統 計 學 第十章 實驗設計與變異數分析 編著 江建良 10-1 實驗法與實驗設計 10-5 多重比較 10-2 統計的實驗設計 第十章 實驗設計與變異數分析 10-1 實驗法與實驗設計 10-5 多重比較 10-2 統計的實驗設計 10-6 隨機區集設計的變異數分析 10-3 變異數分析的基本概念 10-7 拉丁方格設計的變異數分析(選讀) 10-4 完義隨機的變異數分析 10-8 二因子設計的變異數分析(選讀) 書號：512282 編著 江建良 普林斯頓國際有限公司

10-1 實驗法與實驗設計 實驗法的意義： 實驗法的要件： 係指在控制的情境之下，實驗者有系統的操弄 (manipulate) 實驗變數 ( 又稱實驗因子或自變數 )，以觀察其對實驗結果 (又稱反應變數、依變數) 的影響之研究程序。 實驗法的要件： 實驗單位 (experimental unit)： 即被實驗的對象，如：單位或人 (受測者、受試者)。 實驗變數 (experimental variable)： 即實驗者所操弄的變數，一般稱為自變數 (independent variable) 或實驗因子 (factor)。表示實驗因子的狀態，稱為水準 (level)，而因子水準的特定組合，稱為處理 (treatment)。 P366

10-1 實驗法與實驗設計 實驗法的要件： 反應變數(response variable)： 即實驗結果的變數，一般稱為依變數 (dependent variable)。 實驗設計(experimental design)： 即能增加實驗效果精確度的一些方法，如控制在干擾變數等方法。 變異數分析(ANOVA; analysis of variance)： 即衡量自變數對依變數影響效果的統計方法。 (p. 366 例10-1) P366

實驗法的要件 例：某連銷超商經理想了解行銷部所提出的三種不同促銷方案，對營業額的增加效果是否相同，此時就需要透過實驗法的方式來進行了。在實驗法中，促銷手法稱為因子(factor)，三種不同的行銷手法就為處理(treatment)或水準(level)，而營業額就稱之為反應變數(response variable)或依變數(dependent variable)，實施促銷手法的超商就稱為實驗單位(experiment unit)。由於我們的目的是要了解不同的促銷手法對營業額的效果是否相同，因此，變異數分析也可以用來回答這樣的問題。 另外，由於只考慮一個因子，因此也稱為一因子變異數分析(one-way ANOVA)。

10-1 實驗法與實驗設計 實驗設計的意義與類型： 實驗設計的意義： 狹義的實驗設計：利用某些技巧 (如隨機性、重複性、區集性等) 使實驗變數能充分發揮其對反應變數的影響，並能牌除實驗變數以外的干擾變數，以純粹觀察實驗變數對反應變數的影響效果，而能提高實驗分析的精確度。 (2) 廣義的實驗設計：泛指在進行實驗設計之前，對實驗如何進行所做的計畫。如擬定實驗假設、決定自變數與依變數、考慮如何控制外來干擾變數、如何減少實驗誤差、如何抽樣及選擇適當的統計方法，甚至利用實驗結果加以推論等均是。 P367

10-1 實驗法與實驗設計 實驗設計的意義與類型： 實驗設計的類型： (1) 因子設計：係指對實驗因子 (即實驗變數) 作適當處理 的設計，使其能充分顯示出實驗因子對 反應變數的影響情形。 (2) 區集設計：係指依據某一外在影響變數，將實驗單位 區分為若干區集，然後再觀察實驗因子對 反應變數的影響效果。 例：價格對銷售量的影響 (p. 368) P367

10-1 實驗法與實驗設計 實驗設計的意義與類型： 一因子設計 因子設計 二因子設計 實驗設計 一區集設計(簡單區集設計) 區集設計 二區集設計(拉丁方格設計) 一因子設計 二因子設計 因子設計 區集設計 實驗設計 P369

10-2 統計的實驗設計 完全隨機設計： 係指沒有區集設計的一因子實驗設計， 通稱為一因子分類 (one-way classification) 的實驗設計， 這是較簡單的實驗設計。 (p. 370 例10-2) 假設檢定的寫法： H0:價格差異，銷售量並無顯著差異。 H0:μ1=μ2=μ3 H1:價格差異，銷售量有顯著差異。 H1: μ1≠μ2≠μ3 上述等號至少有一個不成立 P369

