第一章 振动和波动 振动(Vibration):任何一个物理量在某一 定 值附近随时间作反复变化。其中物体位置随时间的变更称为机械振动。 波动（Wave)：振动的传播 2018/11/26 制作：于国伟 吉林大学

内容提要 第一节 简谐振动 第二节 两个简谐振动的合成 第三节 平面简谐波动 第四节 两个平面简谐波动的合成 2018/11/26 制作：于国伟 吉林大学

第一节 简谐振动 简谐振动的基本特征 简谐振动的方程 简谐振动的矢量图解法 简谐振动的能量 2018/11/26 制作：于国伟 吉林大学

一 简谐振动的基本特征 2:24 运动的形式: 受力的形式:弹性力（回复力)

例一 直径d的U形管，装有质量为m的液体,若液 体一个小的初始位移，液体在管中作微振 动，这种振动是否是简谐振动 . 是简谐振动

二 简谐振动的方程

方程的建立 o x k m 平衡位置 o F x k m 弹簧伸长 o x F k m 弹簧压缩 图1-2

公式的推导 令 得到简谐振动的微分方程：

其解为： 位移 利用速度和加速度的数学定义，可得： 速度 加速度

a V x t 简谐振动的位移、速度和加速度的函数曲线

A 是物体离开平衡位置的最大幅度-----振幅，A 的大小由弹簧振子的初始状态决定。单位 m 振动方程中参数的物理意义 A 的物理意义: A 是物体离开平衡位置的最大幅度-----振幅，A 的大小由弹簧振子的初始状态决定。单位 m ω的物理意义,分三步分析 （1）T 的引入

ω的大小由弹簧振子的固有性质决定。单位弧度/秒 T 表示完成一次完整振动所需要的时 间-----周期，T 的大小由弹簧振子的固有性质决定。单位 （2） υ的引入 υ表示在单位时间内完成整振动的次数------频率， υ 的大小由弹簧振子的固有性质决定。单位Hz （3） ω的引入 ω表示在2π 秒内完成整振动的次数-------角频率（圆频率）， ω的大小由弹簧振子的固有性质决定。单位弧度/秒

固有角频率 固有频率 固有周期

的物理意义： 我们称 为位相。则 表示初始时刻的位相-----初 位相， 的大小由弹簧振子的初始状态决定。单位rad. 取 值范围 求 方法： ①已知

②已知

例二 已知某简谐振动的振动曲线如图所示， 试写出该振动的简谐振动方程。 解 从图中可以看出, 求振动方程需分三步： （1）求A 解 从图中可以看出, 求振动方程需分三步： （1）求A 从图中可以看出

（2）求 （3）求

例三 如图，一长为L的弹簧上端固定，下端挂一 重物后长度变(L+S)，并仍在弹性限度之内。 若将重物向上托起，使弹簧缩回原来的长度， 然后放手，重物将作上下运动。 （1）证明重物的运动是简谐振动。 L S 解 是简谐振动。

（2）求 x S L F mg 解 且 静止放手 代入

（3）若以放手时开始计时，求简谐振动方程 解 将初始条件代入上式：

三 简谐振动的矢量图解法

简谐振动可以用一个旋转矢量描绘。 矢量的长度代表振幅 矢量逆时针旋转的角速度代表角频率 矢量在初始时刻与x轴的角度代表初位相 矢量在任一时刻与x轴的角度代表位相

矢量在x轴投影 t w A t = 0 t = t x o

例四 一物体作简谐振动，振幅为15cm,频 率为4Hz,求物体从平衡位置运动到 x=+12cm (且向x轴正向运动）处，所需的最短时间。 解：用矢量图解法 平衡位置有两个 a 15cm d x 12cm c b o

