現在我們想要以最少性質來描述這些特殊的四邊形，形成它們的「定義」，進而探討它們之間的包含關係。 圖形的包含關係 我們透過推理的方式證明了正方形、長方形、平行四邊形與菱形等特殊四邊形的邊角關係以及它們的對角線性質，但是並未對這些圖形之間的關係進一步的討論。 現在我們想要以最少性質來描述這些特殊的四邊形，形成它們的「定義」，進而探討它們之間的包含關係。 動畫編輯手1 討論問題 根據動畫中三人的說法，請問何者比較符合原先所擬的辦法呢？為什麼？請提出你的理由。

電腦社招募新社員須符合以下條件： 只要符合條件2、5、6、7、8就可以了。 1.英文80分以上 2.數學80分以上 3.會中文打字 圖形的包含關係 只要符合條件2、5、6、7、8就可以了。 電腦社招募新社員須符合以下條件： 1.英文80分以上 2.數學80分以上 3.會中文打字 4.會上網瀏覽 5.語文每科80分以上 6.數理每科85分以上 7.會中英文輸入法 8.會製作電腦網頁 歡迎大家踴躍報名！ 分析 「會製作電腦網頁」的人，他的中、英文打字與輸入法應該不是問題； 「數理每科85分以上」的人，其數學成績當然會在80分以上； 「語文每科80分以上」的人，其英文成績也必在80分以上； 所以我們可以刪除 2 和 7 的條件

只符合「數學成績80分以上」和「會製作電腦網頁」應該也可以。 圖形的包含關係 只符合「數學成績80分以上」和「會製作電腦網頁」應該也可以。 電腦社招募新社員須符合以下條件： 1.英文80分以上 2.數學80分以上 3.會中文打字 4.會上網瀏覽 5.語文每科80分以上 6.數理每科85分以上 7.會中英文輸入法 8.會製作電腦網頁 歡迎大家踴躍報名！ 分析 可能會招收到一些語文程度不好的社員，所以條件是不夠的。

電腦社招募新社員須符合以下條件： 根據以上的討論，如果多選用一個條件，則顯得多餘，但少選用一個條件，則又不夠充分。 1.英文80分以上 圖形的包含關係 根據以上的討論，如果多選用一個條件，則顯得多餘，但少選用一個條件，則又不夠充分。 電腦社招募新社員須符合以下條件： 1.英文80分以上 2.數學80分以上 3.會中文打字 4.會上網瀏覽 5.語文每科80分以上 6.數理每科85分以上 7.會中英文輸入法 8.會製作電腦網頁 歡迎大家踴躍報名！ 因此在所列的條件中，我們只要選用 5.語文每科80分以上 6.數理每科85分以上 8.會製作電腦網頁 這三個條件即可涵蓋其他的條件，而足夠當做電腦社招募新會員的條件。 活動心得 「如何以最少的條件、精簡的方法來描述一件事情」，並能了解「條件與條件之間的充分性」。

我們都知道「有兩組對邊平行的四邊形為平行四邊形」， 圖形的包含關係 我們都知道「有兩組對邊平行的四邊形為平行四邊形」， 我們已證明平行四邊形具有 「兩組對邊等長」和「兩組對角相等」的性質； 也證明了「有兩組對邊等長的四邊形是平行四邊形」或「兩組對角相等的四邊形是平行四邊形」 討論問題 1.兩組對邊平行的四邊形，其兩組對角會相等嗎？ 會 2.兩組對角相等的四邊形，其兩組對邊會平行嗎？ 會 3.兩組對邊相等的四邊形，其兩組對邊會平行嗎？ 會 會 4.兩組對邊相等的四邊形，其兩組對角會相等嗎？ 5.兩組對角相等的四邊形，其兩組對邊會相等嗎？ 會

『以最少的條件，精簡的方法來描述一件事情』 圖形的包含關係 因此對平行四邊形而言，「兩組對邊平行」、「兩組對邊等長」和「兩組對角相等」這三個性質是可以互相推得的。 兩組對邊平行 兩組對邊等長 兩組對角相等 事實上，平行四邊形的性質不只這些，但這三個性質中的任何一個，都足以拿來描述一個平行四邊形並當作它的「定義」。 『以最少的條件，精簡的方法來描述一件事情』 不過若以「兩組對邊平行」作為平行四邊形的定義，在描述上不但是充分，而且是最直觀的，所以是最恰當。

