變異數分析 12.1基本概念 12.2一因子變異數分析(完全隨機化設計) 12.3數個平均數的多重比較 本　章　綱　要 12.1基本概念 12.2一因子變異數分析(完全隨機化設計) 12.3數個平均數的多重比較 12.4二因子變異數分析(隨機化區集設計) 12.5因子設計 12.6電腦統計軟體範例

12.1 基本概念 變異數分析 (Analysis of variance, ANOVA)為一種統計分析方法，係將一組資料所發生的總變異依可能發生變異的來源分割成數個部份，即每一部份均可歸因於某原因(變異來源) 。 量測不同變異來源則可了解變異是否有顯著差異。 若有差異則表示某一變異來源對資料具有顯著影響作用。 See Example 12.1 變異數分析可分為一因子、二因子、、、分析，主要功用在於檢定不同處理方式之影響作用是否顯著。

12.1 基本概念 變異數分析乃是實驗設計之基本工具，兩者相輔相成。 12.1 基本概念 變異數分析乃是實驗設計之基本工具，兩者相輔相成。 實驗設計中所衡量的基本對象稱為「實驗單位」(experimental unit)。 在不同條件下衡量實驗單位的觀察值，這些不同條件稱為「 因子」(factor)。 各因子的不同表現程度稱為「水準」(level)。 不同因子的某種特定水準組合稱為「處理方式」(treatment)。 統計學導論 Chapter 12 變異數分析

12.2 一因子變異數分析 完全隨機化設計 變異數分析的原理與相關的計算 變異數分析的統計推論 統計學導論 Chapter 12 變異數分析

完全隨機化設計(1/2) 完全隨機化實驗設計適用於一因子變異數分析；隨機化實驗設計則適用於二因子變異數分析。 常態分配或t分配可用以檢定假設 H0:μ1=μ2，即H0:μ1=μ2= …=μk (k個母體)。 所謂完全隨機化設計是由若干母體進行獨立隨機抽樣，而每一個母體均採用某種處理方式下的反應變數 (response variable) 。 統計學導論 Chapter 12 變異數分析

完全隨機化設計(2/2) 第2種處理方式之第1個觀察值 統計學導論 Chapter 12 變異數分析

完全隨機化設計(1/2) 離差(deviation)：代表任一觀察值 Xi 與其平均數 的差，即 。 　的差，即 　　。 變異(variation)：離差的平方，即 　；若將所有變異加總，即構成離差的平方和(sum of square for deviation)。 變異數(variance)：離差的平方和除以自由度謂之，例如︰樣本變異數， 　　 See example 12.2 統計學導論 Chapter 12 變異數分析

完全隨機化設計(2/2) 60 68 90 112 統計學導論 Chapter 12 變異數分析

變異數分析的原理與相關的計算(1/3) 完全隨機化設計之變異數分析的基本假設 每個反應變數的母體均為常態分配。 每個母體的變異數均相等。 抽自各母體的各組隨機樣本互為獨立。 See page 486 for more explanations 變異數分析係將平均數總變異按其發生來源予以分解。由於每一觀察值與總平均數間差異 ，一部分係機器(處理方式)不同所致以 表示之，一部份係相同機器之量測隨機誤差(亦稱殘差)所致，以 表示之。 統計學導論 Chapter 12 變異數分析

變異數分析的原理與相關的計算(1/3) See explanations for example 12.2 on page 487. 統計學導論 Chapter 12 變異數分析

變異數分析的原理與相關的計算(1/3) 同組內各別觀察值與其相對應處理方式之平均數之差異係隨機誤差所致，此類誤差乃由於實驗內容或測量儀器所造成，稱之為殘差(residual) 。 由隨機誤差所致之總變異稱為殘差變異，可藉由這些殘差平方和求得，故又稱為殘差平方和(SSE) 。 由於此種殘差係表現在同一種處理方式下(同一組內) ，故亦稱為組內平方和(Sum of square within, SSW). See explanation for example 12.2 on page 487 統計學導論 Chapter 12 變異數分析