10-2 統計的實驗設計 隨機區集設計： 係指一區集設計的一因子設計之實驗設計。 其特色乃依某一外在變數將實驗單位劃分為若干區集 (block)，使區集變數能吸收反應變數的某些變異， 而減少抽樣所造成的誤差。屬於二因子分類 (two-way classification) 的實驗設計。 (p. 371 例10-3) 假設檢定的寫法： (1) H0:價格差異，銷售量並無顯著差異。 H0:μ1=μ2=μ3 H1:價格差異，銷售量有顯著差異。 H1: μ1≠μ2≠μ3 (2) H΄0:不同商店類型，銷售量並無顯著差異。 H΄0:μ΄1=μ΄2=μ΄3 H΄1:不同商店類型，銷售量有顯著差異。 H΄1: μ΄1≠μ΄2≠μ΄3 P370

10-2 統計的實驗設計 二因子設計： 二因子設計之特點： 是指二個實驗因子的實驗設計 (區集設計可依實際需要加入 或不加入 )。 假設二因子為A與B因子，各有a與b個水準，稱為a×b的二因子設計。於實驗設計中，共有a×b個處理水準（ 即a×b個方格），A與B因子中之水準可為重覆或不重複。 二因子設計之特點： 可衡量各個實驗因子的個別效果，稱為主要效果 (main effects)。 在重覆的實驗單位下，可衡量兩實驗因子間是否發生交互作用 (interaction effects，又稱為互動效果 )。 (交互作用係指當一個實驗因子與反應變數之關係，依另一實驗因子的不同水準而顯著改變；此為二因子變異數分析之主要目的) P373

10-2 統計的實驗設計 二因子設計： (p. 374 例10-5) 獨立樣本二因子變異數分析 假設檢定的寫法： (2) 實驗因子A之影響效果 H0:價格差異，銷售量並無顯著差異。 H0:μ1=μ2=μ3 H1:價格差異，銷售量有顯著差異。 H1: μ1≠μ2≠μ3 (3) 實驗因子B之影響效果 H΄0:包裝差異，銷售量並無顯著差異。 H΄0:μ΄1=μ΄2=μ΄3 H΄1:包裝差異，銷售量有顯著差異。 H΄1: μ΄1≠μ΄2≠μ΄3 (1) A與B因子之交互作用 H˝0:價格與包裝無交互作用。 H˝0:μ˝1=μ˝2=μ˝3 H˝1:價格與包裝有交互作用。 H˝1: μ˝1≠μ˝2≠μ˝3 (即價格對銷售量的影響受包裝的影響) P373

10-2 統計的實驗設計 拉丁方格設計： 係指二區集設計的一因子設計之實驗設計。 其特色為一種雙向區集設計，包括行區集設計、列區集設計。 拉丁方格的特色是若實驗因子有K個水準，則外在變數須分為K類，實驗單位須有K×K 個，並以隨機方式將實驗因子的水準分派到各個實驗單位，且同行或同列不得出現相同的處理水準（把實驗因子所造成的效果加以平衡，以看出實驗處理效果之差異）。(p. 372 例10-4) 當有三個因子，而每個因子的水準數都相等，且這三個因子之間並無交互作用存在時，可用拉丁方格實驗設計來代替三因子變異數分析的實驗設計。 假設檢定的寫法： (1) H0:價格差異，銷售量並無顯著差異。 H0:μ1=μ2=μ3 H1:價格差異，銷售量有顯著差異。 H1: μ1≠μ2≠μ3 (2) H0:不同商店類型，銷售量並無顯著差異。 H΄0:μ΄1=μ΄2=μ΄3 H1:不同商店類型，銷售量有顯著差異。 H΄1: μ΄1≠μ΄2≠μ΄3 (3) H0:商店地點不同，銷售量並無顯著差異。 H˝0:μ˝1=μ˝2=μ˝3 H1:商店地點不同，銷售量有顯著差異。 H˝1: μ˝1≠μ˝2≠μ˝3 P370

實驗設計 實驗設計之實施步驟 找出並詳細說明問題所在 決定影響之因子與其水準數和範圍 選擇應變變數 尋找適當之實驗設計 進行實驗 統計分析 做出結論與建議

10-3 變異數分析的基本概念 變異數分析的意義： 係指將實驗的結果 (即反應變數) 按變異發生的原因， 區分為實驗變數所造成的變異 (即已知原因所造成) 及 外在干擾變數 (即實驗因子以外的因素) 所造成的變異 [通稱為實驗誤差 (如：抽樣與非抽樣誤差)]， 再配合這兩類變異的自由度取成變異數，再轉換成分配， 用分配來檢定各變異是否有顯著差異，以判斷變異發生的原因，是否顯著的統計方法。 變異數分析(analysis of variance) ： 用來檢定三個或三個以上母體平均數，是否有顯著性差異的方法。 P376