我們是否可以用更少的性質來描述一個正方形呢？ 圖形的包含關係 正方形具有很多的性質。 從圖形本身直觀來看，會有哪些性質呢？ 1.兩組對邊平行 2.兩組對邊等長 3.兩組對角相等 4.四邊等長 5.四個內角均為直角 其它性質等等 我們是否可以用更少的性質來描述一個正方形呢？

1.「四邊等長」的四邊形是否具有上述的性質1、2、3？為什麼？ 圖形的包含關係 1.兩組對邊平行 2.兩組對邊等長 3.兩組對角相等 4.四邊等長 5.四個內角均為直角 討論問題 1.「四邊等長」的四邊形是否具有上述的性質1、2、3？為什麼？ 四邊等長的四邊形當然兩邊等長，所以可推得性質1、2、3。 2.「四個內角均為直角」的四邊形是否具有上述的性質1、2、3？為什麼？ 四個直角的四邊形，兩組對角也必相等，所以可推得性質1、2、3。 3.根據1、2，用「四邊等長」和「四個內角均為直角」這兩個性質是不是可以充分描述正方形呢？ 是

4.如果只用「四邊等長」來描述正方形是不是足夠呢？為什麼？ 圖形的包含關係 4.如果只用「四邊等長」來描述正方形是不是足夠呢？為什麼？ 不夠；四邊等長的四邊形有可能是菱形，其四個內角不一定是直角，所以不一定是正方形，也就是說，條件不充分。 5.如果只用「四個內角均為直角」來描述正方形是不是足夠呢？為什麼？ 不夠；四個直角的四邊形有可能是長方形，其四個邊不一定等長，所以不一定是正方形，也就是說，條件不充分。 從以上討論，不論是具有「四邊等長」或是「四個內角均為直角」的四邊形都會有「兩組對邊等長、兩組對角相等、兩組對邊平行」的性質。

菱形 長方形 但是，根據我們過去所學的， 只具有「四邊等長」的四邊形是 只具有「四個內角均為直角」的四邊形 是 圖形的包含關係 但是，根據我們過去所學的， 只具有「四邊等長」的四邊形是 菱形 只具有「四個內角均為直角」的四邊形 是 長方形 所以只用「四個邊等長」或是只用「四個內角均為直角」來描述一個四邊形為正方形是不夠充分的， 至少必須同時具有「四邊等長」及「四個內角均為直角」才能確定是正方形。

平行四邊形 長方形 菱形 正方形 綜合以上的說明，我們以最少性質描述一些特殊的四邊形，並以此作為它們的定義： 1.兩組對邊平行的四邊形為 圖形的包含關係 綜合以上的說明，我們以最少性質描述一些特殊的四邊形，並以此作為它們的定義： 1.兩組對邊平行的四邊形為 平行四邊形 2.有四個直角的四邊形為 長方形 3.四邊等長的四邊形為 菱形 4.四邊等長和四個直角的四邊形為 正方形

請根據所給定的邊角數據，判斷下圖的兩個四邊形分別是哪一種四邊形？ 圖形的包含關係 例題1 請根據所給定的邊角數據，判斷下圖的兩個四邊形分別是哪一種四邊形？ 3 3 (A) (B) 已知有三個內角是直角，故可推知第四個內角也必是直角，所以「有四個直角的四邊形為長方形」。 已知有三個內角是直角，故可推知第四個內角也必是直角，又兩鄰邊等長，故可推知四邊均相等，所以「四邊等長和有四個直角的四邊形為正方形」。

請根據所給定的邊角數據，判斷下圖的兩個四邊形分別是哪一種四邊形？ 圖形的包含關係 隨堂練習 請根據所給定的邊角數據，判斷下圖的兩個四邊形分別是哪一種四邊形？ 920 880 (B) 870 930 4 (A) (A)第四個內角為 3600－870－930－930＝870；又兩鄰邊等長，故可推知四邊均相等，所以「四邊相等的四邊形為菱形」。 (B)第四個內角為 3600－880－920－920＝880；故兩組對角相等，可推知兩組對邊平行，所以「兩組對邊平行的四邊形為平行四邊形」。

