项的典型命令(接上页) LUMPM，OFF or ON PSTRES，OFF or ON ALPHAD，... BETAD，... DMPRAT，...

外部载荷： 因为振动被假定为自由振动，所以忽略外部载荷。然而，ANSYS程序形成的载荷向量可以在随后的模态叠加分析中使用 求解：以后讨论 模态分析步骤 施加边界条件并求解 建模 选择分析类型和选项 施加边界条件并求解： 位移约束： 下面讨论 外部载荷： 因为振动被假定为自由振动，所以忽略外部载荷。然而，ANSYS程序形成的载荷向量可以在随后的模态叠加分析中使用 求解：以后讨论

模态分析步骤 施加边界条件并求解（接上页） 位移约束： 施加必需的约束来模拟实际的固定情况； 在没有施加约束的方向上将计算刚体振型； 不允许有非零位移约束。 典型命令: DK，…或 D或 DSYM DL，... DA，...

模态分析步骤 施加边界条件并求解（接上页） 位移约束（接上页）： 对称边界条件只产生对称的振型，所以将会丢失一些振型。 完整模型 对称边界 反对称边界

模态分析步骤 施加边界条件并求解（接上页） 位移约束（接上页）： 对于一个平板中间有孔的模型，全部模型和四分之一模型的最小非零振动频率如下所示。在反对称模型中，由于沿着对称边界条件不为零，所以它丢失了频率为53Hz的振型。

模态分析步骤 施加边界条件并求解（接上页） 求解： 通常采用一个载荷步； 为了研究不同位移约束的效果，可以采用多载荷步（例如，对称边界条件采用一个载荷步，反对称边界条件采用另一个载荷步）。 典型命令: SOLVE

观察结果 进入通用后处理器POST1 列出各自然频率 观察振型 观察模态应力 模态分析步骤 观察结果 建模 选择分析类型和选项 施加边界条件并求解 观察结果 进入通用后处理器POST1 列出各自然频率 观察振型 观察模态应力

在通用后处理器菜单中选择 “Results Summary”； 注意，每一个模态都保存在单独的子步中。 模态分析步骤 观察结果（接上页） 列出自然频率： 在通用后处理器菜单中选择 “Results Summary”； 注意，每一个模态都保存在单独的子步中。 典型命令: /POST1 SET，LIST

首先采用“ First Set”、“ Next Set” 或“By Load Step” 模态分析步骤 观察结果 （接上页） 观察振型： 首先采用“ First Set”、“ Next Set” 或“By Load Step” 然后绘制模态变形图： shape： General Postproc > Plot Results > Deformed Shape… 注意图例中给出了振型序号 （SUB = ） 和频率 （FREQ = ）。

振型可以制作动画： Utility Menu > PlotCtrls > Animate > Mode Shape... 模态分析步骤 观察结果（接上页） 观察振型 （接上页）： 振型可以制作动画： Utility Menu > PlotCtrls > Animate > Mode Shape...

观察结果的典型命令(接上页) SET，1，1 ! First mode ANMODE，10，.05 ! 动画 – 10帧，帧间间隔0.05秒 …

如果在选择分析选项时激活了单元应力计算选项，则可以得到模态应力 模态分析步骤 观察结果（接上页） 模态应力： 如果在选择分析选项时激活了单元应力计算选项，则可以得到模态应力 应力值并没有实际意义，但如果振型是相对于单位矩阵归一的，则可以在给定的振型中比较不同点的应力，从而发现可能存在的应力集中。 Typical commands： PLNSOL，S，EQV ! Plot von Mises stress contours 典型命令: PLNSOL，S，EQV ! 画von Mises应力等值图

模态分析步骤 观察结果 （接上页） 相对于单位矩阵归一的振型

模态分析 步骤 建模 选择分析类型和选项 施加边界条件并求解 观察结果

第四节： 模态分析的实例 这些实例包括两个问题： 1. 平板中央开孔模型的模态分析 ： 一步一步地描述了如何进行模态分析； 第四节： 模态分析的实例 这些实例包括两个问题： 1. 平板中央开孔模型的模态分析 ： 一步一步地描述了如何进行模态分析； 既可以由学员自己来练习这个问题，也可以由老师把这个问题作为范例来讲。 2. 对模型飞机几机翼进行模态分析： 这个问题留给学员做练习。 细节部分请参考动力学实例分析补充材料。

第五节： 有预应力的模态分析 什么是有预应力的模态分析？ 为什么要做有预应力的模态分析? 具有预应力结构的模态分析； 第五节： 有预应力的模态分析 什么是有预应力的模态分析？ 为什么要做有预应力的模态分析? 具有预应力结构的模态分析； 同样的结构在不同的应力状态下表现出不同的动力特性。 例如，一根琴弦随着拉力的增加，它的振动频率也随之增大。 涡轮叶片旋转时，由于离心力引起的预应力的作用，它的自然频率逐渐具有增大的趋势。 为了恰当地设计这些结构，必须要做具有预应力和无预应力的模型的模态分析。