簡潔計算公式 See more explanation on page 488 for example 12.2. 統計學導論 Chapter 12 變異數分析

變異數分析的統計推論(1/2) See page. 491 統計學導論 Chapter 12 變異數分析

表12-3 一般情形之完全隨機化設計的ANOVA 變異數分析的原理與相關的計算(2/3) 表12-3 一般情形之完全隨機化設計的ANOVA 變異來源 平方和(SS) 自由度(df) 均方(MS) 處理方式 k–1 殘差 n–k 總平方和 總變異 n–1 K:處理方式個數 n: 總數 統計學導論 Chapter 12 變異數分析

變異數分析的統計推論(2/2) 完全隨機化設計的F檢定 (12-7) 統計學導論 Chapter 12 變異數分析

變異數分析的原理與相關的計算(3/3) 變異來源 平方和(SS) 自由度(df) 均方(MS) F-比值 處理方式 68 3 22.67 表12-4 表12.2資料的ANOVA表 變異來源 平方和(SS) 自由度(df) 均方(MS) F-比值 處理方式 68 3 22.67 22.67/5.22=4.34 殘差 94 18 5.22 總和 162 21 F0.05(3,18)=3.16  F>Fa Reject Ho See example. 12.4 統計學導論 Chapter 12 變異數分析

See page. 496~497 for more explanations 12.3 數個平均數的多重比較 聯立信賴區間(小樣本) 組(k表示處理方式的個數)兩兩平均數差(μi–μj)之100(1–α)%聯立信賴區間為 其中 ，m=兩兩平均數差的組數，且 表示自由度為n–k 之t分配的上界點α/(2m)。使用此方法，保證所有m組(兩兩平均數差)信賴區間同時成立的機率至少為(1–α)。 統計學導論 Chapter 12 變異數分析 See page. 496~497 for more explanations

See example 12.5 and example 12.6 12.3 數個平均數的多重比較 See example 12.5 and example 12.6 統計學導論 Chapter 12 變異數分析

12.4 二因子變異數分析 隨機化區集設計 二因子變異數分析(不含交互作用) 統計學導論 Chapter 12 變異數分析

隨機化區集設計 統計學導論 Chapter 12 變異數分析

二因子變異數分析(不含交互作用) (1/4) 總差異=處理方式差異+區集因素差異+殘差 總變異=處理方式的變異+區集因素的變異+殘差變異 (12-10) (12-11) 統計學導論 Chapter 12 變異數分析

二因子變異數分析(不含交互作用) (2/4) 總平方和(SST)=處理方式平方和(SSTR)+區集因素平方和(SSBL)+殘差平方和(SSE) 統計學導論 Chapter 12 變異數分析

二因子變異數分析(不含交互作用) (3/4) (12-12) 統計學導論 Chapter 12 變異數分析

二因子變異數分析(不含交互作用)(4/4) 總平方和的自由度df(SST)=n–1 處理方式平方和的自由度df(SSTR)=k–1 區集因素平方和的自由度df(SSBL)=b – 1 殘差平方和的自由度df(SSE)=df(SST)– df(SSTR) – df(SSBL)=(k–1)(b–1) (12-13) 統計學導論 Chapter 12 變異數分析

表12.7 隨機化區集設計之ANOVA表 變異來源 平方和(SS) 自由度(df) 均方(MS) F–比值 處理方式 SSTR k–1 區集因素 SSBL b–1 殘差 SSE (k–1)(b–1) 總和 SST n–1 =kb–1 統計學導論 Chapter 12 變異數分析