若一菱形有一個內角是直角，請問它會是哪一種四邊形？為什麼？ 圖形的包含關係 例題2 若一菱形有一個內角是直角，請問它會是哪一種四邊形？為什麼？ 因為菱形具有「四邊等長」的性質，故可推得 「兩組對角相等」 如果其中有一內角是直角，則可推得 「四個內角均為直角」 根據正方形的定義 「四邊等長和有四個直角的四邊形為正方形」 故可得知，若一菱形中有一內角是直角，則此菱形便會是正方形 GSP

若一長方形中至少有一組鄰邊等長，請問它會是哪一種四邊形？為什麼？ 圖形的包含關係 隨堂練習 若一長方形中至少有一組鄰邊等長，請問它會是哪一種四邊形？為什麼？ 因為長方形具有「四個直角」，故「兩組對角相等」，所以可推得 「兩組對邊等長」 現又一組鄰邊等長，則可推得 「四邊皆等長」 根據正方形的定義 「四邊等長和有四個直角的四邊形」 故可得知，若一長方形中至少有一組鄰邊等長，則此長方形會是正方形。 GSP

除了四邊形以外，對於生活中的一些特殊圖形，我們也可以學習用最少的性質來描述。 圖形的包含關係 除了四邊形以外，對於生活中的一些特殊圖形，我們也可以學習用最少的性質來描述。 例題3 袁太請小梅從圖鑑中幫忙找一種特別的窗形圖案，並提出這種窗形圖案的許多特徵： 小梅，麻煩妳幫我找一種特別的窗形圖案，它必須有以下的條件： (1)由三邊直線段和一個半圓弧組成。 (2)一組對邊等長。 (3)一組對邊平行。 (4)兩個角。 (5)半圓直徑和底邊等長。 (6)一組鄰角互補。 (7)兩個直角。

(1)請問上面的圖案中，有哪些符合袁太的條件？ 圖形的包含關係 (1)由三邊直線段和一個半圓弧組成。 (4)兩個角。 (7)兩個直角。 (2)一組對邊等長。 (5)半圓直徑和底邊等長。 (3)一組對邊平行。 (6)一組鄰角互補。 小梅大略地找出下面的圖案： (B) (C) (D) (E) (A) (G) (F) (1)請問上面的圖案中，有哪些符合袁太的條件？ 只有(E) 、(F)都符合袁太的條件；(A) 、(B) 、(C)對邊沒有平行或兩個直角， (G)對邊不等長，所以不是袁太所要的圖案。

(2)請用最少的特徵來描述袁太所要的圖形。 圖形的包含關係 (1)由三邊直線段和一個半圓弧組成。 (2)一組對邊等長。 (E) (3)一組對邊平行。 (4)兩個角。 (F) (5)半圓直徑和底邊等長。 (6)一組鄰角互補。 (7)兩個直角。 (2)請用最少的特徵來描述袁太所要的圖形。 有兩個角 因為由兩個直角 一組鄰角互補 一組對邊平行 所以袁太想要的圖案最少特徵為 「具有三邊直線段及一個半圓弧，且其中一組對邊等長，兩個直角的窗形圖案。」

將下圖視為同一類型的窗形圖案，請用最少的特徵來描述它們。 圖形的包含關係 隨堂練習 將下圖視為同一類型的窗形圖案，請用最少的特徵來描述它們。 「具有三邊線段、一個半圓弧、其中一組對邊平行且等長」的窗形圖案。

在電腦社招生的活動中，我們可以將袁太所擬的招募條件簡化成「語文每科80分以上」、「數理每科85分以上」與「會製作電腦網頁」三項。 圖形的包含關係 圖形的包含關係 在電腦社招生的活動中，我們可以將袁太所擬的招募條件簡化成「語文每科80分以上」、「數理每科85分以上」與「會製作電腦網頁」三項。 現有甲、乙、丙三人前來報名，他們的條件如下： 甲生 乙生 丙生 英文75分 數理每科均在85分以上 會製作電腦網頁 語文每科均在80分以上 會寫Java程式 請問哪幾位有資格參加電腦社呢？ 編輯手圖形包含關係2

