守恒定律 守恒定律 习 题 习题总目录

守恒定律习题 3-1 3-2 3-3 3-4 3-5 3-6 3-7 3-8 3-9 3-10 3-11 3-12 3-13 3-14 3-15 3-16 3-17 3-18 3-19 3-20 3-21 3-22 3-23 3-24 3-25 3-26 3-27 3-28 3-29 3-30 习题总目录

3-1 有一保守力 F = (-Ax＋Bx2) i，沿 x 轴作用于质点上，式中A、B 为常量，x 以m 计，F 以 N计。 （1）取 x =0 时EP = 0，试计算与此力相 应的势能； （2）求质点从x = 2m运动到 x =3m时势 能的变化。 目录 结束

ò ò ò E F Δ x = d (1) + ( ) A B x = d = A B 2 x 3 + ( ) A B E x Δ = d P Δ x = d (1) + ( ) A B x 2 = ò d = A B 2 x 3 + ( ) A B E P x Δ 2 = 3 ò d (2) = A B 2 3 5 19 目录 结束

矢为r = a cosωt i ＋b sinωt j，式中a、b 为正值常量，且a＞b．问： （1）此质点作的是什么运动？其轨这方程 怎样? 3-2 一质量为m的质点作平面运动，其位 矢为r = a cosωt i ＋b sinωt j，式中a、b 为正值常量，且a＞b．问： （1）此质点作的是什么运动？其轨这方程 怎样? （2）质点在A点（a，0）和B点（0，b） 时的动能有多大？ （3）质点所受作用力 F 是怎样的？当质点 从A点运动到B 点时，求 F 的分力Fx i和Fy j （4）F是保守力吗？为什么？ 目录 结束

ω ω ω ω ω ω ω （1）此质点作的是什么运动？其轨这方 程怎样? a x cos t = 解： y t sin = b + = ( ) 1 b 2 x y a t sin cos ω (1) d y t v = a sin ω t v x d = cos b ω (2) 当A点 (a,0) t = 0， v x = ω b v y = v y = ω m v 2 1 = b 目录 结束

ω ω ω ω ω ω ω ω ω d y t v = a sin t v d = cos b 当B点 (0,b) t = T/4， a v x d = cos b ω 当B点 (0,b) t = T/4， ω a v x = ω a v x = v y = m v 2 1 ω = a = a b i j 2 t sin cos + ω ( ) b i j = 2 t sin cos + ω a = 2 ω r = F m a 2 ω r 目录 结束

ò ò ò ò ω ω ω ω ω ω = F m a r F x = m F y = m A x d F = A y d F = = m 2 ω r F x = 2 ω m F y = 2 ω m ò A x d a F = b ò A y d F = ω = m a 2 1 ò A x d a = 2 ω m b ò A y d = 2 ω m 1 两分力的功和路径无关，是一恒量。 所以有心力为保守力。 目录 结束

的半径R=l0把弹簧另一端所挂重物放在光滑 圆环的B点，如图所示。已知AB长为1.6R。 当重物在B无初速地沿圆环滑动时，试求： 量为m的重物时，弹簧长l = 2l0 。现将弹簧 一端悬挂在竖直放置的圆环上端A点。设环 的半径R=l0把弹簧另一端所挂重物放在光滑 圆环的B点，如图所示。已知AB长为1.6R。 当重物在B无初速地沿圆环滑动时，试求： （1）重物在B点的加 速度和对圆环的正压力； （2）重物滑到最低点 C 时的加速度和对圆环 的正压力。 A B R C 目录 结束

解： q F N g m cos q =1.6R/2R = 0.8 = q 37 a g m sin q = a g sin q = B R C q F N g m cos q =1.6R/2R = 0.8 = q 37 a g m sin q = t a g sin q = t = 9.8×0.6=5.88m/s2 2 F N cos = q + g m × R x b k F = g m 0.6 2 N = cos q g m 0.6 = N g m 0.48 0.28 0.2 ´ N = g m 0.2 目录 结束

