第四章 平面一般力系

本章重点、难点 ⒈重点 静 力 学 平面一般力系向作用面内任意一点的简化，力 ⒉难点 系的简化结果。 平面一般力系平衡的解析条件，各种形式平衡 方程及应用。 物体及物体系平衡问题的解法。 ⒉难点 主矢与主矩的概念。 物体系的平衡问题。

静 力 学 第四章 平面一般力系 平面一般力系：各力的作用线都在同一平面内，既不都汇交于一点又不都互相平行的力系称为平面一般力系。又称平面任意力系。 [例] 力系向已知点简化：把未知力系（平面一般力系）先化为平面汇交力系及平面力偶系，然后再进行简化，称为力系向已知点简化。

静 力 学 §4-1 力线平移定理 一、定理 力线平移定理：作用在刚体上A点的力 可以平行移动 §4-1 力线平移定理 一、定理 力线平移定理：作用在刚体上A点的力 可以平行移动 须在该力 与指定点B 所决定的平 面内附加一力偶，其力偶 矩等于原力 对指 定点B 之矩。 到刚 体内任一指定点B 若不改变该力对于刚体的作用，则必 [证] 力 力系

静 力 学 二、讨论 ①力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力 力+力偶 ②力线平移定理可考察力对物体的作用效应。 （刚体、变形体两种情况） ①力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力 力+力偶 ②力线平移定理可考察力对物体的作用效应。 （刚体、变形体两种情况） ③力线平移定理是力系简化的理论基础。

静 力 学 §4-2 平面一般力系向一点简化 一、简化方法 向一点简化 汇交力系+力偶系 一般力系（任意力系） （未知力系） （已知力系） 汇交力系合力

静 力 学 附加力偶的合力偶矩 二、主矢与主矩 1. 主矢：指原平面一般力系各力的矢量和 。 大小： 主矢 的 方向： 解析求法 1. 主矢：指原平面一般力系各力的矢量和 。 大小： 主矢 的 解析求法 方向： 因主矢等于原力系各力的矢量和,所 以它与简化中心的位置无关。 注意：

静 力 学 主矩：指原平面一般力系对简化中心之矩的代数和 。 大小： 主矩 MO 正、负规定 ： 转向 + – 转向 + – 因主矩等于各力对简化中心之矩的代数和，所以它的大小和转向一般与简化中心有关。 注意： 三、结论 平面一般力系向作用面内任一点简化 ，一般可以得到 一力和一力偶 ；该力作用于简化中心 ，其大小及方向等于该 力系的主矢 ，该力偶之矩等于该力系对于简化中心的主矩 。

静 力 学 ①认为Fi这群力在同一 平面内; 四、固定端（插入端）约束 在工程中常见的有： 车 刀 雨 搭 固定端（插入端）约束的构造 约束反力

静 力 学 ② 将Fi向A点简化得一 力和一力偶; ③RA方向不定可用正交 分力YA, XA表示; ④ YA, XA, MA为固定端 约束反力; ⑤ YA, XA限制物体平动, MA为限制转动。

静 力 学 §4-3 平面一般力系的简化结果  合力矩定理 简化一般结果：主矢 ，主矩 MO ，下面讨论简化最后结果： 一、简化最后结果 §4-3 平面一般力系的简化结果  合力矩定理 简化一般结果：主矢 ，主矩 MO ，下面讨论简化最后结果： 一、简化最后结果 ⒈ =0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 ⒉ =0,MO≠0 即简化结果为一合力偶, M=MO 此时刚 体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。 ⒊ ≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，简化结果就是合力（这个力系的合力）, 。（此时简化结果与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）

静 力 学 ⒋ ≠0,MO ≠0,为最一般的情况。此种情况还可以继续 化为一个合力 。 合力 的大小等于原力系的主矢 合力 的作用线位置

静 力 学 ⒌ 结论 平面任意力系的简化结果 ：①合力偶MO ； ②合力 二、合力矩定理 ∵ ⒌ 结论 二、合力矩定理 ∵ 即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系中各力对于同一点之矩的代数和。

静 力 学 [例] 已知：如图。求梁上分布荷载的合力。 [例] 已知：如图。求梁上分布荷载的合力。 解：荷载分布在一狭长范围内，如沿构件的轴线分布，则称为分布荷载。该问题是一集度按线性变化的 线分布荷载求合力问题。 ⒈求合力的大小 在坐标 x 处取长为 dx 的微段，其集度为： 而在此微段上的荷载为：