有预应力的模态分析步骤 三个主要步骤： 建模 在静态分析中给模型施加预应力 做具有预应力的模态分析 建模： 与普通模态分析要考虑的问题一样 必须定义密度

建模的典型命令流(接上页) /PREP7 ET，... MP，EX，... MP，DENS，… ! 建立几何模型 … ! 划分网格

有预应力的模态分析步骤 Pre-stress the Model 建模 在静态分析中给模型施加预应力选择分析类型和选项： 必须激活预应力选项。 载荷： 施加引起预应力的载荷。 后处理： 观察结果，确认已经施加了合适的载荷。

有预应力的模态分析步骤 典型命令(接上页) /SOLU ANTYPE，STATIC ! 静力分析 PSTRES，ON ! 激活预应力效应 ! 加载 ... ! 求解 SOLVE ! 结果处理 /POST1 PLDISP，2 PLNSOL，S，EQV FINISH

有预应力的模态分析步骤 给模型施加预应力 （接上页）

有预应力的模态分析步骤 有预应力的模态分析 建模 在静态分析中给模型施加预应力 做具有预应力的模态分析： 除了在分析选项中必须激活预应力效果选项外，其它步骤与普通模态分析的步骤一样。

有预应力的模态分析步骤 典型命令(接上页) /SOLU ANTYPE，MODAL MODOPT，… MXPAND，… PSTRES，ON SOLVE

有预应力的模态分析步骤 有预应力的模态分析（接上页） 比较： 具有预应力的平板 无预应力的平板

有预应力的模态分析步骤 典型命令(接上页) /POST1 SET，LIST SET，1，n ! n 是模态号 PLDISP，2 FINISH

有预应力的模态分析步骤 建模 在静态分析中给模型施加预应力 做具有预应力的模态分析

有预应力的模态分析地实例 在以下的实例中，学员给如图所示的盘片施加预应力，然后计算它的自然频率。如果时间允许，计算没有预应力的盘片的自然频率和振型。 详细情况请参考动力学实例补充材料。

第六节： 循环对称结构的模态分析 什么是循环对称结构的模态分析? 利用循环对称的模态分析； 第六节： 循环对称结构的模态分析 什么是循环对称结构的模态分析? 利用循环对称的模态分析； 可以只模拟结构的一个扇形区，然后观察整个结构的振型。 节省了建模时间 － 不需要模拟整个结构。 节省了计算时间和硬盘空间 － 只需要较少的单元和自由度。 应用： 可用于任何具有循环对称的结构：如涡轮、叶轮。

循环对称结构的模态分析步骤 七个主要步骤： 基本扇区的建模 确定循环对称平面 复制一个基本扇区 在两个扇区上施加边界条件 指定分析类型和选项 用CYCSOL命令求解 将求解结果扩展到3600，对结果进行评价

必须在全局柱坐标系中：X为径向， Y 沿着 向， Z 为轴向 循环对称面 （或边）： 循环对称结构的模态分析 基本扇区的建模 基本扇区： 必须在全局柱坐标系中：X为径向， Y 沿着 向， Z 为轴向 循环对称面 （或边）： 必须要有相匹配的节点分布，可以通过规定线的分布来保证这一点 可以是弯曲的 只要360/是整数，扇区角 可以是任何值

建模的典型命令流(接上页) /PREP7 ET，... MP，EX，... MP，DENS，… ! 建立几何模型 … ! 划分网格

尽管不需要对对应的边建立节点组，但这样做可能有用。 确认在完成确定循环对称面这一步时选择了所有有关项。 循环对称结构的模态分析 指定循环对称面 基本扇区的建模 指定循环对称面： 沿着最小的  角选择节点。 创建节点组： Utility Menu > Select > Comp/Assembly > Create Component… 尽管不需要对对应的边建立节点组，但这样做可能有用。 确认在完成确定循环对称面这一步时选择了所有有关项。 Components ND0 and ND36 典型命令： NSEL，… ! 选择一个对称面 CM，name，NODE ! Name是组名 NSEL，ALL ! 选择所有节点

循环对称结构的模态分析 需要两个相同的基本扇区 确认选择了基本扇区中的全部节点和单元 运行宏 CYCGEN 循环对称结构的模态分析 复制一个基本扇区 基本扇区的建模 指定循环对称面 复制一个基本扇区： 循环对称结构的模态分析 需要两个相同的基本扇区 确认选择了基本扇区中的全部节点和单元 运行宏 CYCGEN Preprocessor > Cyclic Sector… 仅仅复制了有限元元素实体，并没有复制固体模型 典型命令： ALLSEL CYCGEN

循环对称结构的模态分析 在两个扇区上施加边界条件 基本扇区的建模 指定循环对称面 复制一个基本扇区 在两个扇区上施加边界条件： 主要是位移约束； 仅在各节点上施加约束（因为第二个扇区只包括节点和单元）； 根据位置选择节点，而不是根据编号； 不需要施加对称边界条件（除非是进行静态分析以施加预应力）。 典型命令: CSYS，1 NSEL，，LOC，… D，ALL，… NSEL，ALL