C 点： + = F N R g m v k g m R F x = 系统机械能守恒，选C点为零势能点。 ( ) 1 2 q x k cos B x k cos + g m R 1.6 v c C = a n = v 2 c R g 0.8 g v 2 c = 0.8 R 解得： a n = 0.8×9.8=7.84m/s2 m N =N = ´ = v 2 c R 0.8mg N 目录 结束

3-4 一根特殊弹簧，在伸长x m时，沿它 伸长的反方向的作用力为(52.8x +38.4x2)N。 时，外力克服弹簧力所作的功。 （2）将弹簧的一端固定，在另一端栓一质 量为 2.17 kg 的物体 ，然 后 把 弹 簧 拉到 x =1.00,开始无初速地释放物体，试求弹簧 缩回到x=0.5。时物体的速率。 目录 结束

ò = A + ( ) x d F 52.8 38.4 (1) 11.2 19.8 31J = + = A m v 2 1 (2) 2 m 0.5 1 d F 52.8 38.4 (1) 11.2 19.8 31J = + = A m v 2 1 (2) 2 m v = A 5.34 m/s 目录 结束

3-5 一质点沿 x 轴运动，势能为EP (x)， 总能量为 E 恒定不变，开始时静止于原点， 试证明当质点到达坐标 x 处所经历的时间 为: 目录 结束

ò 解： (x) E m v 2 1 = + 2 m v = (x) E t d = 2 m v (x) E x t d = 2 m (x) P m v 2 1 = + 2 m v = (x) E P t d = 2 m v (x) E P x t d = 2 m (x) E P x ò t d = 2 m (x) E P x 目录 结束

3-6 一双原子分子的势能函数为 ( ) 2 E r (r) = 式中 r 为二原子间的距离，试证明： 12 (r) P = 6 式中 r 为二原子间的距离，试证明： （1）r0 为分子势能极小时的原子间距； （2）分子势能的极小值为-E。 （3）当EP (r) = 0时，原子间距为 （4）画出势能曲线简图 目录 结束

( ) 2 E r (r) = 解： (1) d (r ) E r = 由分子势能极小值的条件 d (r ) E r = ( ) 2 = ( 12 (r) P = 6 解： (1) d (r ) P E r = 由分子势能极小值的条件 d (r ) P E r = ( ) 2 12 6 = ( ) r 11 12 5 2 = ( ) r 11 12 5 2 + = ( ) r 11 5 得： r 6 = r = 目录 结束

r = (r) E 时代入 可得势能极小值 当 (2) ( ) 2 E r (r) = (r) = E 当 (3) (r) E r o = (r) P E 时代入 可得势能极小值 当 (2) ( ) 2 E r 12 (r) P = 6 (r) P = E 当 (3) (r) P E r o (3)势能曲线 ( ) 2 r 12 6 = ( ) r 6 = 2 1 r = 2 6 目录 结束

3-7 小球的质量为m，沿着咙沿的弯曲轨道滑下，轨道的形状如图。 （1）要使小球沿四形轨道运动一周而不脱离轨道，问小球至少应从多高的地方H 滑下？ （2）小球在圆圈的最高点A受到哪几个力 的作用。 （3）如果小球由 H =2R的高处滑下， 小球的运动将如何？ A B R H 目录 结束

(1) 系统机械能守恒 解： = E 以A为参考点 ( ) 2 R H g m v 1 = N = + g m v R (1) N = g B R H g m = E C A 以A为参考点 ( ) 2 R H g m v 1 = A N = + g m v 2 A R (1) N = g m v 2 A R ≥ 不脱轨的条件为： g m v 2 A R ≥ (2) 目录 结束

由(1)(2)得： ( ) 2 R H g m + 2 1 H R 2R 5 (2)小球在A点受重力及轨道对小球的正 压力作用。 ≥ + 2 1 H ≥ R 2R 5 (2)小球在A点受重力及轨道对小球的正 压力作用。 (3)小球将不能到达A点。 目录 结束

3-8 一弹簧，原长为l0，劲度系数为 k上端 固定，下端挂一质量为m的物体，先用手托 住，使弹簧不伸长。 （1）如将物体托住馒慢放下，达静止（平 衡位置）时，弹簧的最大伸长和弹性力是多 少？ （2）如将物体突然放手，物体到达最低位 置时，弹簧的伸长和弹性力各是多少？物体 经过平衡位置时的速度是多少？ 目录 结束