X=+12cm 位置有两个 c X=+12cm v>0 d X=+12cm v<0 有四个时间 其中最短时间为

四 简谐振动的能量 总能量=振子的动能+弹簧的势能 其中

系统的动能 Ek随时间周期性变化 系统的势能 Ep 随时间周期性变化 系统的总机械能与时间变化无关，即简谐振动的总能量守恒

例五 一长度为L的无弹性细线，一端固定在A 点，另一端悬挂一质 量为m、体积很小的 物体。静止时，细线沿竖直方向，物体处 于点O，这是振动系统的平衡位置，如 图。若将物体移离平衡位置，使细线与竖 直方向夹一小角θ ，然后将物体静止释 放，物体就在平衡位置附近 往返摆动起 来。这种装置称为单摆。证明单摆的振动 是简谐振动，并分析其能量。

h mg f A O

本讲小结 简谐振动方程 初位相的求解 振动能量守恒 2018/11/26 制作：于国伟 吉林大学

作业一 直径d=1.2cm的U形管装有质量m=624g水银，使水银在管中作 微振动，试求其振动周期（水银密度 ，水银与U 形管摩擦忽略不计）。（答案：0.9s）

作业二 根据图中所示位移时间曲线，分别 写出这两个振动的表达式。 （答案： ） x A/2 o t 1 (a) x A o 1 t (b)

作业三 一弹簧悬挂10g砝码伸长8cm,现将这根弹簧下悬挂25g 的物体， 使它做自由振动，按下列情况分别求其振动 方程。 （答案：x=4cos7t）

(2)开始时，物体在平衡位置，给以向上21cm/s的初速度，同时开始计时。 （答案：x=3cos(7t+π/2)） (3)把物体从平衡位置拉下4cm后，又给以向上21cm/s的初速度，同时开始计时。（答案:x=5cos(7t+ 370 ) ）

作业四 在半径为R的半球形碗中有一小球质量为m，若将小球移开一个很小的位移，放开令其运动，求证小球做简谐振动，并求其振动周期

第二节 两个简谐振动的合成 2018/11/26 制作：于国伟 吉林大学

本节主要内容 （1）两个简谐振动的步调比较. （2）两个同方向、同频率的简谐振动的合成 ------简谐振动. （3）两个同方向、频率近似相等的简谐振动的合成 ---------- 拍现象。 （4）两个方向互相垂直、频率成简单整数比的 简谐振动的合成 -----------李萨如图形。

两个简谐振动的步调比较 同相：若两个简谐振动的频率相同、 初位相相同，则两个简谐振动同时达到最大和最小。 x t1 t2 t3 t4 1 2

反相：若两个简谐振动的频率相同、 初位相相差π，则一个振动达到最大 时，另一个振动却是最小。 x t 1 2 t1 t2 t3 t4

超前与落后：若两个简谐振动的 频率相同，初位相之差为 则称2振动超前1振动，也称1振动落后2振动。 x t 2 1

两个同方向、同频率的简 谐振动的合成------简谐振动 两个同方向、同频率的简 谐振动的合成------简谐振动 已知两个同方向、同频率的简谐振动方程为： k m

k m

用矢量图示法求得合成结果： j 01 j 02 j x2 x1 x M2 M1 M A A1 A2 P w X O 如图：

代入X,Y的表达式

A值的讨论，有三种情况：

j 01 j 02 j x2 x1 X M2 M1 M A A1 A2 P x O y2 y1 Y

例六 已知一个质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动,求合振动的方程。 解：设合振动的方程为

也可以用矢量图解法直接看出： A A1=0.05 A2=0.06 x

两个同方向、频率近似相等的 简谐振动的合成 ---------- 拍现象 两个同方向、频率近似相等的 简谐振动的合成 ---------- 拍现象 已知两个同方向、频率近似相等（ω1和ω2都很大）的 简谐振动，若设初位相相等，振幅相等，则： m

t=0时刻 A A2 A1 M2 M1 M A A1 A2 w X O ω1t ω2t ωt t时刻(设 ω2 > ω1 )

某一时刻 t 以后

可以看出，合振动x出现振幅时大时小、时强时弱的现象------拍 从角度可分析： 将A与ωt表达式代入 可以看出，合振动x出现振幅时大时小、时强时弱的现象------拍