變異數分析的意義、原理 變異數分析的意義 統計學家R.A. Fisher（1890～1962）首創變異數分析（Analysis of Variance，ANOVA），在相同的顯著水準下，同時（simultaneously）檢定k個母體平均數是否相等的方法，謂之。 一因子ANOVA（one-way ANOVA）：以一個解釋變數來解釋反應變數變異來源的一種分析方法。 二因子ANOVA（two-way ANOVA）：以兩個解釋變數來解釋反應變數變異來源的一種分析方法。 多因子ANOVA：按兩個以上因子分類分析。

考慮因素 因子ANOVA 小麥品種 1因子ANOVA 小麥品種 + 肥料 2因子ANOVA 小麥品種 + 肥料 + 土壤 3因子ANOVA ……………… …………… 機　　器 機器 + 操作人員 機器 + 操作人員 + 原料

10-3 變異數分析的基本概念 變異數分析的基本假設： 每個處理水準 (即依實驗因子的準分組之各組樣本資料) 的母體，均為常態分配。 每個處理水準的母體之變異數相等。 抽自各母體的各組隨機樣本互為獨立。 實驗結果的變異可區分為實驗因子所造成的變異，加上實驗因子以外的因素所造成的變異。 P377

變異數分析基本觀念 變異數分析既然是以變異數為名，自然地它的基本觀念自是源自資料的變異，而其想法是利用全部資料的變異，也就是指所有資料與其平均數差的平方和，然後再考慮個別母體間的變異與個別母體內的變異，再由其間的差異來做比較。 因此變異數分析的基本觀念在虛無假設的成立下，亦即假設所有母體的平均數均相等的情況下，將所有樣本資料混合的變異分成兩部分：一部分為各母體內的變異，另一部分為各母體間的變異。然後再去比較這兩個部分的變異比值，是否足以支持虛無假設成立的假說。

變異數分析基本觀念 變異數分析中虛無假設成立的狀況

變異數分析基本觀念簡介 變異數分析中對立假設成立的狀況 ANOVA方法是透過對變異數的分析來同時檢定k個母體之平均數 i，i = 1, 2, …, k是否相等。即檢定，H0：1 = 2 =…= k，H1：至少有二平均數不等。

ANOVA的步驟是將樣本各觀測值之總變異（total of variation）分解為組間變異（between of variation）與組內變異（within of variation）。 組內變異：由各組本身資料的分佈情形去觀察資料本身內部的變異。 組間變異：由各組平均數的分佈情形去觀察各組平均數之間的變異。

變異數分析基本觀念 總變異(sum of squares due to total,SSt) ：混合後資料的變異。 處理間變異(sum of square between treatment, SSb ) 處理內變異 (sum of square due to error,SSE; sum of square within treatment; SSw) 總變異=處理間變異+處理內變異 SS (sum of square): 平方和

變異數分析基本觀念 單因子變異數分析標準資料表 其中，yij代表第i水準下第j個觀測值。

變異數分析基本觀念 母體間的變異：各組組平均與總平均數間之變異總和 離均差 (deviation)：任一樣本觀察值yi與其平均數 的差，即 母體內的變異：各組內離均差平方和之總和 總變異：各個數值與總平均數之差的平方和 離均差 (deviation)：任一樣本觀察值yi與其平均數 的差，即 變異(variation)：離均差的平方，即 2 離均差平方和 (sum of square for deviation) ：所有變異相加，即

變異數的估計 變異數 (variance) 或均方(mean of square): 離均差平方和除以自由度，即 變異數分析中的一個假設條件是隨機樣本，因此MSb和MSw是獨立的，所以MSb與MSw的比值將是一個分子自由度為，分母自由度為的F分配。

10-4 完全隨機的變異數分析 變異數分析(摘要)表： 實驗因子有 k 個水準處理，每個處理之實驗單位相同(即分為 k 組，每組樣本大小 n 相等)： 獨立樣本單因子變異數分析表 ( 樣本大小相同 ) 變異來源 平方和 SS 自由度 df 均方 MS F 處 理 SSB k - 1 誤 差 SSE (SSW) k (n – 1) 總 和 SST nk - 1 MSB SSB = - k 1 MSE SSE n ( ) F P382