F g m = (1) 解： x 设弹簧最大伸长为 x k g = x k F = g F = g m F g m = (1) 解： x m 设弹簧最大伸长为 x k m g = x k F = m g F = g m (2)若将物体突然释放到最大位置，选最 低点为参考点。由机械能守恒，得： 2 x k m g = k x 2 1 m g = x k F = m g 2 x k F = g m 物体在平衡位置时， 选平衡位置为参考点，由机械能守恒，得： k x 2 1 g m = v + 目录 结束

k x 2 1 g m = v + x k g m = 将 代入，得： k g m = 2 1 v + ( ) = v g m k = v g m = v + x k g m = 将 代入，得： k g m = 2 1 v + ( ) = v 2 g m k = v g m k 目录 结束

3-9 一小船质量为100kg，船头到船尾共 长3.6m。现有一质量为50kg的人从船尾走 到船头时，船头将移动多少距离？假定水的 阻力不计。 目录 结束

ò ò = l 3.6m m 50kg M 100kg 已知： = M V m v 解：由动量守恒 v V l = M V m v t d M V m v 解：由动量守恒 v V l = M V m v t d V v M m = ò = t d V s v M m v ò = t d s ´ M m = s ´ + = s ´ l M m = s ´ ´ + = l M m s + = l M m s = 50 100 3.6 + × 1.2m 目录 结束

3-10 如图，一浮吊，质量M =20t，由岸 上吊起m =2t的重物后，再将吊杆0A与竖直 方向间的夹角θ由600转到300。设杆长l = OA =8m，水的阻力与杆重忽略不汁，求浮 吊在水平方向移动的 距离，并指明朝那边 移动。 目录 结束

解：由动量守恒 x = ( ) u M V m v M m + = V u = 30 60 x l sin ( ) 2.93m t = x 300 600 = ( ) u M V m v M m + = V u = 30 60 x l 2 sin ( ) 2.93m t = x 2 u = M m + u x 2 = M m + x 2 x 1 = V t = 2.93 2 20 × + 0.267m 目录 结束

a 3-11 一炮弹，竖直向上发射，初速度为 v0，在发射后经 t s在空中自动爆炸，假定分 成质量相同的 A、B、C 三块碎片。其中 A 且B 块速度方向与水平成α角，求B、C两 碎块的速度（大小和方向）。 A B C a 目录 结束

a a a a a a a 解：设碎片C与水平方向成θ角 q x y v v = 爆炸前后系统的动量守恒，得： q cos m v = 3 B C a q x y v v B C = 爆炸前后系统的动量守恒，得： a q cos m v = 3 sin = m v ty a q + 解得： a q cos = a q = = v 3 ty 2 sin a 代入上式，得： = g t v ty = v 3 2 sin a ( ) g t 目录 结束

3-12 质量为 7.20×10-23 kg、速度为 6.0×107m/s的粒子A，与另一个质量为其 一半而静止的粒子B相碰，假定这碰撞是弹 性碰憧，碰撞后粒子A的速率为5×107m/s， 求： （1）粒于B的速率及偏转角； （2）粒子A的偏转角）。 目录 结束

2 m = 解：(1) 由机械能守恒： m v 2 1 = + = m v 2 + ( ) = v ( ) 10 m v 2 1 = + = 1 m v 2 + ( ) = 10 v 2 1 ( ) =2[(6.0×107)2-(5×107)2] =22×1014 v2= 4.69×107m/s 目录 结束

a a a a a a a (2)系统动量守恒 ( ) cos m v 2 = + sin ( ) m v 2 = 2 = + v cos 1 2 10 a y x o ( ) a cos m v 10 1 2 = + sin ( ) a m v 2 1 = 2 = + a v 1 cos 10 得： (1) a v 1 sin 2 = (2) 2 = a 1 cos sin 代入(1)(2)得： 2 = a cos sin 1 + 10 v 4 2 1 8 = a cos 目录 结束

a a a a + v 4 8 = cos 4(6.0×107)2+4(5×107)2-22×1014 8×6.0×107×5×107 = 0.925 = 22020 ´ = a 1 = 2×5×107 4.69×107 0.8094 2 1 v = a sin 5404 ´ = a 2 目录 结束

