第三章 迴歸模式之評估與修訂

迴歸分析之基本假設 在應用某種統計程序之前，必須注意其基本假設是否符合要求。 迴歸分析有三項基本假設： （1）常態性（2）均質性（3）獨立性。 「常態性」要求給定每一個預測變數 x 的值後，y 值的分配具有常態性。

條件常態分配 迴歸模式中的常態分配指的是條件常態分配，即給定 x 值後 y 的分配是常態分配，至於全部的 y 值是否為常態分配並不是要求的條件。 迴歸分析對常態分配的假設也與 t 檢定、F 檢定一樣具有穩健性（Robust），也就是說，當資料偏離常態不是很嚴重時，仍可接受常態分配的假設條件成立。

均質性 與 獨立性 「均質性」指的是不論甚麼樣的 x 值，y 分配的變異數均相等。 均質性的假設對以普通最小平方法作迴歸係數的估計是重要的，如果各組變異數的差別很大，則必須利用變數變換或是加權最小平方法來處理。 「獨立性」指的是前一個誤差不會影響後一個誤差，也就是資料具有相同的分配且獨立，亦即誤差項無自我相關。

條件常態分配、均質性及線性

古典線性迴歸之基本假設 線性迴歸模型：迴歸模型對參數是線性的 Yi ＝ β0 ＋ β1Xi ＋ i 誤差項 i 的平均值為零，即 E(i ) ＝0 誤差項 i 的變異數相等，即 Var(i ) ＝σ2 誤差項 i 無自我相關，即 Cov(i ,j) ＝0 , i≠j 誤差項 i 和 Xi 的共變異數為零，Cov(i ,Xi) ＝0

古典線性迴歸之基本假設 在重複抽樣中 X 值是固定的：X 不是隨機變數 觀測次數 n 必須大於待估計的參數個數 正確地設定了迴歸模型，即模型沒有設定偏誤 解釋變數之間沒有完全的共線性

古典線性迴歸之基本假設 當我們把普通最小平方法應用於古典線性迴歸模型時，並沒有對誤差項 i 的機率分配作任何假設（並不需要假設常態分配）。 有了這些假設，便看到 OLS 估計量 β0 、 β1 和 σ2 滿足線性、不偏和最小變異數（BLUE）等優良的統計性質。 ︿ ︿

古典線性迴歸之基本假設 ︿ ︿ 因為 OLS 估計量 β0 和 β1 都是 i 的線性函數，而按假設 i 是隨機的，因此，OLS 估計量的抽樣分配或機率分配將依賴於 i 假設的機率分配。 因為必須知道這些估計量的機率分配，方能對它們的母體值進行推論，所以為了假設檢定，必須先對 i 的機率分配作出假設。

誤差項 i 的常態假設 誤差項 i 的平均值為零，即 E(i ) ＝0 誤差項 i 的變異數相等，即 Var(i ) ＝σ2 誤差項 i 之間無自我相關，即 Cov(i ,j) ＝0 , i≠j 誤差項 i 服從常態分配，即 i ~ ~N(0, σ2) i.i.d

OLS 估計量的抽樣分配 因為 誤差項 i 代表沒有納入迴歸模型的其他所有影響因素，而在這些影響因素中，每種因素對 Y 的影響都很微弱。 常態變數的線性函數仍服從常態分配。

中央極限定理 由母體平均數為 μ 與變異數為 σ2 的任意母體 中，抽出樣本數為 T 的一組隨機樣本 X1, X2, … , XN。若樣本數 T (觀察值) 夠大 (T≧30) ， 則樣本平均數 XN 的抽樣分配，會趨近於常態 分配。 或

OLS 估計量的抽樣分配 由於 Yi ＝ β0 ＋ β1Xi ＋ i ， 而因為 β0 和 β1 是常數，Xi 也是給定的值，所以 Yi 是 i 的線性組合。 因此，若 i ~ N (0, σ2)， 則 Yi ~ N ( β0＋β1Xi , σ2)

OLS 估計量的抽樣分配 ︿ ︿ ︿ 因為 β0 和 β1 是 Yi 的線性組合，所以 β0 和 β1 也是常態分配。 因此， β0 ~ N (β0 , σ02)， β1 ~ N ( β1 , σ12) 知道 β0 和 β1 的抽樣分配，才能對迴歸式的參數做假設檢定。 ︿ ︿ ︿ ︿ ︿