探索活動 下面為一些特殊四邊形的性質表，請勾選出該四邊形所具有的性質。 四邊形 性質 平行四邊形 長方形 正方形 菱形 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 圖形的包含關係 探索活動 下面為一些特殊四邊形的性質表，請勾選出該四邊形所具有的性質。 四邊形 性質 平行四邊形 長方形 正方形 菱形 兩組對邊平行 兩組對邊等長 兩組對角相等 四 邊 等 長 四 個 直 角 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

四邊形 性質 平行四邊形 長方形 正方形 菱形 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 兩組對邊平行 兩組對邊等長 圖形的包含關係 四邊形 性質 平行四邊形 長方形 正方形 菱形 兩組對邊平行 兩組對邊等長 兩組對角相等 四 邊 等 長 四 個 直 角 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 長方形、正方形、和菱形都具有「兩組對邊平行」的性質，都符合平行四邊形的定義，所以它們都是平行四邊形。 正方形具有「四個直角」的性質，符合長方形的定義，所以正方形也是長方形的一種。 正方形也具有「四邊等長」的性質，符合菱形的定義，所以正方形也是菱形的一種。

請根據所給定的邊角數據，判斷下圖中哪些圖形是長方形？ 圖形的包含關係 例題4 請根據所給定的邊角數據，判斷下圖中哪些圖形是長方形？ 2.7 2.7 2.5 (A) (B) (C) (D) (E) 根據長方形的定義「有四個直角的四邊形為長方形」，所以可推得(A) 、(B) 、(C) 、(E)均為長方形。 因為 (A)已有三個直角，所以第四個內角必為直角。 (B)因為同側內角互補(900＋900＝1800) ，所以對邊平行，又此組對邊等長，故必為平行四邊形，又已有兩個直角，所以四個內角必為直角。 (C)理由同(B)會有四個直角。 (D)內角並非直角，所以不是長方形。 (E)四邊等長，所以是為菱形，又已知一內角900，所以四個角必為直角。

動動腦 (C) (E) 有人把圖(C)和圖(E)的四邊形叫做長方形，你覺得恰當嗎？為什麼？ 圖形的包含關係 動動腦 (C) 2.7 (E) 2.5 有人把圖(C)和圖(E)的四邊形叫做長方形，你覺得恰當嗎？為什麼？ 可以，因為正方形具有四個直角，符合長方形的定義，所以正方形也可以算是長方形的一種。但為了達到更精確的溝通，稱為正方形較為恰當

請根據所給定的邊角數據，判斷下圖中哪些圖形是菱形？ 圖形的包含關係 隨堂練習 請根據所給定的邊角數據，判斷下圖中哪些圖形是菱形？ (A) (B) (C) (D) 圖(A) 、(C) 、(D)均可推得該四邊形中四邊等長，故圖(A) 、(C) 、(D)為菱形。

綜合前面的說明，我們可以用下圖來表示平行四邊形、長方形、菱形、和正方形等圖形之間的「包含關係」。 圖形的包含關係 綜合前面的說明，我們可以用下圖來表示平行四邊形、長方形、菱形、和正方形等圖形之間的「包含關係」。 平行四邊形 長方形 菱形 正方形 從上圖中，可以明顯看出正方形包含於長方形之中，所以正方形是長方形的一種； 同理，正方形也包含於菱形之中，故正方形也 是菱形的一種； 而不論正方形、長方形或菱形，它們均包含於 平行四邊形之中， 也就是說，正方形、長方形、菱形都是平行四邊形的一種。

當我們了解正方形、長方形、菱形和平行四邊形之間的包含關係後，便可以利用這種「包含關係」來進行幾何推理。 圖形的包含關係 當我們了解正方形、長方形、菱形和平行四邊形之間的包含關係後，便可以利用這種「包含關係」來進行幾何推理。 我們知道一些四邊形的對角線性質如下： 例題5 (1)平行四邊形的兩對角線會 。 互相平分 (2)長方形的兩對角線會 。 互相平分且等長 (3)菱形的兩對角線會 。 互相平分且垂直 在下面的五個四邊形中，請根據所給定的邊角數據，判斷它們的兩條對角線具有哪些性質，並完成下表。 3 2.8 1200 600 5 6.3 2.5 3

