14.2勾股定理的应用
18 最短路程问题 F C B 解:如图所示,将侧面展开,在RT∆CDF中, FD=AB-AF-BD=18-1-1=16cm CD= ½ 底面周长= ½ ·60=30cm 根据勾股定理,得: CF= A B C 18 F A F D C B 1 1 1
最短路程问题 如果盒子换成如图长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？ A B 1 2 3
分析：蚂蚁由A爬到B过程中较短的路线有多少种情况？ 2 3 A B 1 C (1)经过前面和上底面; (2)经过前面和右面; (3)经过左面和上底面. 3 2 1 B C A A B 3 2 1 B C A
解: (1)当蚂蚁经过前面和上底面时，如图，最短路程为 2 3 A B 1 C A B AB＝ ＝ ＝
(2)当蚂蚁经过前面和右面时，如图，最短路程为 A B 3 2 1 B C A AB＝ ＝ ＝
(3)当蚂蚁经过左面和上底面时，如图，最短路程为 A B 3 2 1 B C A AB＝ ＝ ＝ 最短路程为 ㎝
轴对称问题 如图所示,一牧童在A处放羊,他家在B处,A、B两处相距河岸的距离AC、BD分别为500m和700m,且CD=500m,天黑前牧童从A处将羊牵到河边饮水后再赶回家,请通过计算说明牧童至少要走多少米? 解:作点A关于CD对称的点E,连结BE,交CD于点P,连结AP,则沿着AP、PB回家的路程最短. 两点之间线段最短 B 过点E作EF垂直于BD交BD的延长线于点F. A ∵AC=EC,CD⊥AC ∴PA=PE 则PA+PB=PE+PB=BE BF=BD+DF=700+500=1200m CD=EF=500m 在RT∆BEF中,根据勾股定理,得 BE= =1300(m) 即牧童至少要走1300米. C P D E F
轴对称问题 如图所示,正方形ABCD的边长为8cm,点M在AB上,BM=2cm,对角线AC上有一动点P,求PM+PB的最小值. 两点之间线段最短 解:连结BD,连结DM交AC于点P,连结PB,则PM+PB的最小值就是DM的长度. ∵四边形ABCD为正方形 ∴AC垂直平分BD ∴PB=PD 则PB+PM=PD+PM=DM AM=AB-BM=8-2=6cm 在RT∆AMD中,根据勾股定理,得 DM= =10(cm) 即PM+PB的最小值为10cm. A D P · M · C B
网格问题 已知如图所示，正方形的边长都是1,如图(1)所示,可以算出正方形的对角线长为 ,那么两个正方形并排所构成的矩形的对角线长为 ,n个正方形并排所得矩形的对角线为 . (1) (2) (3) (4)
网格问题 A B C 如图所示,在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，以点A为一个顶点画△ABC,满足 AB= ,AC= , 在网格中画线段时,把线段看作是某些正方形或长方形的边或对角线
如图，长方形网格中，每个小正方形的边长为1，以AB为边画△ABC,使BC长为无理数, 网格问题 如图，长方形网格中，每个小正方形的边长为1，以AB为边画△ABC,使BC长为无理数, AC长为有理数. A 5 5 C C′ B
网格问题 如图，小方格都是边长为1的正方形， 求四边形ＡＢＣD的面积．
含有平方的等式问题 如图所示,在∆ABC中,AB=AC,点D在CB延长线上,试说明:AD²-AB²=BD·CD A ∟ D B E C 解: 作高AE A 在RT∆ADE和RT∆AEC中, 根据勾股定理得, AD²=AE²+DE², AC²=AE²+EC² ∵AB=AC AE⊥BC ∴EB=EC ∴AD²-AB²=DE²-EC² =(DE-EC)·(DE+EC) =(DE-EB)·DC =BD·DC 即AD²-AB²=BD·CD ∟ D B E C 在证明的等式中含有线段的平方关系时,一般考虑构造直角三角形,运用等式的性质进行变形.
1、 有一块田地的形状和尺寸如图所示，试求它的面积。 面积问题 1、 有一块田地的形状和尺寸如图所示，试求它的面积。 A 13 5 B ∟ ∟ D 12 C
面积问题 2.如图，在四边形ABCD中，∠B=900 AB=BC=4,CD=6,AD=2，求四边形ABCD的面积。 A B D C 2 6
折叠问题 1、矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，折痕是EF，求DE的长度？ E A B D C F （B）
折叠问题 2、如图，在矩形ABCD中，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在边BC上一点F处，AB＝8cm，CE=3cm，求BF的长度。
折叠问题 3、如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？ C
１.在运用勾股定理时，要看图形是不是直角三角形。 小结 １.在运用勾股定理时，要看图形是不是直角三角形。 ２.要学会根据题意画出草图，构建直角三角形。 ３.考虑问题要全面，不要漏了某些情况。