24.2 直线和圆的位置关系 第3课时 切线长定理

学习目标 1.掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算 与证明.（重点） 2.了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念. 3.学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想. （难点）

问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线（如左图所示），如果点C是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？ 导入新课 问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线（如左图所示），如果点C是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？ 问题2 过圆外一点作圆的切线，可以作几条？请欣赏小颖同学的作法！（见右图所示） B A A B P O O. P O1 直径所对的圆周角是直角.

一 切线长的定义 1.切线长的定义： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长． A O P 讲授新课 切线长的定义 一 1.切线长的定义： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长． P A O 2.切线长与切线的区别在哪里？ ①切线是直线，不能度量. ②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．

二 切线长定理 思考：PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B． OB是⊙O的一条半径吗？ A PB是⊙O的切线吗？ PA、PB有何关系？ ∠APO和∠BPO有何关系？ （利用图形轴对称性解释）

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. A 切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. A P O B 几何语言: PA = PB PA、PB分别切⊙O于A、B ∠OPA=∠OPB 注意 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.

拓展结论 PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于C. B P O A C E D （1）写出图中所有的垂直关系； OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP. （2）写出图中与∠OAC相等的角； ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC. （3）写出图中所有的全等三角形； △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP. （4）写出图中所有的等腰三角形. △ABP △AOB

练一练 PA、PB是⊙O的两条切线，A,B是切点，OA=3. （1）若AP=4,则OP= ; 5 B P O A （2）若∠BPA=60 °,则OP= . 6

要点归纳 切线长问题辅助线添加方法 （1）分别连接圆心和切点； （2）连接两切点； （3）连接圆心和圆外一点.

三角形的内切圆及内心 三 问题1 一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，使截出的圆与三角形各边都相切呢？ A B C A B C

问题2 如何作圆，使它和已知三角形的各边都相切？ 已知：△ABC. 求作：和△ABC的各边都相切的圆. 作法： 1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O. 2.过点O作OD⊥BC.垂足为D. 3.以O为圆心，OD为半径作圆O. N M D ⊙O就是所求的圆.

1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 概念学习 1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心. 3.这个三角形叫做圆的外切三角形. 4.三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点. 三角形的内心到三角形的三边的距离相等. ┐ A C I D E F ⊙O是△ABC的内切圆，点O是△ABC的内心，△ABC是⊙O的外切三角形. B

名称 确定方法 图形 性质 填一填： 外心：三角形外接圆的圆心 1.OA=OB=OC 三角形三边 2.外心不一定在三角形的内部． 中垂线的交 内心：三角形内切圆的圆心 A B O 1.OA=OB=OC 2.外心不一定在三角形的内部． 三角形三边 中垂线的交 点 1.到三边的距离相等； 2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB 3.内心在三角形内部． A B C O 三角形三条 角平分线的 交点

典例精析 例1 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，点A、B是切点，在弧AB上任取一点C，过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E.已知PA=7，∠P=40°.则 ⑵ ∠DOE= . ⑴ △PDE的周长是 ； 14 O P A B C E D 70°

例2 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长. 想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？ E D F O 解: 设AF=xcm，则AE=xcm. ∴CE=CD=AC-AE=9-x(cm)， BF=BD=AB-AF=13-x(cm). B C 由 BD+CD=BC，可得 (13-x)+(9-x)=14， 解得 x=4. ∴ AF=4(cm)，BD=9(cm)，CE=5(cm). 方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.

· 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝a,AC＝b, AB＝c,⊙O为Rt△ABC的内切圆. 求：Rt△ABC的内切圆的半径 r. 变式题 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝a,AC＝b, AB＝c,⊙O为Rt△ABC的内切圆. 求：Rt△ABC的内切圆的半径 r. 解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。 A ∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切 F ∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD · O D 设AD= x , BE= y ,CE＝ r C B E 则有 x＋r＝b y＋r＝a x＋y＝c 解得 r＝ a＋b－c 2

设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC 的内切圆的半径 r＝ 或r＝ 总结归纳 设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC 的内切圆的半径 r＝ 或r＝ ab a＋b＋c a＋b－c 2

1.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4, ∠APB= 40 ° ,则∠APO= ,PB= . 当堂练习 A 1.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4, ∠APB= 40 ° ,则∠APO= ,PB= . B P O 第1题 2.如图，已知点O是△ABC 的内心，且∠ABC= 60 °, ∠ACB= 80 °,则∠BOC= . C 第2题 20 ° 4 110 °

3.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点为A、B,∠P= 50 °，点C是⊙O上异于A、B的点，则∠ACB= . 65 °或115 ° B P O A 第3题 A B C F E D O 第4题 4.△ABC的内切圆⊙O与三边分别切于D、E、F三点，如图，已知AF=3,BD+CE=12,则△ABC的周长是 . 30

直角三角形的两直角边分别是3cm ,4cm,试问： （1）它的外接圆半径是 cm;内切圆半径是 cm？ 2.5 · A B C E D F O 拓展提升 直角三角形的两直角边分别是3cm ,4cm,试问： （1）它的外接圆半径是 cm;内切圆半径是 cm？ 2.5 1 解：如图，△ABC的外接圆直径为AB,而由勾股定理可得AB=5cm,故外接圆半径为2.5cm.连接AO,BO,CO.设△ABC的内接圆半径为r，由面积公式可得：S△ABC=S△AoB+S△AoC+S△BoC ,即 ，所以 ，代入数据得r=1cm. 方法小结：直角三角形的外接圆半径等于斜边长的一半，内接圆半径 .

（2）若移动点O的位置，使⊙O保持与△ABC的边AC、BC都相切，求⊙O的半径r的取值范围. · A B O D C 解：如图所示，设与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D,连接OB、OD,则四边形BODC为正方形. ∴OB＝BC＝3， ∴半径r的取值范围为0＜r≤3.

切线长 原理 作用 切线长定理 有关概念 三角形内切圆 应用 课堂小结 图形的轴对称性 提供了证线段和 角相等的新方法 分别连接圆心和切点； 连接两切点； 连接圆心和圆外一点. 辅助线 有关概念 内心概念及性质 三角形内切圆 运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程. 应用 重要结论 只适合于直角三角形

课后作业 见《学练优》本课时练习