(A)因為一組對邊平行(同側內角互補)且等長，又有兩個直角，所以可推得是長方形，故對角線互相平分且等長。 圖形的包含關係 3 (A) 2.8 (E) 1200 600 5 (C) 6.3 2.5 (D) 3 (B) (A) (B) (C) (D) (E) 互相平分 等長 互相垂直 圖形編號 對角線性質 ˇ ˇ (A)因為一組對邊平行(同側內角互補)且等長，又有兩個直角，所以可推得是長方形，故對角線互相平分且等長。

(C)因為一組對邊平行且等長，故為平行四邊形所以對角線互相平分。 圖形的包含關係 (A) (B) (C) (D) (E) 互相平分 等長 互相垂直 圖形編號 對角線性質 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 3 (B) (B)因為四邊等長，故為菱形。又有一個直角，所以可推得四個內角均為直角，所以是正方形，因為正方形既是菱形，也是長方形，故對角線會互相平分、等長且垂直。 1200 600 5 (C) (C)因為一組對邊平行且等長，故為平行四邊形所以對角線互相平分。

(D)因為兩組對邊等長，故為平行四邊形，又有一個直角，則可推得四個內角均為直角，所以是長方形，故對角線互相平分且等長。 圖形的包含關係 (A) (B) (C) (D) (E) 互相平分 等長 互相垂直 圖形編號 對角線性質 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 6.3 2.5 (D) (D)因為兩組對邊等長，故為平行四邊形，又有一個直角，則可推得四個內角均為直角，所以是長方形，故對角線互相平分且等長。 2.8 (E) (E)因為四邊等長，故為菱形，所以對角線互相平分且垂直。

討論問題 請討論下列敘述是否正確。如果不正確，請說明理由。 (1)若某四邊形為長方形，則此四邊形的兩對角線會互相平分。 ˇ 圖形的包含關係 討論問題 請討論下列敘述是否正確。如果不正確，請說明理由。 (1)若某四邊形為長方形，則此四邊形的兩對角線會互相平分。 ˇ □ 正確 □ 不正確，理由： (2)若某四邊形的兩對角線互相平分，則此四邊形為長方形。 □ 正確 □ 不正確，理由： ˇ 可能是平行四邊形 (3)若某四邊形為菱形，則此四邊形的兩對角線會互相垂直。 ˇ □ 正確 □ 不正確，理由： (4)若某四邊形的兩對角線互相垂直，則此四邊形為菱形。 □ 正確 □ 不正確，理由： ˇ 只是對角線垂直，不一定是菱形 如右上圖。

由討論問題中，我們知道「長方形的兩條對角線會互相平分」，但是「兩對角線互相平分的四邊形不全是長方形」，如下圖： 圖形的包含關係 由討論問題中，我們知道「長方形的兩條對角線會互相平分」，但是「兩對角線互相平分的四邊形不全是長方形」，如下圖： 這兩個四邊形其對角線皆互相平分，但不一定是長方形。 又「菱形的兩條對角線會互相垂直」但是「兩對角線互相垂直的四邊形不全為菱形」，如下圖： 這兩個四邊形其對角線皆互相垂直，但不見得就是菱形。 通常在數學上，我們將一個能判斷真或偽的敘述稱為「命題」。 由以上例題你能察覺什麼嗎？ 敘述與逆敘述不一定同時成立

請判斷下列敘述是否正確。如果不正確，請說明理由。 圖形的包含關係 隨堂練習 請判斷下列敘述是否正確。如果不正確，請說明理由。 (1)若兩個三角形全等，則這兩個三角形面積相等。 ˇ □正確 □不正確，理由： (2)若兩個三角形面積相等，則這兩個三角形全等。 □正確 □不正確，理由： ˇ (3)若a＝0，則ab＝0 □正確 □不正確，理由： ˇ 兩三角形同底等高面積相等，但是沒有全等。 (4)若ab＝0，則a＝0 □正確 □不正確，理由： ˇ 若a＝5，b＝0，則ab＝0