殘 差 分 析 如何檢查迴歸模式是否滿足其基本的假設，主要是利用殘差分析。 基本上，如果模式正確，則殘差圖應該會「很亂」，即殘差圖上找不出有任何圖案。如果殘差圖有圖案存在，表示模式不好，需作適當的修正。

殘 差 分 析 為甚麼殘差圖要很亂才表示模式正確呢？因為我們將觀察值 yi 分解成二部份：可解釋的部份與不可解釋的部份。 不可解釋的部份即殘差項，它是所有「噪音」(雜訊) 的整合體，不能有圖案，否則應再將它抽離出來，放在可解釋的部份。

迴 歸 模 型 Yi ＝ β0 + β1X1i ＋ i

殘差圖之「圖案」 （1）標準的圖案。 （2）殘差項有趨勢存在。 （3）殘差項為二次式。 （4）殘差的變異數隨 x 而改變。 （5）存在自我相關的迴歸式。 （6）可能需加入其它重要的變數。 （7）異常點。

殘差隨機跳動之標準型

殘差項有趨勢存在

加入趨勢項 Yi ＝ β0 + θT + β1X1i ＋ I H0：θ＝0

殘差圖呈現二次型

加入二次項 Yi ＝ β0 + θT + β1X1i + β2X21i ＋ I H0：β2＝0

殘差項有異質變異數 採用加權最小平方法估計及檢定

殘差項有異質變異數 採用加權最小平方法估計及檢定

殘差項有自我相關 改用時間數列分析的方法

可能要加入其他變數

可能要加入其他變數 體重 身高 ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ＊ ◎ ＊ ＊ ◎ ＊ ◎ ＊ ＊ ＊ ＊ ◎ ＊ ＊ ◎ ◎ ＊ ◎ ＊ ◎：男 ＊ ＊ ◎ ＊ ＊：女 身高

可能要加入其他變數

虛 擬 變 數 Yi ＝ β0 + β1Xi ＋ i Yi ＝ β0 + δD+ β1Xi ＋ i D ＝ 1，若為男性 0，若為女性

虛 擬 變 數 Yi ＝ β0 + β1Xi ＋ i Yi ＝ (β0 + δ)+ β1Xi ＋ i H0： δ＝0 H1： δ≠0 女性： 男性：

加入虛擬變數的結果 體重 δ 身高 β0 ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ＊ ◎ ＊ ＊ ◎ ＊ ◎ ＊ ＊ ＊ ＊ ◎ ＊ ＊ ◎ ◎ ＊ ◎ ◎：男 ＊ ＊ ◎ ＊ ＊：女 δ β0 身高

加入虛擬變數後的殘差 ＊ ＊ ＊ ＊ ◎ ＊ ＊ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ＊ ＊ ◎ ＊ ◎ ◎ ＊ ◎ ◎

虛擬變數陷阱 Yi ＝ β0 + β1Xi ＋ i Yi ＝ β0 + δD1+ γD2 + β1Xi ＋ I 1，若為男性 0，若為男性 D1 ＝ D2 ＝ 0，若為女性 1，若為女性 會產生完全多重共線性的問題

虛擬變數的個數 一般的原則是：如果模型有共同的截距項，且屬質變數 (類別變數) 有 m 種分類，則需引入 ( m－1 ) 個虛擬變數。 如果不符合這條原則，則會陷入虛擬變數陷阱，即「完全多重共線性」。

函數型式 與 結構轉變 欲知四季對可支配所得與消費之間的關係，模型如下： Ct = β1 + β2 × Xt + δ1 × Dt1 + δ2 × Dt2 + δ3 × Dt3 + εt 其中 D 為虛擬變數，其值為 0 或 1。以第四季為基準。 如果模型中有截距項，則 4 個類別只能使用 3 個虛擬變 數，若使用 4 個虛擬變數，則會有「虛擬變數陷阱」的 問題，即會產生「完全多重共線性」的問題。 當模型中有截距項，則 β1 表示第 4 季 (基準) 的效果，而 δ1 、 δ2 、 δ3 分別表示第 1、2、3 季和第 4 季的差距。 37

函數型式 與 結構轉變 欲知季節性對可支配所得與消費之間的關係，模型如下： Ct = β1 × Xt + δ1 × Dt1 + δ2 × Dt2 + δ3 × Dt3 + δ4 × Dt4 + εt 如果模型中沒有截距項，則 4 個類別就可以使用 4 個虛 擬變數，此時不會有「虛擬變數陷阱」的問題。 當模型中沒有截距項，則 δ1 、 δ2 、 δ3 、 δ4 分別表示在 所得保持固定下，第 1、2、3、4 季的效果。 38