隨機化區集設計的F檢定 H0：μ1=μ2=…=μk 統計學導論 Chapter 12 變異數分析

12.5 因子設計 因子設計 二因子變異數分析(含交互作用) 統計學導論 Chapter 12 變異數分析

因子設計(1/3) – 12.5.1 統計學導論 Chapter 12 變異數分析

因子設計(1/3) – 12.5.1 統計學導論 Chapter 12 變異數分析

因子設計(2/3) 包裝2 銷售額 包裝2 包裝1 包裝1 低價 高價 可能有交互作用 無交互作用 圖12.2 判斷是否有交互作用的圖例 圖12.2 判斷是否有交互作用的圖例 統計學導論 Chapter 12 變異數分析

因子設計(3/3) 包裝2 銷售額 包裝1 售價 低價 高價 (c) 有交互作用 圖12.2 判斷是否有交互作用的圖例(續) 圖12.2 判斷是否有交互作用的圖例(續) 統計學導論 Chapter 12 變異數分析

二因子變異數分析(含交互作用) 統計學導論 Chapter 12 變異數分析

二因子變異數分析(含交互作用) 統計學導論 Chapter 12 變異數分析

二因子變異數分析(含交互作用) (1/3) 對(12-14)式兩邊取平方，即可得出總變異與各種來源變異的關係式 總變異=A因子變異+B因子變異+AB因子交互作用變異+殘差變異 (12-14) 統計學導論 Chapter 12 變異數分析

二因子變異數分析(含交互作用) (2/3) (12-15) 總平方和(SST)=A因子平方和(SSA)+B因子平方和(SSB)+AB因子交互作用平方和(SSAB)+殘差平方和(SSE) 統計學導論 Chapter 12 變異數分析

二因子變異數分析(含交互作用) (3/3) 變異來源 平方和(SS) 自由度(df) 均方(MS) F–比值 A因子 SSA a–1 B因子 表12.9 因子設計之ANOVA表 變異來源 平方和(SS) 自由度(df) 均方(MS) F–比值 A因子 SSA a–1 B因子 SSB b–1 AB交互作用 SSAB (a–1)(b–1) 殘差 SSE nr–ab 總和 SST nr–1 統計學導論 Chapter 12 變異數分析

因子設計的F檢定 統計學導論 Chapter 12 變異數分析

12.6.1 一因子變異數分析 - SPSS 統計學導論 Chapter 12 變異數分析

12.6.1 一因子變異數分析 - SPSS 統計學導論 Chapter 12 變異數分析

二因子變異數分析 - SPSS 統計學導論 Chapter 12 變異數分析

二因子變異數分析 – SPSS (無交互作用) 統計學導論 Chapter 12 變異數分析

二因子變異數分析 - SPSS (有交互作用) 統計學導論 Chapter 12 變異數分析

二因子變異數分析 - SPSS (有交互作用) 統計學導論 Chapter 12 變異數分析

二因子變異數分析 - SPSS (有交互作用) 統計學導論 Chapter 12 變異數分析

二因子變異數分析 - SPSS (有交互作用) 統計學導論 Chapter 12 變異數分析

Quiz 在因子設計的AVOVA中，為何要先驗證是否存在交互作用？ 台南市有一家餐廳連鎖店，趁著過年的腳步接近，想以去年過年時不同套餐每日的銷售情形來決定今年年菜的製造花樣食材。餐廳將套餐依菜色變化分為：養生滋補餐、韓式泡菜餐、滿漢大全餐、海鮮料理餐，今隨機選取8個餐廳設立的銷售點，其去年每日銷售的記錄如下：(單位：套) 統計學導論 Chapter 12 變異數分析

Quiz 假設各套餐之銷售量呈常態分配。 (a)試求算各銷售點套餐的銷售量是否有差異(=0.05)？ (b)試求算各菜色套餐的銷售量是否有差異(=0.05)？ (c)以Scheffe’s方法來檢定各套餐平均銷售數間是否有顯著差異(=0.05)？ 統計學導論 Chapter 12 變異數分析

Answer (1) (2) 統計學導論 Chapter 12 變異數分析

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