已知下圖ABCD為任意四邊形，且E、F、G、H分別為線段AB、線段BC、線段CD、線段DA的中點。 圖形的包含關係 例題6 已知下圖ABCD為任意四邊形，且E、F、G、H分別為線段AB、線段BC、線段CD、線段DA的中點。 A 求證：四邊形EFGH為平行四邊形 E H 問題分析 B D 要證明EFGH為平行四邊形，可先要證明 EH//FG 且 EH＝FG F G C 證明 連接對角線BD 在△ABD中，∵EH為兩腰中點連線 ∴EH//BD，且EH＝ BD 1 2 (根據「三角形兩腰中點連線性質」) 同理，在△BCD中，FG//BD，且FG＝ BD 1 2 ∴EH//FG且EH＝FG，∴四邊形EFGH為平行四邊形 ＃

討論問題 從例題的推導的結果，我們得知「四邊形的四邊中點連線為平行四邊形」是對的，那麼「菱形的四邊中點連線會不會也是平行四邊形呢？」 圖形的包含關係 討論問題 從例題的推導的結果，我們得知「四邊形的四邊中點連線為平行四邊形」是對的，那麼「菱形的四邊中點連線會不會也是平行四邊形呢？」 如果會，那麼我們需不需要再做一次證明呢？請提出你的理由。 因為菱形是四邊形的一種，所以由四邊形所發展出來的性質(四邊形中點連線為平行四邊形)菱形也當然會有，因此無須再做進一步的檢驗或證明。 菱形四邊中點連線是 長方形

承例題及討論問題的結果，下圖中哪些圖形的各邊中點連線也會是平行四邊形？如果真的不能確定，可畫畫看檢驗一下。 圖形的包含關係 隨堂練習 承例題及討論問題的結果，下圖中哪些圖形的各邊中點連線也會是平行四邊形？如果真的不能確定，可畫畫看檢驗一下。 (A) (B) (C) (D) (E) (F) (A) ~ (F)均為四邊形，所以四邊形中點連線均為平行四邊形。

補充說明 「三角形兩腰中點連線性質」 已知：△ABC中，D為AB的中點，E為AC的中點 求證：DE//BC且DE＝ BC 1 2 A B C 圖形的包含關係 補充說明 「三角形兩腰中點連線性質」 已知：△ABC中，D為AB的中點，E為AC的中點 求證：DE//BC且DE＝ BC 1 2 A B C E F D 證明： 在DE的延長線上取一點F 使EF＝DE，並連接DC、AF、CF ∵AE＝EC，DE＝EF ∴ADCF為平行四邊形 (兩對角線互相平分) ∴AD//CF，AD＝CF 又AD＝DB ∴DB＝CF，且DB//CF ∴DBCF為平行四邊形 (一組對邊平行且相等) ∴ DF//BC，DF＝BC DE＝ DF＝ BC 1 2 ∴DE//BC， ＃

已知：ABCD為平行四邊形，O為兩對角線AC、BD的交點。 圖形的包含關係 例題7 已知：ABCD為平行四邊形，O為兩對角線AC、BD的交點。 求證：任意一條通過O點的直線EF，必平分此平行四邊形 的面積。 D F C 從結果到已知 問題分析 O 四邊形ADFE面積＝四邊形BCFE面積 A B E 即四邊形ADFE面積＝四邊形BCFE面積 ＝ ABCD面積 1 2 一對角線將平行四邊形分成兩個全等三角形 △ABD △CDB ∴△ABD面積＝△CDB面積＝ 平行四邊形ABCD面積 1 2 ∴ 四邊形ADFE面積＝四邊形BCFE面積＝△ABD面積

∴四邊形ADFE面積＝△DOF面積＋四邊形ADOE面積 圖形的包含關係 證明 D F C 在△DOF和△BOE中 1 3 ∵ AB//CD ∴∠1＝∠2 (內錯角) O 4 又 OD＝OB (兩對角線互相平分) 2 A B 且∠3＝∠4 (對頂角) E ∴△DOF △BOE (ASA) ∴四邊形ADFE面積＝△DOF面積＋四邊形ADOE面積 ＝△BOE面積＋四邊形ADOE面積 ＝△ABD面積 ∵△ABD＝ 平行四邊形ABCD面積 1 2 (BD為對角線) ∴四邊形ADFE面積＝ 平行四邊形ABCD面積 1 2 同理可證，四邊形BCFE面積＝ 平行四邊形ABCD面積 1 2 ∴四邊形ADFE面積＝四邊形BCFE面積 ＃