原子核作弹性碰撞，如中子的初始动能为E0， 试证明在碰擅过程中中子动能损失的最大值 为 4mME0/(M+m)2。 目录 结束

解:当原子核静止时,只有在对心碰撞时中 子的动能损失最大,设初速度为 初动能为 E m 2 1 = v ,碰撞后的速度为 v 子的动能损失最大,设初速度为 初动能为 E m 2 1 = v ,碰撞后的速度为 v (完全弹性碰撞) 在对心碰撞时: v M m + ( ) = 2 m M + ( ) E = = E m 2 1 v M + ( ) 目录 结束 = M m + ( ) 2 E 4 = M m + ( ) 2 E Δ E =

3-14 地面上竖直安放着一个劲度系数为 k 的弹簧，其顶端连接一静止的质量 M。有 个质量为m 的物体，从距离顶端为A 处自由 地面的最大压为： M m h 目录 结束

解：选O点为零势能点 2 g h v = v = m + M 2 g h 在完全非弹性碰撞后 x 设平衡位置时的位移为： o x h M g 10 = v = m + M 2 g h 在完全非弹性碰撞后 x 设平衡位置时的位移为： A B M m o x h M g k = x M g k = x 从平衡位置A 到最大位移 B 过程中机械能守恒，得： 2 1 = + ( ) M m v k x g 目录 结束

= k + ( ) M m x g 2 h 1 解得： 弹簧对地面的最大正压力N 为： f = k + ( ) M m x g 2 h 1 = k + ( ) M m x g 2 h 1 解得： 弹簧对地面的最大正压力N 为： 目录 结束 f max = k + ( ) M m x g 2 h 1 N

3-15 一个球从h高处自由落下，掉在地 板上。设球与地板碰撞的恢复系数为e 。 试证： （1）该球停止回跳需经过的时间为: + = 1 g t e 2 h （2）在上述时间内，球经过的路程是: s h 2 + = 1 e 目录 结束

v = e 解: (1) ( ) e v = = g 2 h t v 2 g h = v = ( ) 设第一次反弹的高度为h1 2 v = 10 2 = e 20 1 解: (1) ( ) e v 2 = 1 10 20 = g 2 h t v 10 2 g h = v 20 = ( ) 2 设第一次反弹的高度为h1 2 v 1 = g h e 2 g h = 1 2 e h = 1 设来回一次的时间为: v 10 1 h = g 2 h t 1 = e 2 g h 目录 结束

... ... 设第二次反弹的高度为h2 ,同理有: e 2 g h = e h = = g 2 h t e 依次类推 = t + = t 1 4 e h = 2 = g 2 h t e 依次类推 = t 2 1 + ... = t e g 2 h 1 + ... ( ) 目录 结束

Σ ... ... = t e g 2 h 1 + ( ) + = ( ) 1 a q = t e g 2 h 1 ( ) + + = t n-1 n=1 ∞ = t e g 2 h 1 ( ) + + = t e g 2 h 1 ( ) 目录 结束

... ... ... ... s = 2 h, h , (2) = s + h = h 2 + e = h 2 + e ( ) 1 e = = 2 h, 1 h , ... (2) = s 1 2 + ... h = h 2 + ... e 4 ... = h 2 + e 6 ( ) 1 2 e = h + ( 1 ) 2 e = h + ( 1 ) 目录 结束

3-16 一电梯以1.5m／s匀速上升，一静 止于地上的观察者自某点将球自由释放。释 放处比电梯的底板高 6.4m。球和地板间的 恢复系数为 0.5。问球第一次回跳的最高点 离释放处有多少距离？ 目录 结束

