第一章 数学物理方程的导出和定解问题 §１－１ 引言 §１－２ 数学物理方程的导出 §１－３ 定解条件 第一章　　数学物理方程的导出和定解问题 §１－１　引言 §１－２　数学物理方程的导出 §１－３　定解条件 §１－４　二阶线性偏微分方程的分类和简化

§１－１　引言 一、定义：在物理（力学）中，经常用微分方程来表示物体的运动规律，如运动方程，振动方程，场（磁场、电场）方程，我们把一个物理过程表述为数学方程，即数学物理方程。 二、数学物理方程的导出：1.首先要确定研究哪一个物理量。2.从所研究的系统中划出一个部分（隔离）。3.根据物理规律分析邻近部分和这个小部分的相互作用（抓住主要作用，忽略次要作用），看它们在这一时刻如何变化，对物理量的影响用数学式表达出来。4.整理成数学物理方程。 三、类型：下面导出数学物理方程的三种类型， 1.波动方程。2.输运方程。3.稳定场方程。

§１－２ 数学物理方程的导出（建立数学模型） 一、均匀弦的微小横振动 §１－２ 数学物理方程的导出（建立数学模型） 一、均匀弦的微小横振动 　　有一根均匀柔软的细弦，平衡时绷紧为直线，重量与张力相比可以忽略，它在做微小的横振动。 　　设弦在平衡位置时为x轴，弦上各点的横向位移记为u，u在弦上各点的量不同，随x的变化而变化；在不同的时间t，u也要变化，因而u是（x ，t）的函数。记为u（x ,t） u x 2 1 T1 T2 M M' gds ds x+dx 取（x ，x+dx）为研究对象， 在x方向，列平衡方程： Ｘ=0 T1 cos 1 -T2 cos 2=0 (1) 在y方向，列运动方程： T2sin 1 -T1sin 2=ma= =mutt=(ds) utt (2)

因为 １０，２ ０，所以cos １1,，cos ２ 1 　　　　sin １ =tg １ =ux|x， sin 2 =tg 2 =ux|x+dx 又因为 <<1 因此：　　 　　　　T2－T1 ＝０　　　　　　　 　　（３） 　　　　　 T2ux| x+dx－T1ux| x＝uttdx （４） 式（３）说明： T2＝T1　，张力不随位置的变化而变化，记为“T” 式（４）： 密度，对于均匀弦来说是正常数，令T/ ＝a２（正常数） 　　　　 （５） 该式即波动方程

二、均匀杆的纵振动 对于受迫振动，假设弦上单位长度受横向力F（x，t）作用， 则方程（２）变成： T2sin 2 -T1sin 1＋ F(x，t)dx =(ds) utt 推导出：　　utt－a2uxx＝ F(x，t)/  （６） 二、均匀杆的纵振动 均匀杆的纵向位移是(x，t)函数 取（x，x+dx）微段为研究对象， AB段的伸长du＝uxdx， 即 du/dx＝ux，相对位移（应变）， ux是x的函数：　A点为ux| x 　　　　　 　　B点为ux| x+dx x x+dx A B u u+du

x方向的运动方程为：(Adx)utt＝AEux| x+dx－AE T2ux| x 设：弹性模量为E，A点的应力为：Eux| x， B点的应力为：Eux| x+dx 　　x方向的运动方程为：(Adx)utt＝AEux| x+dx－AE T2ux| x　　 则： 令 （７） 　　方程（７）与（５）相同，说明不同的物理过程中的物理规律可以用同一个数学物理方程来表示，也就是说：可用一种物理现象模拟另一种物理现象。 　　杆的受迫纵振动方程也和受迫弦的振动方程相同，式中F（x，t）应是纵向外力。

三、均匀薄膜的微小横振动 　　一柔软的均匀薄膜张紧，静止时膜平面为xoy平面，膜上各点的横向位移设为u（x，y，t），膜上张力T（一小段直线两边的牵引力）是常数。 u xy平面 T  x x+dx y+dy y 取一矩形 （x  x+dx，y  y+dy） 先研究x，x+dx 两边 单位长度上受到张力为： 受到的横向作用力为