因为ω1和ω2都很大，且差值很小，所 以有： 则有: 随时间变化比 慢得多!! 可以将拍看成以 为振幅， 以 为圆频率的简谐振动。

是拍振动时振幅周期性变化的频率------拍频 ∵函数 变化周期为π 是拍振动时振幅周期性变化的频率------拍频

x1 t x2 t x1+ x2 t

拍的视频演示 40s

两个方向互相垂直、频率成简单整数 比的简谐振动的合成------李萨如图形。 两个方向互相垂直、频率成简单整数 比的简谐振动的合成------李萨如图形。 若两个弹簧的劲度系数都是k,则 k m 利用消元法消去变量t，得方程：

讨论 同相，1、3象限振动 反相，2、4象限振动

Y超前π/2 Y落后π/2 右旋振动 左旋振动

例七 一质点同时参与相互垂直的两个振动： 请你画出合振动运动轨迹图。 解： ∵Y落后π/2，左旋振动 ∴画一个2A*2B的矩形，内切 画椭圆，标出左旋箭头即可

若频率不相等，但是整数比，则合振动的轨迹 是有规则的稳定的闭合曲线-------李萨如图形。 49s

例八 在示波器Y端输入一个简谐振动信号 ，同时在X端输入 另一个未知频率的简谐振动信号，在 示波器显示屏上出现合成结果的图 形，见右图。求 解：

本讲小结 同方向 简谐振动 拍 同方向 李萨如图 垂直方向

作业一 两物体作简谐振动，它们的振幅和周期分别是10cm 和2s。当t=0时，它们的位移分别为10cm和-10cm，二 者的位相差是多少？是同相还是反相？当t=1s时，它们 的位移各是多少？

作业二 已知 两个振动方向相同的简谐振动： 其中x、t的单位采用SI制。 求（1）合振动的振幅和周期。

（2）另有一同方向的简谐振动 问α何值时， 的振幅最大， 的振幅最小。

作业三 两个同频、同向的简谐振动合成后的振幅0.10m， 合振动与第一分振动的位相差为π/6，若后者振幅 A1 = 0.080m ，求第二分振动的振幅以及第一、第二 两个分振动的位相差。

第三节 简谐波 2018/11/26 制作：于国伟 吉林大学

本节内容 一、关于简谐波的一些概念 二、波动方程 三、波的能量、波强 四、波的衰减

一、关于简谐波的一些概念 （1）机械波产生和传播的条件： 波源 弹性介质 振动是波动的基础，波动是振动的传播 波形传播只是现象，振动传播才是实质，能量传播是度量

（2）简谐波的分类： ①由质点振动方向与波传播方向的 关系可分为：横波、纵波. 76s

② 按波源的性质可分为： 机械波(如声波、次声波、超声 波等)、 电磁波(如可见光、无线电波、红外线…) ③ 由波传播的空间分为： 一维波、二维波(水面波)、三维波(声波、光波)； ④ 根据波的波振面形状分为： 平面波、球面波、椭球面波等。

⑤ 根据波传播期间的行为可分为： 1、脉冲波， 2、 波列 ， 3、周期性波列

（3）描述简谐波的三个物理量 a.波频（υ）——波源的简谐振动的频率；单位时间内通过某点的完整波数目，单位 Hz b.波长（λ） ——在周期T时间内同一振动状态传播的距离；两个相邻的振动状态相同点（位相差为2π的两点）之间的距离；两相邻波峰或波谷之间的距离，单位m。 c.波速（u） ——单位时间内，任一振动状态传播的距离；波面、波形前进的速度，单位m/s。（不是质点的振动速度） 波速的大小与介质有关 波速的大小与温度有关 例如：声速

三个物理量的关系 重要结论：

例九 在同一种介质中传播着两列不同频率的简谐波. （1）它们的波长是否可能相等？为什么？ 答：不可能相等。

（2）如果这两列波分别在两种介质中传播，它们的波长是否可能相等，为什么？ 答：可能 介质不同，则：

（4）简谐波的几何描述 为了形象的描述简谐波在空间的传播，引入了几何的线和面： 波线-------从波源沿各传播方向所画的带箭头的线 波面-------波在传播过程中，所有振动位相相同的点连成的面 波线垂直波面，有两种特殊的波面：球面、平面。 波线 波面 平面波 波线 波面 球面波