解:当球与底版碰撞时 x t v = 6.4 x h v h g t 2 1 = 6.4m x h + = + t v g 2 1 = = 6.4 x h v h g t 2 1 = 6.4m x h + = + t v g 2 1 = 6.4m + 1.5t 9.8 × 2 1 t 6.4 = t = 1s h g t 2 1 = 9.8 × 4.9m 目录 结束

v = ( ) e v = 1.5m/s = 2 g h v 2 g h = v ( ) e 1.5 2 g h = ( ) e 1.5 2 10 2 = 20 1 ( ) e v 2 = 20 1.5m/s = 2 g h v 1 2 g h = v 10 ( ) e 1.5 2 g h 1 = ( ) e 1.5 2 g h 1 = 0.5 2 g h 1 = 1.5 ( ) + 9.8 4.9 2 × 0.5 = ( 1.5 ) + 7.15 h 1 = (7.15)2 2 × 9.8 2.6m h 1 = s 4.9-2.6 = 2.3m 目录 结束

子弹说平地射入一端固定在弹簧上的木快内， 由弹簧压缩的距离求出子弹的速度。已知子 弹质量是0.02kg木块质量是8.98kg。弹簧 3-17 如图是一种测定子弹速度的方法。 子弹说平地射入一端固定在弹簧上的木快内， 由弹簧压缩的距离求出子弹的速度。已知子 弹质量是0.02kg木块质量是8.98kg。弹簧 的劲度系数是100N/m，子弹射人木块后， 弹簧被压缩10cm。设木块与平面间的动摩 擦系数为0.2，求子弹的速度。 M m k 目录 结束

已知： m =0.02kg M =8.98kg k = 100N/m μ= 0.2 x =10cm 解:由系统动量守恒得： m v M + M + = m v M + ( ) = x k 2 1 弹簧压缩后的弹性势能: v 2 1 M m + ( ) 碰撞后系统的动能: 目录 结束 g = x M m + ( ) A f 压缩过程摩擦力的功:

由功能原理: = g x M m + ( ) 1 k v v = g x M m + ( ) 1 k = 10.18×10 v = 2 g x M m + ( ) 1 k v v = 2 g x M m + ( ) 1 k = 10.18×10 4 v = 319m/s 目录 结束

a 3-18 一质量为 m的铁块静止在质量为M 的劈尖上 ，劈尖本身又静止在水平桌面上 。 设所有接触都是光滑的。当铁块位于高出桌 面h 处时，这个铁块-劈尖系统由静止开始运 动。当铁块落到桌面上时，劈尖的速度有多 大？劈尖与地面的夹角为α。 h m a M 目录 结束

a a a 解：设铁块相对劈尖的 滑行速度为 v v ´ 由动量守恒得： M = m v cos ´ ( ) m v cos ´ M + ( h m a M v ´ 由动量守恒得： M = a m v cos ´ ( ) a m v cos ´ M + ( ) = (1) 由机械能守恒得： ( ´ = ) h 2 sin g m v 1 a cos + M 目录 结束

a a a a a m v cos ´ M + ( ) = (1) ( ´ = ) h sin g m v 1 cos + M ´ + = 2 sin g m v 1 a cos + M ´ + = h 2 g m v a cos M (2) 将(1)代入(2)经整理后得： = 2 ´ + h g m a cos v M ( ) sin = ´ + h g m 2 a cos v M ( ) sin 目录 结束

3-19 在图示系统中，两个摆球并列悬 挂，其中摆球 A质量为 m1= 0.4kg，摆球 B 的质量为 m2 = 0.5kg。摆线竖直时人和 B 刚好相接触。现将 A拉过θ1= 400 后释 放，当它和 B 碰撞后恰好静止。求： （1）当B再次与A相碰后，A能摆升的 最高位置θ2； （2）碰憧的恢复系数。 h m 1 2 q A B 目录 结束

解：(1)设摆长为 l h m q ( ) 1 q h l cos = 由机械能守恒： g m v 2 1 = h 2 g h = v ( 10 2 1 = h 2 g h = v 10 1 ( ) q l cos 碰撞过程动量守恒。由题意： = v 1 10 m 1 v 10 = 2 m 1 v 10 = 2 m 1 = v 2 ( ) q l cos g 目录 结束

v = e m = ( ) q l cos g m = 0.4 0.15 0.8 (2)B再次与A发生碰撞，B球的初速为： v ´ v = 10 20 1 = 2 e m 1 = 2 ( ) q l cos g × m 1 2 = 0.4 0.15 0.8 (2)B再次与A发生碰撞，B球的初速为： v 10 ´ v 10 = 2 ´ = v 20 ´ m 1 2 = v ´ 20 + e ( ) q l cos g m 1 = 2 + e ( ) q l cos g 目录 结束