承例題7，下圖中哪些圖形也會具有上述的性質？如果真的不能確定，可畫畫看檢驗一下。 圖形的包含關係 隨堂練習 承例題7，下圖中哪些圖形也會具有上述的性質？如果真的不能確定，可畫畫看檢驗一下。 (E) (D) (B) (C) (A) 根據例題7得知，「任意一條通過平行四邊形兩對角線交點的直線，必平分此平行四邊形的面積」。 所以只要檢驗上列圖形是否為平行四邊形即可。 GSP (A)兩組對角相等∴是平行四邊形 (D)一組對角不相等∴不是平行四邊形 (B)一組對邊相等且平行∴是平行四邊形 (C)四個內角是直角∴是長方形 (E)兩組對邊相等∴是平行四邊形

討論問題 在例題7中，我們已證得「任意一條通過平行四邊形兩對角線交點的直線，必平分此平行四邊形的面積」，請問： 圖形的包含關係 討論問題 在例題7中，我們已證得「任意一條通過平行四邊形兩對角線交點的直線，必平分此平行四邊形的面積」，請問： (1)任意一條通過菱形兩對角線交點的直線，會不會平分此菱形的面積呢？如果會，那需不需要再做一次證明呢？說出你的理由。 ∵菱形是平行四邊形的一種 ∴平行四邊形所衍生的性質，菱形也會有，因此無需檢驗或證明就可以確認。 (2)任意一條通過梯形兩對角線交點的直線，會不會平分此梯形的面積呢？ GSP ∵梯形不是平行四邊形 ∴平行四邊形所衍生的性質，梯形不一定會有，因此必須檢驗或證明，進一步確認才行。

圖形的包含關係 自我評量 1.有一個平行四邊形，已知其中至少有一個內角是直角，請問它會是哪一種四邊形呢？為什麼？ 長方形 ∵平行四邊形具有「兩組對角相等」和「鄰角互補」的性質，如果已知有一平行四邊形中至少有一內角為直角，則四個角必都為直角，而有四個直角的平行四邊形必為長方形。 GSP

2.具有下列性質的四邊形，我們稱為「箏形」： 圖形的包含關係 2.具有下列性質的四邊形，我們稱為「箏形」： (1)兩組鄰邊相等 (2)一組對角相等 (3)內角均小於180度 (4)對角線互垂直 (5)至少一條對角線被另一條對角線平分 (6)一條對角線可將它分割成兩個等腰三角形 (7)具有線對稱 (C) (D) (E) (A) (B) (F) (1)上圖(A)~(F)中，有哪些圖形是箏形呢？ (A) 、(C) 、(D) (2)請在上述7條性質中，找出最少的性質來「定義」箏形。 「兩組鄰邊相等」且「內角均小於180度」的四邊形為箏形。

3.有一個四邊形，既是長方形，又是菱形，它會是哪一種四邊形呢？為什麼？ 圖形的包含關係 3.有一個四邊形，既是長方形，又是菱形，它會是哪一種四邊形呢？為什麼？ ∵四邊形是長方形，其必有四個直角； 又為菱形，其四邊必相等。 根據正方形的定義 「四邊等長和有四個直角的四邊形為正方形」 故可得知，若四邊形既是長方形，又是菱形，則此四邊形會是正方形。 4.請判斷下列敘述是否正確。如果不正確，請說明理由。 (1)若菱形具有某種性質R，則正方形也一定具有性質R。 □正確 □不正確 ，理由： ˇ (2)若正方形具有某種性質Q，則菱形也一定具有性質Q。 □正確 □不正確 ，理由： ˇ 正方形具有四個直角，菱形則沒有。

5.如果長方形具有某種性質 p，請問下面哪些四邊形也一定具有這個性質？為什麼？ 圖形的包含關係 5.如果長方形具有某種性質 p，請問下面哪些四邊形也一定具有這個性質？為什麼？ 5 (B) 2.7 (A) 3 (D) (E) (C) (A) ~ (D)均可推得有4個直角，故(A) 、(B) 、(C) 、(D)均為長方形，所以也具有性質 p。