類別變數 與 虛擬變數 的差異性 欲知學歷對所得的影響，模型如下： Income = β1 + β2 × age + δ × E + εt 其中，E 為類別變數，其值如下：E = 0，若為大學以下； E = 1，若為大學畢業；E = 2，若為碩士畢業；E = 3，若 為博士畢業。 此種類別變數的設定，隱含不必要的限制條件：它隱含 不同學歷差距的所得差距是相等的，即大學以下為 β1 ， 大學畢業為 β1 + δ ，碩士為 β1 + 2δ ，而博士為 β1 + 3δ 。 39

類別變數 與 虛擬變數 的差異性 欲知學歷對所得的影響，較好的模型如下： Income = β1 + β2 × age + δB × B + δM × M + δP × P + εt 其中，B、M、P 分別為虛擬變數，其值為 1 時，分別代 表大學、碩士、博士；否則為 0。 此種模型下，以「大學以下」為比較基準。學歷的效果： 大學以下為 β1 ，大學畢業為 β1 + δB ，碩士為 β1 + δM ， 而博士為 β1 + δP 。即大學畢業比大學以下多賺 δB，碩士 比大學以下多賺 δM ，而博士則比大學以下多賺 δP 。 40

函數型式 與 結構轉變 Income = β1 + β2 × age + δB × B + δM × M + δP × P + εt 41

函數型式 與 結構轉變 Income = β1 + β2 × age + δB × B + δM × M + δP × P + εt 此模型，也可定義，只要具有該學歷，即給值 1，則在給 定 age 的條件下，其對所得的影響的係數分別如下，此 時 δB、 δM、 δP 的值分別代表不同學歷的邊際效果。 42

類別變數 與 虛擬變數 的差異性 假設類別變數有三類，使用類別變數的模型如下： Yi = α + βXi + εi 43

類別變數 與 虛擬變數 的差異性 跑完迴歸後，此類別變數對 Yi 的平均影響如下： 此種模型的估計，隱含 μA ≠ μB ≠ μC ，且 μA 和 μC 的差距 (2β) 是 μA 和 μB 的差距 (β) 的二倍，這種隱含的效果是不 適當的。所以一般以採用虛擬變數的方法為佳。 44

類別變數 與 虛擬變數 的差異性 假設類別變數有三類，使用虛擬變數的模型如下： Yi = β1 + β2D2i + β3D3i + εi 45

類別變數 與 虛擬變數 的差異性 跑完迴歸後，此虛擬變數對 Yi 的平均影響如下： E(Yi ) = β1 + β2D2i + β3D3i = β1 = μA 當 D2i = 0，且D3i = 0 = β1 + β2 = μB 當 D2i = 1 ，且D3i = 0 = β1 + β3 = μC 當 D3i = 1 ，且D2i = 0 此時， μA ≠ μB ≠ μC ，但其間的差距並不相同。 46

適合度檢定 常態性的檢定法： （1）畫直方圖（2）畫常態機率圖 （3）卡方檢定法（4）S-W法、K-S 法和 J-B 法 異質變異數的檢定法： （1）畫殘差圖（2） White 的一般異質性變異數檢定（3）其他異質性變異數檢定方法 獨立性的檢定法： （1）畫殘差圖（2） Durbin-Watson d 檢定 （3）其他誤差項自我相關檢定方法 (連檢定)

模式之修訂與變數變換 模式之修訂： （1）變數變換。（2）加入其它變數。 （3）放棄線性迴歸式，改用非線性迴歸式， 或其它方式如時間數列分析等。 Box-Cox 變數變換： Y* = Yλ

模 式 變 換 其它常用的模式變換： （1）倒數變換。 （2）指數模式。 （3）乘冪函數模式。 （4）經過原點的迴歸線模式。

過原點的迴歸 採用經過原點之迴歸模式的時機： （1）有學理上的依據時。 （2）在求出一般的線性迴歸式後，發現其參 數估計表中的截距項不顯著。 採用經過原點之迴歸模式的時機： （1）有學理上的依據時。 （2）在求出一般的線性迴歸式後，發現其參 數估計表中的截距項不顯著。 除非有非常強的事前預期，否則以採取含有截距的模型較好。若模型中確實應含有截距項而卻配適過原點的迴歸，則犯了模型設定偏誤的錯。其次，若經檢定後發現截距項不顯著，則事後再改成過原點的迴歸即可。

