第四章 数值积分与数值微分 — 复合求积公式 — Romberg 算法

本讲内容 复合求积公式 Romberg（龙贝格）算法 复合梯形公式 复合 Simpson 公式 梯形法的递推化计算

复合求积公式 什么是复合求积公式 提高积分计算精度的常用两种方法 复合求积公式 用复合公式 用非等距节点 将积分区间分割成多个小区间 在每个小区间上使用低次 Newton-Cotes 求积公式 复合求积公式 (Composite Numerical Integration) 也称为复化求积公式

复合梯形公式 将 [a, b] 分成 n 个小区间 [xi , xi+1] ，其中 通常是 n 等分 取等距节点

余项公式 当 xi 其中为等距节点时，即

复合 Simpson 公式 取等距节点 注：复合 Simpson 公式实际使用了 2n+1 个节点

余项公式 性质：复合梯形公式和复合 Simpson 公式都是收敛的， 也都是稳定的。

举例 例：设 ，利用下表中的数据分别用复合梯形公式和复合simpson公式计算定积分 ，并估计误差。 解： xi 1/8 2/8 3/8 1/8 2/8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 1.0 f (xi ) 1 0.997 0.990 0.977 0.954 0.936 0.909 0.877 0.841 解：

举例 误差估计

举例 213 等分 例：计算定积分 解： 用复合梯形公式和复合simpson公式时，n 分别取多大时才能使得误差不超过 0.5  10-5 要使误差不超过 0.5  10-5 ，需要 取 n=213

举例 复合 simpson 公式 要使误差不超过 0.5  10-5 ，需要 故取 n=4 8 等分

本讲内容 复合求积公式 Romberg（龙贝格）算法 复合梯形公式 复合 Simpson 公式 梯形法的递推化计算

？ Romberg 算法 利用复合梯形公式、复合simpson公式、复合Cotes公式等计算定积分时，如何选取步长 h 太 大 计算精度难以保证 太 小 增加额外的计算量 解决办法：采用 变步长算法 通常采取将区间不断对分的方法，即取 n = 2k ，反复使用复合求积公式，直到所得到的计算结果满足指定的精度为止。

梯形法递推公式 将 [a, b] 分成 n 等分 [xi , xi+1] ， xi +1/2 xi xi +1

梯形法递推公式

梯形法递推公式 记

举例 例：用梯形法的递推公式计算定积分 , 要求计算精度满足 解： k T (k) ex42.m 0.920735492 1 例：用梯形法的递推公式计算定积分 , 要求计算精度满足 解： k T (k) 0.920735492 1 0.939793285 2 0.944513522 3 0.945690864 4 0.945985030 5 0.946058561 6 0.946076943 7 0.946081539 8 0.946082687 9 0.946082975 10 0.946083046 ex42.m

梯形法的加速 梯形法递推公式算法简单，编程方便 但收敛速度较 慢 梯形法的加速－－龙贝格 (Romberg) 算法 定理：设 f(x)C [a, b], 记 Tn = T (h), 则有 证明：略（利用 Taylor 展开即可）

梯形法的加速 Richardson 外推算法

举例 例：计算定积分 k T0(k) 0.920735492 1 0.939793285 2 0.944513522 3 0.945690864 4 0.945985030 5 0.946058561 6 0.946076943 7 0.946081539 8 0.946082687 9 0.946082975 10 0.946083046 ex43.m

Romberg 算法 记: Romberg 算法是收敛的 : k 次等分后梯形公式计算所得的近似值 : m 次加速后所得的近似值 ① T1 =T0 (0) ② T2 =T0 (1) ③ S1 =T1 (0) Romberg 算法是收敛的 ④ T4 =T0 (2) ⑤ S2 =T1 (1) ⑥ C1 =T2 (0) ⑦ T8 =T0 (3) ⑧ S4 =T1 (2) ⑨ C2 =T2 (1) ⑩ R1 =T3 (0)

举例 例：用 Romberg 算法计算定积分 , 要求计算精度满足 解：逐步计算可得 ex44.m T0 T1 T2 T3 T4 T5 k 0.50000000 1 0.42677670 0.40236893 2 0.40701811 0.40043192 0.40030278 3 0.40181246 0.40007725 0.40005361 0.40004965 4 0.40046340 0.40001371 0.40000948 0.40000878 0.40000862 5 0.40011767 0.40000243 0.40000168 0.40000155 0.40000152

作业 1. 教材第 135 页：2(1)，2(2) 注： 习题 2 (1) 积分区间改为 [0,2] ，区间等分数改为 n=4，计算过程中保留 小数点后 3 位数字 习题 2 (2) 积分区间改为 [1,7] ，区间等分数改为 n=6 ，计算过程中保 留小数点后 2 位数字