同理，y，y+dx两边受到的横向作用力为Tuyydxdy 横向运动方程： 其中是Laplace算符 均匀膜是常数，令a２＝T/ （常数），于是 对于受迫振动则为 一般情况下，三维齐次波动方程为 或 这一类还有声波方程、电磁波方程、电报方程等，都属于波动方程。

四、热传导方程 推导波动方程时，运用到牛顿定律和胡克定律，而推导固体的热传导方程要用到能量守恒定律和热传导的Fourier定律。 Fourier定律：在dt时间内，通过面积元dA的热量dQ，与沿面积元外法线方向的温度变化率u／  n成正比，也与dA和 dt成正比。即 其中k=k(x，y，z)是物体在点(x，y，z)处热传导系数，u (x，y，z)是温度，负号说明热量的流向和温度梯度的方向相反。 z x y (x,y,z) (x+dx,y+dy,z+dz) 左 右 取一体元如左图。 在dt时间内，通过左侧面流入热量

在dt时间内，通过右侧面流入热量 在dt时间内，通过左右侧面流入热量 同理：在dt时间内，通过前后、上下侧面流入热量分别为 和

热量流入小体元，它的温度升高，在 t 到 t+dt 的时间内温度变化率为u/ t， 设密度是，比热是c（单位质量升高1˚Ｃ所需热量），根据能量守恒定律， 得热平衡方程 对各向同性的均匀物体，k为常数。令a2＝k/  c，则有 （11） 若物体内有热源，单位时间、单位体积内发出的热量为F (x，y，z，t)，则 热传导方程为 （12）

五、扩散方程 一半无限大的半导体材料，表面涂杂质。杂质向半导体内扩散，看成一维运动， u(x，t)表示杂质在t时刻x处的浓度。 扩散定律：　　　q ＝ －Du 式中 q 为单位时间内通过单位面积的分子数。 D为扩散系数，是由材料（和温度）决定。 u为杂质浓度梯度。负号表示扩散方向与浓度梯度相反 x x+dx 涂层 取一截面积为A的水平柱（如图）在单位时间内， 由x 截面流入： q| xA 由x+dx 截面流入： －q| x+dxA 流入（x ，x+dx）的量：

将上式代入扩散定律：净流入量 u／  t为单位时间、单位体积内杂质的变化量。 对于扩散系数在空间是均匀的情况， ，令a2＝D （１３）　此式即扩散方程 三维扩散方程为 （１４） 式（１１）、（１２）、（１３）、（１４）属输运方程。

六、稳定场 １、稳定温度分布 　　如果导热物的外部条件不随时间变化，经过相当长的时间后，物体内部的温度分布将达到稳定状态，即ut＝０。热传导方程（11）（12）成为 Laplace方程： （１５） Poisson方程： （１６） ２、稳定浓度分布 　　扩散运动持续进行下去，达到稳定状态，ut＝０。扩散方程（14）成为 Laplace方程： Laplace方程和Poisson方程属稳定场问题。这一类还有静电场、无旋稳恒电流场等问题。

七、均匀杆的微小横振动 Q|x Q|x+dx M|x M|x+dx dx 设杆的挠度为u＝u(x，t)，由材料力学知 在杆的横向写运动方程， 令a２＝EI/

§１－３　定解条件 一、定解问题　 １、泛定方程：在通常情况下，在一个区域内，偏微分方程的解很多，但是除了某些很特殊的方程外，很难找到它的通解较为明确的表达式，因此，数学物理方程本身称为泛定方程。 ２、定解条件：偏微分方程的中心问题是讨论方程的某些（有物理意义）特解，特解要满足附加的特定条件——初始条件和边界条件，称初始条件和边界条件为定解条件。 ３、定解问题：由泛定方程和定解条件共同组成的问题。 ４、定解问题的适定性（客观实际）：一个定解问题如果满足存在性、唯一性和连续依赖性（即稳定性），则称定解问题是适定的，否则就是不适定的。 ５、广义解：古典解定解条件满足方程的光滑性要求，实际中往往不具备，而方程的解仍可用某个函数来描述（只是不能延拓到边界或初始时），进入广义解的概念。一般地，广义解是古典解的极限。

