27.2相似三角形的判定1 预备定理

回顾： 两个条件要同时具备 相似多边形的判定： 对应角相等，对应边的比相等 的两个多边形为相似多边形.

相似三角形的判定: 对应角相等,三组对应边的比也相等的两个三角形是相似三角形. 符号语言： 在△ABC和△A´B´C´中， ∵ 2、△ABC与△A´B´C´相似比为k, 则△A´B´C´与△ABC相似比为

比相等 相等 D A B C F ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F 对应角相等 比相等  对应角_______, 对应边 ——————的两个三 角形, 叫做相似三角形 . 比相等 相等 D A B C E F ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F △ ABC∽ △DEF 对应角相等 比相等  相似三角形的———————, 各对应边—。  相似比: =k k1 两三角形相似 k=1 两三角形全等

? ACI CIFI 2 = 则 3 问题二 如何不通过测量，运用所学知识，快速将一根绳子分成两部分，使这两部分之比是2:3? A B BI D DI 2 则 = E EI CIFI 3 F FI

如图，任意画两条直线l1、l2,再画三条与l1、l2相交的平行线l3、l4 、l5 如图，任意画两条直线l1、l2,再画三条与l1、l2相交的平行线l3、l4 、l5.分别度量l3、l4 、l5 在l1上截得的两条线段AB,BC和在l2上截得的两条线段DE,EF的长度. 相等吗？ A B C D E F l1 l2 l3 l4 l5 探究： 任意平移l5，再度量AB,BC，DE,EF的长度. 相等吗？

= L3//L4//L5 DE AB EF BC 定理的符号语言 (平行线分线段成比例定理) 定理 三条平行线截两条直线,所得的对应线段的比相等. 定理 D E F A B C L3 L4 L5 L1 L2 定理的符号语言 L3//L4//L5 = AB DE BC EF (平行线分线段成比例定理)

A D l1 B l2 E l3 C F 形象记忆 . . . . . . . .

2 ? [例一] //l l 解： Q EF DE BC AB = \ （平行线分线段成比例定理） 4 2 BC 3 即 = 6 BC = 1 Q B E l2 EF DE BC AB = \ ? 4 （平行线分线段成比例定理） l3 C F 4 2 BC 3 即 = 6 BC = \ [例一]

[例二] , //l l Q ： 证明 n m EF DE BC AB = \ （平行线分线段成比例定理） m n DE EF = \ ， 3 2 1 Q ： 证明 F C n m EF DE BC AB = \ 注意观察： 此图与前面图形有何不同？ （平行线分线段成比例定理） A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F m n DE EF = \ ， m n DE EF + = . m n DE DF 即 + = [例二] . n m DF DE + = \

练习： 如图，l3∥l4 ∥l5 ,请指出成比例的线段. l1 l2 l1 l2 l3 l3 l4 l4 l5 l5 A B C D E A

平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等. A B C D E l1 l2 l3 l4 l5 A B C D E l1 l2 l3 l4 l5 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等.

数学符号语言 数学符号语言 AD AE AC AB ∵ ∵ DE∥BC ∵ DE∥BC AD AE AC AB ∵ = = L1 L2 L3 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等

三角形的中位线截得的三角形与原三角形是否相似？ 相似比是多少？

如图，在∆ABC中，点D是边AB的中点，DE∥BC，DE交AC于点E ， ∆ADE与∆ABC有什么关系？ 提出问题： 如图，在∆ABC中，点D是边AB的中点，DE∥BC，DE交AC于点E ， ∆ADE与∆ABC有什么关系？

思考: 改变点D在AB上的位置，请猜想∆ADE与∆ABC是否相似? 说明理由.

？ 思 考 如图,在△ABC 中,DE//BC, DE分别交AB,AC 于点D,E, △ADE与△ABC有什么关系?

直觉告诉我们, △ADE与△ABC相似,我们通过相似的定义证明这个结论. 先证明两个三角形的对应角相等. 在△ADE与△ABC中, ∠A=∠A, ∵DE//BC, ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C.

再证明两个三角形的对应边的比相等. 过E作EF//AB,EF交BC于F点. 在平行四边形BFED中,DE=BF,DB=EF.