演 示

（5）简谐波遵从的基本原理 a.叠加原理------在相遇的区域内的某一质点的振动是各列波在该质点所引起的振动的合成。 b.惠更斯原理------波所到之处各点都可以看作是发射子波的波源，在以后任一时刻，这些子波的包络就是在该时刻的波面。

二、一维平面简谐波的波动方程

波动方程的建立 Y x p u o

由P点的任意性得波动方程： 重要结论： O点为已知振动状态 波动方程的其它形式

Y x u a o a点为已知点 x Y u a o

波动方程的物理意义 x=x0 Y t 振动曲线 o 若x=x0 摄像,特写 若t=t0 照相,全体照 Y x 波形曲线 t=t0 o

若 x、t都不确定 摄像、全体摄像 Y x o t t+Δt

例十 有一列平面简谐波，坐标原点按照 的规律 振动。已知A=0.10m，T=0.50s，λ=10m，试求： （1）波动方程。 有一列平面简谐波，坐标原点按照 的规律 振动。已知A=0.10m，T=0.50s，λ=10m，试求： （1）波动方程。 选x轴与u方向相同，则

（2）波线上相距2.5m的两点的位相

（3）假如t=0时处于坐标原点的质点的振动位移为y0=+0.050m，且向平衡位置运动，求初位相和波动方程 o y x 0.05 解： 得波动方程

例十一 如图，一沿x轴正向传播的平面余弦波，在 t=0时的波形，其波动方程可表示为 求0、2、3三个 点的初位相 Y x 1 2 3 A u t=0 t>0 解：0点 ：Y0=0 v0<0 x=0 t=0 代入方程 得波动方程

2点 Y0=0 v0>0 t=0 代入波动方程 3点 Y0= -A/2 v0>0 t=0代入波动方程 Y x 1 2 3 A A/2 u

三、波的能量、波强

波的能量 载波的质点不随波逐流，向前传播的是振源 的振动状态和能量，波到达的地方，媒质振动、发生 变形，因而使体积元△V（体积很小）内的媒质具有动 能和弹性势能。

经数学推导动能与势能相等 总能量 t E Em Em =ρ △V A2ω2

能量密度 平均能量密度

波强 表示单位时间内流过单位面积的能量 定义 单位 瓦特/米2

证明 u 能量 S 重要结论： 波强与A2成正比 t时间间隔内通过截面S的波动总能量：

讨论： 1、平面余弦波 s u 1 2 通过两个面的平均能量分别为： 1 2 A = 若 则有：

2、球面波 r1 r2 若 得

设半径为单位长度的球面上振幅 为 a ，半径为 r 的球面上振幅为 A ，则： A=a/r 相应的球面波的波函数为：

四、波的衰减 机械波传播时，强度随距离的增大而减小，振幅A也随之减小，此现象即为波的衰减。 衰减原因有： 1、吸收衰减：由于介质的粘滞性（内摩擦性）或其他原因，波的能量转为其他形式的能量，如热能。 2、扩散衰减：如由于波的扩散，波的能量虽不减少，但强度在其行进方向上减弱。 3、散射衰减等等。 首先讨论： ①由于吸收而引起平面波的衰减 (不考虑发散、反射等) ：

①平面波的吸收衰减 I’ X x x+dx I0 I 增量 dI=I’－I，dI为负值 x+dx 增量 dI=I’－I，dI为负值 实验表明： －dI与入射波强度I 及该层媒质的厚度dx 成正比。 即： －dI = μI dx μ称为吸收系数,其与媒质的性质、波的频率有关。 利用边值条件x = 0, I = I0解方程可求出： I = I0 e－μx 此公式称为布给尔－朗伯定律， 它表明平面波在传播过程中按指数规律衰减。