静 力 学 因此，合力Q 的大小为： ⒉ 求合力作用线的位置 解得：

静 力 学 §4-4 平面一般力系的平衡条件与平衡方程 一、平衡的必要与充分条件 由于 =0 作用于简化中心的合力RO=0，则汇交力系平衡； §4-4 平面一般力系的平衡条件与平衡方程 一、平衡的必要与充分条件 由于 =0 作用于简化中心的合力RO=0，则汇交力系平衡； MO=0 则力偶矩MO=0 ，因此附加力偶系也平衡。 所以平面任意力系平衡的充要条件为： 力系的主矢 和主矩 MO 都等于零，即： （1） （2） 平面一般 力系平衡 必要 充分

静 力 学 以上每式中只有三个独立的平衡方程，只能解出三个 未知量。 二、平衡方程（解析法平衡的充要条件） 由主矢主矩为零的条件则有： ①一矩式 ②二矩式 条件：x 轴不 AB 连线 ③三矩式 条件：A,B,C不在 同一直线上 以上每式中只有三个独立的平衡方程，只能解出三个 未知量。

静 力 学 [例] 已知：P=20kN, m=16kN·m, q=20kN/m, a=0.8m 求：A、B的支反力。 解 ① 研究AB梁；② 受力如图；③ 取Axy直角坐标； ④ 列平衡方程求解： ① ② ③

静 力 学 解得： [ 例] 已知：q=2 kN ∕m ，P=2 kN ，l=1.5 m ，a=45° 求：固定端A处的反力。 解：⒈ 研究 AB 梁； ⒉ 受力分析：P ,Q , Q=q l ,XA ,YA ,MA ； ⒊ 取Axy坐标轴；

静 力 学 ⒋ 列平衡方程求解： ① ② ③ 将 Q = q l= 3 kN 及 P , a 之值代入相应方程， 解得：

静 力 学 [例] 已知：旋转式起重机，自重W=10 kN，被起吊重物重 Q=40 kN 。求：止推轴承A 和径向轴承B 的约束反力。 解：① 研究起重机；② 受力分析：W , Q ,XA ,YA ,NB ；③ 取 Axy直角坐标轴；④ 列平衡方程求解： ① ② ③ 解得：

静 力 学 §4-5 平面平行力系的平衡方程 平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系 一、平面平行力系的简化 §4-5 平面平行力系的平衡方程 平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系 一、平面平行力系的简化 设有F1, F2 … Fn 各平行力系， 向O点简化得： 合力 作 用线的位置为：

静 力 学 二、平面平行力系的平衡方程 由于 力系平衡 所以平面平行力系的平衡方程为： 一矩式 二矩式 （由平面一般力系的平衡方程， 由于 力系平衡 所以平面平行力系的平衡方程为： 一矩式 二矩式 条件：AB 连线不能平行 于力的作用线 （由平面一般力系的平衡方程， 其中投影方程 为恒等 式而自然满足，亦可得到平面平行 力系平衡方程。）

静 力 学 [例] 已知：塔式起重机 P=700kN, W=200kN (最大起重量)，尺寸如图。求：①保证满载和空载时不致翻倒，平衡块Q=？ ②当Q=180kN时，求满载时轨道A、B给起重机轮子的反力？ 解：⑴ ①首先考虑满载时( W=200kN )， 起重机不向右翻倒Q 的最小值： 限制条件： 解得：

静 力 学 ②空载时( W=0 ) ，起重机不向左翻倒Q 的最大值： 由 解得 限制条件为： 因此保证空、满载均不倒Q应满足如下关系： ⑵ 求当Q=180kN，满载W=200kN时， NA ,NB为多少 由平面平行力系的平衡方程可得：

静 力 学 [例] 已知：P=20kN, m=16kN·m, q=20kN/m, a=0.8m 求：A、B的支反力。 解 ① 研究AB梁；② 受力如图；③ 取Axy直角坐标； ④ 列平衡方程求解： 解得：

静 力 学 §4-6 静定与静不定问题的概念  物体系统的平衡 一、静定与静不定问题的概念 我们学过： 平面汇交力系 有两个独立的平衡方程，只能解两个未知量。 一个独立方程，只能解出一个未知量。 三个独立方程，只能解出三个未知量。 平面力偶系 平面 任意力系 当：未知量数目≤独立方程数目时，是静定问题（可求解） 未知量数目＞独立方程数目时，是静不定问题（超静定问题）

