Chap 8 積分技巧L’Hôpital’s定理和瑕積分 8.1 基本積分規則 8.2 分部積分法 8.3 三角函數的積分 8.4 三角替換法 8.5 部份分式法 8.6 使用積分表和其他方法求積分 8.7 不確定型式和L’Hôpital’s定理 8.8 瑕積分  

Section 8.1 基本積分規則 學習目標: • 複習整理被積分函數來套用基本積分規則

例題1 比較三個相似的積分 Solution = = a. b. c.

例題2 利用兩個基本規則求積分 Solution

例題3 的代換 Solution 令 => 原式

例題4 使用對數規則的情形 求 Solution

例題5 使用對數規則的情形 Solution

例題6 三角恆等式 Solution

被積函數常用分解原理 1. 2. 3. 4. 5. = 6. = 7. = =

Section 8.2 分部積分法 學習目標: • 以分部積分法求反導數

分部積分法 =>

定理8.1 分部積分法

分部積分法的引導法則: 1.利用基本積分公式，嘗試令dv代表被積分函數中最 複雜的部份，而u則代表剩下的部份。 2.嘗試選擇u，使u的導函數比u簡單，而令dv代表被 積分函數中剩下的部份

是有意義的 是可行的. it is simpler.

例題1 分部積分法 Solution

例題2 分部積分法 Solution

例題3 單項函數的積分 Solution

例題4 重複進行分部積分 Solution

例題5 分部積分法 Solution

例題6 求圖形中心 Solution 所以得到圖形中心位在

總結

例題7 Tabular Method Solution

Section 8.3 分部積分法 學習目標: • 含sinx和cosx冪次的積分 • 含secx和tanx冪次的積分 • 含sinmx和cosnx乘積的積分  

含正、餘弦函數冪次的積分引導法則:

例題1 正弦函數的冪次是正的奇數 Solution

例題2 餘弦函數的冪次是正的奇數 Solution

例題3 餘弦函數的冪次是正的偶數 Solution

Wallis 公式

Wallis 公式

含正割、正切函數的冪次積分引導法則

含正割、正切函數的冪次積分引導法則

例題4 正切函數的冪次是正的奇數 Solution

例題5 正割函數的冪次是正的偶數 Solution

例題6 正切函數的冪次是偶數 Solution

例題7 化回正、餘弦 Solution

利用下列積化和差公式將積分寫成

例題8 利用積化和差公式 Solution

Section 8.4 三角替換法 學習目標: • 以三角替換求積分 • 以積分建立模型來解決實際問題

例題1 三角替換: Solution

例題2 三角替換: Solution

例題3 三角替換:有理冪次 Solution

例題4 以替換的變數表示定積分的上、下限 Solution

定理8.2 積分公式( a > 0 ) 證明

例題5 求弧長 Solution

Section 8.5 部份分式法 學習目標: • 了解部份分式的概念 • 有理函數分解成一次分式後求積分 • 有理函數分解成二次分式後求積分

部份分式

部份分式

分解N(x)/D(x)為部份分式

分解N(x)/D(x)為部份分式

例題1 一次因式都不相同 Solution

例題2 重複一次因式 Solution

例題3 有二次因式但是一次因式均不相同 Solution

例題4 重複二次因式 Solution

Section 8.6 使用積分表和其他方法求積分 學習目標: • 使用積分表求不定積分 • 利用簡化公式求不定積分 • 求以正、餘弦組成有理函數的不定積分  

公式 4. 公式 9.

例題1 使用積分表 Solution

例題2 使用積分表 Solution

例題3 使用積分表 Solution

簡化公式:

例題4 利用簡化公式 Solution

例題6 使用積分表 Solution

正、餘弦組成有理函數的替換方法:

Section 8.7 不確定型式和L’Hôpital’s定理 學習目標: • 察覺不定型的極限問題 • 使用L’Hôpital’s定理求不確定型式的極限

定理8.3 廣義的中間值定理

定理8.4 L’Hôpital’s 定理

證明:

例題1 不確定型式0/0 Solution

例題2 不確定型式∞/∞ Solution

例題3 連續使用L’Hôpital’s 定理 Solution

例題4 不確定型式0×∞ Solution

例題5 不確定型式1^∞ Solution

例題6 不確定形式0^0 Solution

例題7 不確定形式∞－∞ Solution

Section 8.8 瑕積分 學習目標: • 求上下限無窮大的瑕積分 • 求極限無窮大之函數的瑕積分

例題1 發散的瑕積分 Solution

例題2 收斂的瑕積分 Solution

例題3 L’Hôpital’s 定理求瑕積分 Solution

例題7 發散的瑕積分 Solution

例題8 內部區間不連續的瑕積分 Solution

例題9 重複瑕積分 Solution

定理8.5 特殊的瑕積分

例題11 轉體的體積及表面積 Solution