即:△ADE与△ABC中, ∠A=∠A,∠ADE=∠B, ∠AED=∠C. ∴△ADE∽△ABC

相似三角形的预备定理： 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。  △ADE∽△ABC DE//BC

“A”型 “X”型 判定三角形相似的预备定理：（简称：平行线） 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 B C D E （图1） （图2） D E O B C 符号语言： 在△ABC中， ∵ DE∥BC ∴△ADE∽△ABC

练习： 1、如图,已知EF∥CD∥AB，请尽可能多地找出图中的相似三角形，并说明理由。 1. EF∥AB ΔOEF∽ΔOAB 2.EF∥CD ΔOEF∽ΔOCD 三角形相似具有传递性! 3.AB∥CD ΔOAB∽ΔOCD ΔOEF∽ΔOAB ΔOEF∽ΔOCD 或： ΔOAB∽ΔOCD

练习： 2、如图, 已知DE∥BC,DF∥AC,请尽可能多地找出图中的相似三角形，并说明理由。 1. DE∥BC ΔADE∽ΔABC ΔDBF∽ΔABC 三角形相似具有传递性! ΔADE∽ΔABC ΔDBF∽ΔABC 3. ΔADE∽ΔDBF

这是两个极具代表性的 相似三角形基本模型：“A”型和“X” 型 B D A C E 这个两个模型在今后学习的过程中作用很大,你可要认真噢！

平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交。所构成的三角形与原三角形相似。 相似三角形判定的预备定理： 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交。所构成的三角形与原三角形相似。 D A B C E ∵ DE∥BC ∴△ADE∽△ABC

如图，△ABC 中，DE∥BC，GF∥AB，DE、ＧＦ交于点Ｏ，则图中与△ABC相似的三角形共有多少个?请你写出来. O 解： 与△ABC相似的三角形有3个:　　 △AＤＥ　 △ＧＦＣ　 △ＧＯＥ

运用 1：4 如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC， （1）请找出图中所有的相似三角形； （2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_____。 △ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC 1：4 A B C D E F G H I

练一练1 1如图 已知DE∥BC ∥AC,请尽可能多地找出图中的相似三角形，并说明理由。 A B C D F E A B C D F E G 观察

2.如图，G是ABCD的CD延长线上一点，连结BC交对角线AC于E，交AD于F，则： (1)图中与△AEF相似的三角形有___。 (2)图中与△ABC相似的三角形有___。 (3)图中与△GFD相似的三角形____。

6、如图，在△ABC中，∠C的平分线交AB于D，过点D作DE∥BC交AC于E，若AD:DB=3:2，则EC:BC=______。 5、如图，在 ABCD中，E是边BC上的一点，且BE:EC=3:2，连接AE、BD交于点F，则BE:AD=_____，BF:FD=_____。 3:5 A B C D E F 3:5 6、如图，在△ABC中，∠C的平分线交AB于D，过点D作DE∥BC交AC于E，若AD:DB=3:2，则EC:BC=______。 A B C E D 3:5

7．如图，DE∥BC， （1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值； （2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长．

8．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．

拓展提高： 9.梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2DC， E,F为中点. 求证：（1）△EDM∽△FBM； (2) BD=9，求BM的长

10.已知EF∥BC,求证:

11.已知EF∥BC,FG∥DC, 求证:

12.已知DE∥BC,EF∥CD, 求证:

13:如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连结AE交CD于F，则图中共有相似三角形（ ）

谈谈你的收获吧……

相似三角形判定方法 总结反思 1、(定义)三组对应边的比相等且对应角相等； 2、（预备定理）平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。

练习： 1、若 BF=3,CF=2,AD=1.5,DF=6,你能求出线段AE的长度吗？ 解： ∵DE∥BC,DF∥AC 3 2 1.5 6 ∴四边形DFCE为平行四边形 2 ∴FC=DE=2，EC=DF=6 6 ∵DF∥AC ∴△BDF∽△BAC ∴ ∴ ∴AE=AC-CE=10-6=4 ∴ AC=10 学生书写

练习： 2份 5份 3份 2、 如图：在△ABC中，点M是BC上 任一点， MD∥AC，ME∥AB， 若 求 的值。 = ， BD AB 若 求 的值。 = ， BD AB EC AC 2 5 A B C M D E 解：∵MD∥AC， ∴△BDM∽△BAC 2份 5份 3份 ∴ = = ， BD BA 2 5 BM BC = 3 5 MC BC 又∵ ME∥AB， ∴△CEM∽△CAB ∴ = CE CA CM CB 3 5 =

祝同学们学习进步！ 再 见