第十八章 平行四边形 18.2.1 矩 形 第2课时 矩形的判定 豫灵一中 赵晓林

学习目标 1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握 矩形的判定定理．（重点） 2.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.(难点)

一、复习导入 问题1 矩形的定义是什么？ 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 问题2 矩形有哪些性质？ 边： 对边平行且相等 角： 问题1 矩形的定义是什么？ 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 问题2 矩形有哪些性质？ 边： 对边平行且相等 角： 对角相等，邻角互补四个角都是直角 矩形 对角线： 对角线互相平分且相等

二、新知探究 类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法. 定义判定： 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 问题1 类比研究平行四边形的判定，我们可以从哪些角度入手判定矩形呢？

情境一： 猜想： 对角线相等的平行四边形是矩形 。 工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形。 一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形。 你有什么猜想吗？ 这个命题的条件和结论分别是？ 你能证明吗？ 猜想： 对角线相等的平行四边形是矩形 。

证一证 已知：如图,在□ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB. 求证：□ABCD是矩形. B A D C ∴AD=BC，AD∥BC ∴∠ADC+∠BCD=180° 在△ADC和△BCD中 AD=BC BC=CB AC=BD ∴△ADC≌△BCD ∴∠ADC=∠BCD ∴∠ADC=∠BCD=90° ∴ 平行四边形ABCD是矩形 A B C D

归纳总结 矩形的判定定理1： 对角线相等的平行四边形是矩形. 几何语言描述： 在平行四边形ABCD中 B A ∵AC=BD，

练一练 B A A．AC=BD B．AC=BC C．AD=BC D．AB=AD 1、下列叙述中能判定四边形是矩形的个数是（ ） 1、下列叙述中能判定四边形是矩形的个数是（ ） ①对角线互相平分的四边形；②对角线相等的四边形； ③对角线相等的平行四边形； ④对角线互相平分且相等的四边形． A．1 B．2 C．3 D．4 B 2、如图，在▱ABCD中，AC和BD相交于点O，则下面条件能判定▱ABCD是矩形的是 （　　） A A．AC=BD B．AC=BC C．AD=BC D．AB=AD

典例精析 例1 如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形. 证明： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD（矩形的对角线相等) ∴ AO =BO=CO=DO（矩形的对角线互相平分）， ∵ AE=BF=CG=DH， ∴OE=OF=OG=OH， ∴四边形EFGH是平行四边形， EO+OG=FO+OH， 即EG=FH， ∴平行四边形EFGH是矩形. B C D E F G H O A

练习3、 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数． ∴OA=OC= AC，OB=OD= BD 又∵OA=OD， ∴AC=BD， A　 B　 C　 D　 O ∴平行四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90°. 又∵∠OAD=50°， ∴∠OAB=40°.

问一问 问题1 上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？ 你能证明它吗？ 逆命题：四个角是直角的四边形是矩形. 成立

证一证 已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=∠D=90°. 求证：四边形ABCD是矩形. 证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°， ∴AD∥BC,AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵ ∠A=90° ∴平行四边形ABCD是矩形. A B C D 还有其它的方法吗？

问题2： 至少有几个角是直角的四边形是矩形？ A B D C (有二个角是直角) A B D C (有三个角是直角)

归纳总结 矩形的判定定理2： 有三个角是直角的四边形是矩形. 几何语言描述： 在四边形ABCD中， D ∵ ∠A=∠B=∠C=90°, A

练一练 1、在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的4位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是 （ ） 1、在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的4位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是 （　　） A．测量对角线是否相等 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量其中三个角是否都为直角 D

2、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．求证：四边形ABCD是矩形． ∴∠ADC=180°-90°=90° ∵AB=5，BC=12，AC=13 ∴AB² +BC² =AC² ∴△ABC是直角三角形 且∠ABC=90° ∵∠BAD=90°∠ADC=90° ∠ABC=90° ∴四边形ABCD是矩形．

例2 如图， □ ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形 EFGH为矩形． 证明：在□ ABCD中，AD∥BC, A B D C H E F G ∴∠DAB+∠ABC=180°. ∵AE与BG分别为∠DAB、 ∠ABC的平分线, ∴ ∠BAE+ ∠ABF= ∠DAB+ ∠ABC=90°. ∴∠AFB=90°， ∴∠GFE=90°. 同理可证∠AED=∠EHG=90°, ∴四边形EFGH是矩形．

对应练习：如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、 ∠MCA、 ∠ ACN、∠CAF的平分线,则四边形ABCD是 （ ） A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定 C D E F M N Q P A B C

三、课堂小结 定义判定 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 对角线相等的平行四边形是矩形. 矩形的判定 判定定理 有三个角是直角的四边形是矩形. 数学思想： 类比思想

四、当堂练习 1、下列各句判定矩形的说法是否正确？ （1）对角线相等的四边形是矩形； × （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； √ （3）有一个角是直角的四边形是矩形； × （4）有三个角都相等的四边形是矩形; × （5）有三个角是直角的四边形是矩形； √ （6）四个角都相等的四边形是矩形； √ （7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； × （8）一组对角互补的平行四边形是矩形. √

2、矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A．对角相等 B．对边相等 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 C 3、下列识别图形不正确的是（ ） A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．有三个角是直角的四边形是矩形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C

4、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F 为AB上的两点，且△DAF≌△CBE.

5、如图3-12，平行四边形 ABCD中，∠DAC =∠ADB, 求证：四边形ABCD是矩形

数学的奥秘很深，永无止境，你不研究它，它枯燥无味；你研究它， 趣味无穷。 结束语 数学的奥秘很深，永无止境，你不研究它，它枯燥无味；你研究它， 趣味无穷。