循环对称结构的模态分析 选择分析类型和选项 基本扇区的建模 指定循环对称面 复制一个基本扇区 在两个扇区上施加边界条件 指定分析类型和选项： 模态分析 选项： 建议使用Block Lanczos 法； 提取的节点数目（NMODE）是节径数（以后解释）； 约束方程处理 - 以后讨论； 扩展的模态数目应和提取的模态数目一样多。 典型命令: /SOLU ANTYPE，MODAL MODOPT，LANB，5，，， ，，，2 ! 5阶模态， 精确的拉格朗日方法 MXPAND，5

循环对称结构的模态分析 指定分析类型和选项（接上页） 处理约束方程方法： 大约有几百个甚至几千个约束方程，在循环对称面上回自动产生； 缺省的处理约束方程法是直接消去法，但这种方法的效果可能并不好； 建议使用拉格朗日乘子法，有两个选项： 快速求解法是快速的，但对于高阶频率可能给不出精确的特征值； 精确求解法是精确的，但是要慢一些。

循环对称结构的模态分析 用CYCSOL命令求解 基本扇区的建模 指定循环对称面 复制一个基本扇区 在两个扇区上施加边界条件 指定分析类型和选项 用CYCSOL命令求解 CYCSOL 是一个能产生必需的约束方程并得到模态解的宏； 菜单路径是： Solution > Modal Cyclic Sym… NMODE modes are extracted for each nodal diameter. Explained next. 典型命令: CYCSOL，0，4，10，’ND0’ ! 节径 0-4， 10 扇区， 组件 ND0 FINISH

循环对称结构的模态分析 用CYCSOL命令求解 （接上页） 节径 振动中位移为零的线 一条节径通常在周向引起一个振动波，即一条横穿零位移平面的线，两条节径引起的两个振动波，如此类推； 每条节径有许多振型，应当注意一条给定节径的高阶振型可能在周向出现更多的振动波。

循环对称结构的模态分析 用CYCSOL命令求解 （接上页） 一条节径 注意，下面的位移UZ等值线图中有一条零位移的径向线，右图表示的是振型的侧视图。

循环对称结构的模态分析 用CYCSOL命令求解 （接上页） 两条节径

循环对称结构的模态分析 用CYCSOL命令求解 （接上页） 三条节径

循环对称结构的模态分析 用CYCSOL命令求解 （接上页） 四条节径

循环对称结构的模态分析 用CYCSOL命令求解 （接上页） 零节径 （轴对称模型）

循环对称结构的模态分析 用CYCSOL命令求解 （接上页） 为什么节径范围很重要? 由于只模拟了一个基本扇区，所以ANSYS需要知道将要提取哪些振型。是提取对某一给定节径的所有振型还是提取所给节径范围内的前几阶振型？ 结构的低阶振型通常是前几节径的前几阶振型； 通常，只需对前面少数几条节径提取少数几阶振型。

循环对称结构的模态分析 将求解结果扩展到360º，对结果进行评价。 基本扇区的建模 指定循环对称面 复制一个基本扇区 在两个扇区上施加边界条件 指定分析类型和选项 用CYCSOL命令求解 将求解结果扩展到360º ，对结果进行评价。 进入后处理器 （POST1） 四个主要步骤： 列出自然频率 说明为了扩展至 360º所需的扇区数量 读入所需振型的结果 对此振型做动画

循环对称结构的模态分析 观察结果（接上页） 列出频率： General Postproc > Results Summary 每一条节径都作为一个单独的载荷步进行保存 典型命令： /POST1 SET，LIST 节径 0， 模态 1-5 节径1， 模态1-5 节径2， 模态1-5 节径3， 模态1-5 节径4， 模态1-5

循环对称结构的模态分析 观察结果（接上页） 说明为了扩展至 360º所需的扇区数量： 输入命令 EXPAND，n ，其中n是扇区数量； 在读入结果时，实际扩展即已完成。 使用SET命令或菜单中的 “By Load Step…”，可以读入所需振型。 节径。 LSTEP=1 意味着零节径 振型数目 典型命令: EXPAND，10 ! 如果建立了一个36度扇区模型 SET，1，2 ! 节径为 0， 模态 2

循环对称结构的模态分析 观察结果（接上页） 制作振型动画： PlotCtrls > Animate > Mode Shape... 典型命令： ANMODE，10，0.05

循环对称结构的模态分析 观察结果（接上页）

循环对称结构的模态分析 观察结果（接上页）

循环对称结构的模态分析 观察结果 （接上页）

循环对称结构的模态分析 观察结果 （接上页）

循环对称结构的模态分析 观察结果 （接上页） 比较循环对称解和完整模型解： 两种求解法中频率吻合的很好； 注意，频率较低的振型是每条节径的前几阶振型； 左表采用36º对称循环的模型，具有560个单元，1960个自由度。右表采用的完整模型，具有2800个单元，18560个自由度； 在一台PC机上，对这两种模型的计算时间分别为37秒和75.3秒； 结果文件大小分别为1.3Mb和4.2Mb。 36 对称模型 完整模型

循环对称结构模态分析的实例 在这个实例中，只需要模拟它的一个齿； 详细情况请参考动力学分析实例补充材料。