10-4 完全隨機的變異數分析 å n 1 - 變異數分析表： MSB F = MSE 實驗因子有 k 個水準處理，每個處理之實驗單位不同(即分為 k 組，每組樣本大小 n 不同)： 獨立樣本單因子變異數分析表 (樣本大小不等) 變異來源 平方和 SS 自由度 df 均方 MS F 組間 (處 理) SSB k - 1 組內 (誤 差) SSE 總 和 SST F = MSB MSE n 1 i k - å SSB SSE P383

SSw.s (2) =SSres (3) +SSb.t (4); SSt (5) =SSb.s (1) +SSw.s (2) 10-4 完全隨機的變異數分析 變異數分析表： 實驗因子有 k 個水準處理，每個處理之實驗單位重覆 相依樣本時，除了將MSw( 組內變異數估計值) 改為MSres( 殘餘誤差)(SSres=SSw-SSb. treatment)，將dfw 改為dfres=(k-1)(n-1) 之外，其他都與獨立樣本時的算法一樣。 相依樣本單因子變異數分析表 (樣本大小必定相等) 變異來源 平方和 SS 自由度 df 均方 MS F 受試者間 SSb.subject (1) (n – 1) 受試者內 SSw. subject (2) n (k-1) 處 理 SSb.treatment (3) k - 1 殘 差 SSres (4) (k-1) (n – 1) 總 和 SSt (5) nk - 1 MSB SSb.t = - k 1 MSres SSres (k-1) n ( ) F MSb.t P382 SSw.s (2) =SSres (3) +SSb.t (4); SSt (5) =SSb.s (1) +SSw.s (2)

10-4 完全隨機的變異數分析 變異數分析的步驟： 將總變異區分為實驗因子變異(處理變異、可解釋變異)與誤差變異(未解釋變異)。 決定各變異對應之自由度。 將變異平方和除以自由度，化為變異數 ( 即均方 )。 求算 F 統計量。 若 F f > - ( : ) 1 2 α 時，放棄 H0。 p.669-676 P383

關聯強度 變異數分析的結果若F值達到顯著水準，即可說自變項與依變相之間有關聯存在，其關聯強度 (strength of association) ω2為： SSb-(k-1)MSw SSt+MSw 即自變項所能解釋依變項的總變異百分比。 當F值達到顯著水準時ω2將會是正值，若為負值則要解釋為”0” 當樣本數很大而使MSw變得很小時，F值很容易達到顯著。此時若ω2很小，即使在統計上有意義，實際應用上仍然沒意義。

10-5 多重比較 事後比較：當變異數分析的F值達到顯著水準後才須尋找到底哪些對平均數之間有顯著差異。 事後比較：共有 對平均數比較使用 檢定。 當變異數分析達顯著水準，才 可實施。 C F k 2 多重比較  任取一對或某些對作平 均數比較 個別 之估計。 m i t 檢定 事前比較 事後比較：當變異數分析的F值達到顯著水準後才須尋找到底哪些對平均數之間有顯著差異。 P390

10-5 事後比較 杜凱氏HSD 法(Tukey’s Honestly Significant Difference)：HSD 法係由J.W. Tukey 於1953 年發展而成，此法適用於當各組樣本數相等時，比較兩組平均數相互之間的差異（q值之差距考驗）。 q值：差距與標準誤的比值 查表值 當二平均數的差值大於HSD者，該對平均數之差即達到顯著水準

10-5 事後比較 紐曼－科爾氏法(Newman-Keuls method; N-K法)：此法同HSD法，適用於每組人數相等時的差距考驗，而其最大特色，係依平均數之大小依序使用不同的臨界q值 (依相差等級數r而異)，而HSD法，則不管平均數之大小次序，都使用同一個臨界q值。 查表值 等級數 (rank) ：二個平均數在平均數排列次序中相差的等級

10-5 事後比較 薛費法(Scheff ’e method)：係H．Scheffe’於1959 年所發展而成，無論各組樣本人數相等或不相等均可適用。常用於人數不相等時多組平均數間的比較。 HSD法與N-K法均只適用於各組人數相等時，以及比較一對二個平均數之間的差異時。當各組人數不相等或者想要進行複雜的比較 (每次比較包含二個以上平均數的差異) 時，則可使用此方法。 查表值

10-5 事後比較 費雪爾氏LSD法(Fisher’s Least Significant Difference)：LSD係由R.A Fisher於1914 年發展而成，此法適用於一組K個平均數間的成對比較。 查表值