異常點 與 影響點 異常點：在散佈圖上，有些點與其它點離得很遠，但是此點的有無不會對迴歸線產生影響。 影響點：在散佈圖上，有些點與其它點離得很遠，且此點的有無會對迴歸線產生重大影響。 當出現離群值時，通常需提出解釋。

影 響 點

函數型式—Box-Cox 轉換 以下二式，哪一式是較好的函數型式？ 注意：因為應變數不同，所以先前的方法不能用。 54

函數型式—Box-Cox 轉換 雖然經濟學家對於哪些變數應該包含在一特定的關係之 中，通常會有相當強的先驗資訊，但對於其精確的函數 型式，卻通常只有相當少的資訊。 由 Box-Cox 於 1964 年首度引入的 Box-Cox 轉換，已因 Zarembka 於 1968、1974 年將其作為以資料來決定哪一 個函數型式是最合適的，而在經濟學界廣受歡迎。 所謂「由資料決定函數型式」的意思是說，函數的型式 應該由對函數參數的估計值來定義。 55

函數型式—Box-Cox 轉換 56

函數型式—Box-Cox 轉換 當  = 0 時，z() = ln z，因此 (12.5.4) 式 (  沒有下標，所 以是相同的) 會與 (12.5.2) 式相同。 57

函數型式—Box-Cox 轉換 當  = 1 時，z() = z - 1，因此 (12.5.4) 式可改寫成 (12.5.5) 式，而 (12.5.5) 式其實等於 (12.5.1) 式。 58

函數型式—Box-Cox 轉換 如果轉換的參數對每個變數都不同 (  有下標，所以是不 同的) ，則在估計 (12.5.6) 式時會更有彈性： 但是增加彈性並非沒有代價。在這個模型中，如果沒有 大量的觀察值，則要想可靠地估計所有的參數就會有困 難。 59

White Robust 修正異質變異數 先以 OLS 跑原始迴歸，得出殘差，存殘差平方。 H0 : 無異質變異 v.s. H1 : 有異質變異。 檢定統計量為： n  R2 ~X2(k) 其中 k 為輔助迴歸中迴歸變數的個數。 60

White Robust 修正異質變異數 原始迴歸： Yi = β1 + β2X2i + β3X3i + εi 。 先以 OLS 跑原始迴歸，得出殘差，存殘差平方。 將原始迴歸的解釋變數加入平方項 (及交叉相乘項) ，以 殘差平方對常數項及全部解釋變數跑 OLS，稱輔助迴歸。 輔助迴歸： Yi = β1 + β2X2i + β3X3i + β4X2i2 + β5X3i2 + β6X2i X3i + εi 。 從輔助迴歸中，得出 R2。 檢定統計量為： n  R2 ~X2(k) 61

假性迴歸 (spurious regressions) 兩個隨機漫步模型 yt = yt-1 + t 與 xt = xt-1 + t， t 與 t 獨立，因此， yt = yt-1 + t 與 xt = xt-1 + t 應為獨立 (無關) 的時間序列。迴歸 yt =  + xt + t 在直覺上應該會接受 H0:  =  = 0 的虛無假設。但執行迴歸 yt =  + xt + t 的 t 檢定，拒絕 H0:  = 0 的機率約為 75% 而非 5%，產 生錯誤的統計推論，此即所謂假性迴歸的問題。 因為迴歸 yt =  + xt + t 的誤差項 t 不是定態的時間序 列，若直接將非定態的變數進行迴歸分析，可能產生假 性迴歸的問題。也就是說傳統的 t 檢定和 F 檢定會產生 過度拒絕 H0 的結果，因而產生錯誤的統計推論。 62

假性迴歸 與 共整合 yt 與 xt 均為隨機漫步的時間序列 I(1)，且 t = yt - - xt 亦為 I(1)，表示 yt 與 xt 為無關的隨機漫步。若將 yt 對 xt 跑迴歸， yt =  + xt + t ，則會有虛假迴歸的問題。 yt 與 xt 均為隨機漫步的時間序列 I(1)，但 t = yt - - xt 為 I(0)，則表示 yt 與 xt 為共整合。此時若將 yt 對 xt 跑迴 歸， yt =  + xt + t ，則所得出的結果是有意義的。 yt 與 xt 均為隨機漫步，分別代表兩個醉漢的足跡；若 yt 與 xt 為共整合，表示兩個醉漢以一段繩子綁住後的足跡， 兩個醉漢的足跡雖是隨機漫步，但又不會相距太遠。 63