②讨论球面波发散引起的衰减(不考虑吸收) 单位时间通过两球面的能量应相等， 即：E1= E2 I1 4πr12 = I2 4π r22 A2 r1 r2 I1 t1 I2 t2 A1 即以球面波传播的波强度与离波源的距离r 的平方成比。

本讲小结 平面简谐波的波动方程 波长λ 波速 u波频υ 波强度 2018/11/26 制作：于国伟 吉林大学

作业一 一列平面简谐波的波动方程为 （1）求振幅、波速、频率、波长。 (A=0.05m, u=2.5m/s, =5Hz, λ=0.5m) （2）传波质点的最大振动速度、加速度值。 (vmax=1.57m/s amax=49.3m/s2)

（3）x=0.2m处的质点在t=1.0s时的位相，它是坐标原点哪一时刻的位相，这一位相在t=1.25s时可传播到哪一质点。

作业二 一列平面简谐波的波动方程为 （1）求波的振幅、波速、圆频率、周期、波长以及传 波质点经过平衡位置时的振动速度加速度值。

（2）若t=0时刻的波形如图所示，试指出坐标原点O及点1、2的初位相。 y t=0 o 1 2 x

作业三 一列沿x轴正向传播的平面简谐波波速 v=5.00ⅹ10-2m/s 周期T=2.00s,振幅A=2.00ⅹ10-2m. 在x=0.10m处的质点p在t=3.0s时的位移yp=0，振动 速度>0. （1）x=0处的质点在t=5.0s时的位移和振动速度。 (Y=0,v=6.28ⅹ10-2m/s)

（2）以点P为坐标原点写出波动方程。

作业四 已知某平面简谐波波源振动方程为 波速v=2m/s. （1）求距波源5m处的质点的振动方程。

（2）该质点某时刻t的运动状态相当于哪一时刻波源的同样状态。（t’=t-0.25）

第四节 简谐波动的合成 2018/11/26 制作：于国伟 吉林大学

本节内容 一、两列同方向同频率波的合成 二、两列反向传播的完全相同波的公式

一、波的干涉 同方向同频率处位相差固定的两列检谐波的 合成------波的干涉。 45s

振源S1与S2发出两列简谐波：

根据波动方程： 两列波引起点p的振动分别为： s1 s2 p r1 r2

合成结果 合成振幅表达式： 其中： 重要结论：

什么是波的干涉现象？ 频率相同，振动方向相同，初位相相同，或相 差固定的波源发出的波叠加时，叠加区内出现 某些地方振动加强，另一些地方振动减弱或完 全抵消，这种现象称为波的干涉现象。

演示

演示

演示 l q e n 1 a n 2 b n 1

讨论两个特殊情况： 若使A=Amax则有： 代入 干涉极大的条件 光程差是波长的整数倍的地方为干涉极大点

光程差是波长的半整数倍的地方为干涉极小点 若使A=Amin则有： 干涉极小的条件 代入 光程差是波长的半整数倍的地方为干涉极小点

例十二 P和Q是两个同位相、同频率、同振幅并在同一介质中振动的相干 波源，其频率为υ、波长为λ，P和Q相距3λ/2。R为P、 Q连线 上的任意一点，试求 （1）自P点发出的波在R点引起的振动与自点Q发出的波在R点引起的振动的位相差 P Q R

（2）R点的合振幅 P Q R

二、 驻波 两个完全相同的简谐波，沿同一直线相反方 向传播，合成结果------驻波。 120s

写出两列波的表达式： 合成结果：

驻波的特点 波节 波腹 每个质点都在做简谐振动，但振幅不同，有些点的振 幅为0------波节，有些点的振幅最大------波腹，而波形 不走动。 波节 波腹

相邻波腹的距离： 相邻波节的距离： 波腹：振幅最大的点。 波节：始终不动的点。 k = 0, 1, 2, 3…...