10-5 事後比較 鄧肯氏法(Duncan’s method)：此法與Newman-Keuls法的系列檢定程序類似，但需採用特別的臨界值。 龐費洛尼t 考驗法(Bonferroni procedure)：此法亦稱為杜恩氏多重比較法(Dunn’s multiple comparison procedure)，係利用LSD法加以修正而成，故又稱為修正的LSD法(modified LSD)，其特色是將α依比較數加以分割。 R-E-G-W F 值是以 F 檢定為基礎，而 R-E-G-W Q 值則以 Studentized 全距為基礎。這些檢定，比 Duncan 多重全距檢定和 Student-Newman-Keuls 法都更有效，但在細格大小不相等的時候，建議最好別用。

10-5 事後比較 Duncan 多重範圍檢定、Student-Newman-Keuls 法 (S-N-K) 和 Tukey-b 檢定，都是全距檢定，它們會將組別平均數分等級，並計算全距值。 Hochberg GT2 檢定，跟 Tukey 最誠實顯著性差異檢定很像，但是它使用Studentized 最大模數。通常，Tukey檢定比較有效。再者，Gabriel 成對比較檢定，也使用 Studentized 最大模數，而且當細格大小不等的時候，通常會比 Hochberg GT2 檢定有效。當細格大小變化很大時，Gabriel 檢定可能會變成開放式的。 Waller-Duncan t 檢定，乃是使用 Bayesian 作法。這個全距檢定在樣本大小不相等的時候，會使用樣本大小的調和平均數。

10-5 事後比較 Dunnett 成對多重比較 t 檢定，會把一組處理方式，與單一控制平均數做比較。其中最後一個類別，是預設的控制類別。此檢定法可以選擇雙邊或單邊檢定。若要檢定因子在任何水準 (除了控制類別) 的平均數，是否不等於控制類別的平均數，使用雙邊檢定。若要檢定因子在任何水準的平均數，是否小於控制類別的平均數，則選取「< 控制」。同樣地，若要檢定因子在任何水準的平均數，是否大於控制類別的平均數，可選取「> 控制」。

10-5 事後比較 當我們在選擇事後比較方法時，應該考慮研究的性質再作決定。 若研究屬於初步的探索性研究，則應該考慮強調統計的強韌性，盡量找出可能的差異出來；若是較接近驗證性研究，則應該考慮強調保守性，除非二組間平均數差異真的是非常顯著，否則寧可接受虛無假設。

10-4 完全隨機的變異數分析 單因子變異數分析 (p.385例題10-7) Excel法：用單因子變異數分析 (適用於獨立樣本) 變源 SS 自由度 MS F P-值 臨界值 組間 890.6838 3 296.8946 8.990643 0.000743 3.159911 組內 594.4071 18 33.02262 總和 1485.091 21

10-4 完全隨機的變異數分析 獨立樣本單因子變異數分析 (p.385例題10-7) SPSS法：one-way ANOVA

10-4 完全隨機的變異數分析 相依樣本單因子變異數分析 SPSS法：GLM-Repeated Measures

10-4 完全隨機的變異數分析 相依樣本單因子變異數分析 SPSS法：GLM-Repeated Measures

10-4 完全隨機的變異數分析 相依樣本單因子變異數分析 SPSS法：GLM-Repeated Measures 六種事後比較 離差(Deviation) ：每一組皆與其餘組做比較。 簡單(Simple) ：每一組皆與參考組做比較。 差分(Difference) ：除第一組外，每一組皆與其前面各組的平均數做比較。 Helmert：除最後一組外，每一組皆與其後面各組的平均數做比較。 重覆(Repeated) ：除第一組外，每一組皆與其前一組做比較。 多項式(Polynomial) ：進行多項式比較。 相依樣本變異數分析中不能採用離差(Deviation) 、簡單(Simple)及重覆(Repeated) 這三種

10-4 完全隨機的變異數分析 單因子變異數分析之預檢資料 (p.385例題10-7) SPSS法：one-way ANOVA 變異數分析須符合常態分配、變異數同質的條件，故應預檢資料是否成常態分配、變異數同質。 P383

10-9 t檢定與F檢定的再說明 二組樣本用t檢定，三組以上的樣本用F檢定。二組樣本用t檢定的結果與用變異數分析之F檢定的結果是一樣的；t2=F。 (p. 415 例10-17獨立樣本、 p. 417 例10-18相依樣本) P415

作業 請自訂一研究主題，後進行四種實驗設計的方法安排設計內容。