静 力 学 [例] ①物体受平面汇交力系作用 未知量数 2 未知量数 3 = 独立平衡方程数 2 ＞ 独立平衡方程数 2 静定问题 静不定问题

静 力 学 ② 物体受平面平行力系作用 未知量数 2 = 独立平衡方程数 2 静定问题 未知量数 3 ＞ 独立平衡方程数 2 静不定问题

静 力 学 未知量数 3 未知量数 4 = 独立平衡方程数 3 ＞独立平衡方程数 3 静不定问题 静定问题 ③ 物体受平面一般力系作用 静定问题 未知量数 3 = 独立平衡方程数 3 静不定问题 未知量数 4 ＞独立平衡方程数 3 静不定问题在变形体力学（材力,结力,弹力）中，除列出静力学平衡方程外，还需考虑变形谐调条件，列出补充方程来联合求解。

静 力 学 二、物体系统的平衡问题 ⒈ 物体系统 物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统 称为物体系统。 [例] 外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。

静 力 学 ⒉ 物系平衡的特点 ① 物系平衡 ② 物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3个平衡方 程，整个系统可列3n个方程（设物系中有n个物体,每个物体都 受有平面一般力系作用） ③ 由n个刚体组成的物系，其中n1个刚体为二力体或受有平 面力偶系作用，n2个刚体受有平面汇交力系或平行力系作用，n3 个刚体受有平面一般力系作用，且：n = n1+n2+n3 ，则整个系统 可列出m个独立的平衡方程，而 m = n1+2n2+3n3 ，可求解m个未 知量。 ⒊ 解物系问题的一般方法 由整体 局部 或 由局部 整体

静 力 学 [例] 已知：三铰刚架受力及尺寸如图。求：固定铰支座 A 、 B 的反力和中间铰C 处的压力。 解：㈠ 研究刚架系统整体 刚架受力分析如图，列 平衡方程求解： ① ② ③ 由 ①、② 解得：

静 力 学 ㈡ 再研究CB 部分 受力分析如图，列平衡方程求解： ④ ⑤ ⑥ 解得： 再将 XB 之值代入③式，得：

静 力 学 [例] 已知：OA=R, AB= l , 当OA水平时，冲压力为P时， 求：①M=？②O点的约束反力？③AB杆内力？ ④冲头给导轨的侧压力？ 解：研究B

静 力 学 再研究轮 [负号表示力的方向与图中所设方向相反]

静 力 学 YB =10kN [例] 已知：P =20kN，q = 5kN／m ，a = 45°；求支座A 、C 的反力和中间铰B处的压力。 解： ㈠ 先研究 BC 梁（附属部分） 受力分析如图，列平衡 方程求解： ① ② ③ 解得： NC =14.14kN ; XB =10kN YB =10kN

静 力 学 YA= 20kN ㈡ 再研究 AB 部分（基本部分） 受力分析如图，列平衡方程 求解： ④ ⑤ ⑥ 其中：Q = q﹒2 = 5 ×2 =10kN, 10kN 解得： MA= 30kN·m , 10kN YA= 20kN

静 力 学 §4-7 平面简单桁架的内力分析 桁架：由杆组成，用铰联接，受力不变形的系统。 桁架的特点：①直杆，不计自重，均为二力杆；②杆端铰接； ③外力作用在节点上。

静 力 学 节点 杆件 简化计算模型

静 力 学 ②依次取A、C、D节点研究，计算各杆内力。 一、节点法 已知：如图 P=10kN，求各杆内力？ [例] 解：①研究整体，求支座反力 ②依次取A、C、D节点研究，计算各杆内力。

静 力 学 节点D的另一个方程可用来校核计算结果 恰与 相等,计算准确无误。

静 力 学 [例] 已知：如图，h，a，P 求：4，5，6杆的内力。 ① ② 二、截面法 I 解： 研究整体求支反力 解： 研究整体求支反力 ① A' ② 选截面 I-I ，取左半部研究

静 力 学 说明 ： 节点法：用于设计，计算全部杆内力 截面法：用于校核，计算部分杆内力 说明 ： 节点法：用于设计，计算全部杆内力 截面法：用于校核，计算部分杆内力 先把杆受力都设为拉力,计算结果为负时,说明是压力,与所设方向相反。

静 力 学 三、特殊杆件的内力判断 ① 两杆节点无载荷、且两杆不在 一条直线上时，该两杆是零杆。 ② 三杆节点无载荷、其中两杆在 一条直线上，另一杆必为零杆 ③ 四杆节点无载荷、其中两两在 一条直线上，同一直线上两杆 内力等值、同性。