例十三 频率为100Hz的一列波在两端固定的弦上传播，形成 了如图所示的驻波，试从图上确定其波长和波速。 解：从图中已知，五个波节间距=2.5m 2.5m

此例题为驻波法测波速的实验原理 信号 发生器 示波器 换能器 换能器 x1 x2 x3 x4 x5

本讲小结 波的干涉现象 干涉极大的条件 干涉极小的条件 驻波波腹波节间距 2018/11/26 制作：于国伟 吉林大学

s1 s2 作业一 p r1 r2 S1、S2是由同一振子所带动的波源，但S1的位相超 前S2 π/2，那么点P为干涉为极大的条件是二者的 波程差为多少？ s1 s2 p r1 r2

作业二 弦线上的驻波相邻波节的距离为65cm，弦的振动频率为 2.3ⅹ102Hz,求波的传播速率u和波长λ.

本章重点内容 简谐振动方程 初位相的求解 振动能量守恒 简谐振动 同方向 同方向 拍 垂直方向 李萨如图

平面简谐波的波动方程 波长λ 波速 u波频υ 波强度 波的干涉现象 干涉极大的条件 干涉极小的条件 驻波波腹波节间距

作业一 直径d=1.2cm的U形管装有质量m=624g水银，使水银在管中作 微振动，试求其振动周期（水银密度 ，水银与U 形管摩擦忽略不计）。（答案：0.9s）

作业二 根据图中所示位移时间曲线，分别 写出这两个振动的表达式。 （答案： ） x A/2 o t 1 (a) x A o 1 t (b)

作业三 一弹簧悬挂10g砝码伸长8cm,现将这根弹簧下悬挂25g 的物体， 使它做自由振动，按下列情况分别求其振动 方程。 （答案：x=4cos7t）

(2)开始时，物体在平衡位置，给以向上21cm/s的初速度，同时开始计时。 （答案：x=3cos(7t+π/2)） (3)把物体从平衡位置拉下4cm后，又给以向上21cm/s的初速度，同时开始计时。（答案:x=5cos(7t+ 370 ) ）

作业四 在半径为R的半球形碗中有一小球质量为m，若将小球移开一个很小的位移，放开令其运动，求证小球做简谐振动，并求其振动周期

作业五 两物体作简谐振动，它们的振幅和周期分别是10cm 和2s。当t=0时，它们的位移分别为10cm和-10cm，二 者的位相差是多少？是同相还是反相？当t=1s时，它们 的位移各是多少？

作业六 已知 两个振动方向相同的简谐振动： 其中x、t的单位采用SI制。 求（1）合振动的振幅和周期。

（2）另有一同方向的简谐振动 问α何值时， 的振幅最大， 的振幅最小。

作业七 两个同频、同向的简谐振动合成后的振幅0.10m， 合振动与第一分振动的位相差为π/6，若后者振幅 A1 = 0.080m ，求第二分振动的振幅以及第一、第二 两个分振动的位相差。

作业八 一列平面简谐波的波动方程为 （1）求振幅、波速、频率、波长。 (A=0.05m, u=2.5m/s, =5Hz, λ=0.5m) （2）传波质点的最大振动速度、加速度值。 (vmax=1.57m/s amax=49.3m/s2)

（3）x=0.2m处的质点在t=1.0s时的位相，它是坐标原点哪一时刻的位相，这一位相在t=1.25s时可传播到哪一质点。

作业九 一列平面简谐波的波动方程为 （1）求波的振幅、波速、圆频率、周期、波长以及传 波质点经过平衡位置时的振动速度加速度值。

（2）若t=0时刻的波形如图所示，试指出坐标原点O及点1、2的初位相。 y t=0 o 1 2 x

作业十 一列沿x轴正向传播的平面简谐波波速 v=5.00ⅹ10-2m/s 周期T=2.00s,振幅A=2.00ⅹ10-2m. 在x=0.10m处的质点p在t=3.0s时的位移yp=0，振动 速度>0. （1）x=0处的质点在t=5.0s时的位移和振动速度。 (Y=0,v=6.28ⅹ10-2m/s)

（2）以点P为坐标原点写出波动方程。

作业十一 已知某平面简谐波波源振动方程为 波速v=2m/s. （1）求距波源5m处的质点的振动方程。

（2）该质点某时刻t的运动状态相当于哪一时刻波源的同样状态。（t’=t-0.25）