二、初始条件（t＝０时的条件） “初始”即所谓“开始”时刻物理量u的分布状态，叫初始条件。 如u（x，y，z，0）＝ （x，y，z）　　初始位移 ut（x，y，z，0）＝ （x，y，z）　　初始速度 对于振动方程，因为对时间是二阶偏导，所以一般需二个初始条件。 例如： u x c L h 注：初始条件是整个物体分布状态。不能理解为　u(c，0)＝h 对于输运方程，因为对时间是一阶偏导，所以一般需一个初始条件。 如u（x，y，z，0）＝ （x，y，z）　　初始温度或浓度。 稳定场方程无初始条件。

注：不含u 的项为零称为齐次边界条件；否则称为非齐次边界条件。 三、边界条件（共三类） １、第一类边界条件：直接给出 u 在边界上的数值［已知u (L，t)］。 如波动方程：u (0，t)＝0，　 u (L，t)＝0，　两端固定。 输运方程：u (a，t)＝0，a端恒温；或 u (a，t)＝f(t)， a端温度变化已知。 ２、第二类边界条件：直接给出 ux 在边界上的数值［已知u x(L，t)］。 如波动方程：　 ux (L，t)＝0，　 纵振动一端自由。 　　　　　　　 ux (L，t)＝F(t)/(EA)，　纵振动一端受力F(t)。 热传导方程：　 ux (L，t)＝0，　　　 传热杆一端绝热。 ３、第三类边界条件： 如杆的纵振动一端受弹性系数为 k 的约束， 杆端受力F(t)＝－ k u (L，t)， 边界条件为： ux (L，t)＝－ k u (L，t) /(EA) 注：不含u 的项为零称为齐次边界条件；否则称为非齐次边界条件。

§１－４ 二阶线性偏微分方程的分类和简化 一、两个自变量的方程分类 二阶偏微分方程表达式： （１） 线性： 是 的一次函数 齐次： 非齐次： §１－４　二阶线性偏微分方程的分类和简化 二阶偏微分方程表达式： （１） 线性： 是 的一次函数 齐次： 非齐次： 一、两个自变量的方程分类 （２） 作代换 满足Jacobi矩阵J＝ 则

（３） 其中

若能选取、为一阶偏微分方程（４）的解 （４） 则必有A11＝A22＝０，方程（２）得以化简。 定理：设(x，y)０， (x，y)是方程（４）的解的充分必要条件是 　　　(x，y)＝c（常数）一阶常微分方程 （５） 的通积分。

注：１、方程（５）称为方程（４）的特征微分方程。 　　２、特征微分方程的积分曲线(x，y)＝c（常数）（即 (x，y)＝c 、 　　　　 (x，y)＝c）称为方程（２）的特征曲线。 特征方程可写成： （６） 二阶偏微分方程分类： １、双曲型： ２、抛物线型： ３、椭圆型：

１、双曲型：利用方程（６）给出二族特征线 (x，y)＝c 、 (x，y)＝c。 　　取 ＝ (x，y) 、  ＝ (x，y)为新自变量，（３）式变为 （７） 或再在作变换 即 则（３）式变为 (８) 式（７）和（８）是双曲型方程的标准式。

２、抛物线型： 特征方程： 给出一族特征线： 取 为新的自变量 则　A11＝０ (3)式变为： （９） 式（９）是抛物线型方程的标准式。

３、椭圆型：利用方程（６）给出二族互为共轭复数的特征线。 　　 (x，y)＝c 、　 (x，y)＝c。　　 取 ＝ (x，y) 、  ＝ (x，y)＝ ＊ (x，y)（＊表示共轭复数） 为新自变量， 则：A11＝０， A12＝０ 。（３）式变为 （１０） 或再在作变换 实数部分 虚数部分 (11) 式（10）和（11）是椭圆型方程的标准式。

例：化 Tricomi 方程 为标准式 解： 特征微分方程 y不为零，否则原方程为常微分方程。 １、－ y >０时，方程为双曲型。 特征线为： 作变换： 代入前式

注意到 双曲型方程标准式：

２ 、－ y <０时，方程为椭圆型。(y >０) 特征方程： 取 特征线为 作变换 实部 虚部 即

椭圆型方程标准式：

二、二阶常系数线性方程 例：电报方程的化简 解：作变换 其中  和  为待定常数。

代入原方程，并且两边约去 得 令 的系数为零，即 则方程化简为