由机械能守恒： ´ g m v 1 = l ( ) q cos m = + e ( ) q l cos g m = + e ( ) q 2 1 = l ( ) q cos m 1 = 2 + e ( ) q l cos g m 1 = 2 + e ( ) q cos = 0.853 q cos 2 q 2 = 31 46 ´ 目录 结束

m k Q P 3-20 质量为 m1与 m2的两个物体 1和 2可 沿光滑表面 PQR 滑动（如图）。开始，将物体 1压紧弹簧（它与弹簧未联接），然后放手，让 物体1与静止放在 Q处的物体 2作弹性碰撞，假 定弹簧的劲度系数为 k,开始压缩的距离为x0。 (1) 如m1＜m2，问碰擅后物体1能再将弹簧 压缩多大距离 x ? (2)如m1=m2，x又为多少？ (3)如仍为m1＜m2，而物体2到达R时恰好 停止，问原来压缩弹簧的距离x0为多少？ P Q m k 1 2 目录 结束

解：运动过程中， 动量守恒，机械能守恒 取O点为平衡位置， 当弹簧被压缩 x0时： k x m v k x 2 = m v k x = v P Q m k 1 2 x m 1 v 10 k x 2 = m 1 v 10 k x = v 20 = 设碰撞后两物体速度分别为v1,v2 。 由完全弹性碰撞公式： ( ) 2 = v 20 10 1 m + = v 1 ( ) 10 m 2 + = v 2 ( ) 10 20 m 1 + 目录 结束

(1) > m 设m1返回后将弹簧压缩 x , 由机械能守恒 m v 2 k x = m v k x = v m + k x = = 10 m 1 2 + k x = = x m 1 2 + = m 1 2 (2) 代入弹性碰撞公式，得： = v 1 x = 目录 结束

> m (3) 到达R 刚好静止 m v 1 = m gh v = 2gh 0， = v 2gh 将 代入弹性碰撞公式，得： x m 20 2 2gh 将 代入弹性碰撞公式，得： 2 x m 1 + = 4 2gh ( ) k 2 m 1 + k gh x = 目录 结束

mA与 mB，由弹簧联接，开始静止于水平光 滑的桌面上，现将两木块拉开(弹簧被拉长)， 然后由静止释放，求两木块的动能之比。 3-21 如图所示，A、B两木块，质量各为 mA与 mB，由弹簧联接，开始静止于水平光 滑的桌面上，现将两木块拉开(弹簧被拉长)， 然后由静止释放，求两木块的动能之比。 A m B 目录 结束

解：系统的动量守恒 m + = m v = m v ( ) E m v 2 1 = ( ) E m v 2 1 = = E m ∴ A B A m v B = A m v B ( ) E m v 2 1 A = k ( ) E m v 2 1 B = k = E B k A m ∴ 目录 结束

3-22 一质量为m的球，从质量为M的圆 弧形槽中自静止滑下，设圆弧形槽的半径为 R（如图）。若所有摩擦都可忽略，求小球 刚离开圆弧形槽时，小球和木块的速度各是 多少？ M R m 目录 结束

解：设m 刚离开圆弧轨道时的速度为 v M 的速度为V M R m 整个过程机械能守恒 R g m v 2 1 = M V + 动量守恒 = = + m v M V 2 M m + = v R g 解得： 2 M m + = v R g = m v M V 2 + R g ( ) 目录 结束

3-23 图中所示是大型蒸气打桩机示意图， 铁塔高40m，锤的质量10 t，现将长达38.5 m的钢筋混凝土桩打入地层。已知桩的质量 面单位面积所受的泥土阻力为k =2.65×104 N／m2。 （1）桩依靠自重能下沉多深？ （2）桩稳定后把锤提高1m，然后让锤自由 下落而击桩。假定锤与桩发生完全非弹性碰 撞，一锤能打下多深？ （3）当桩已下沉35m时，一锤又能打下多 深？假定此时锤与桩的碰撞不是完全非弹性 碰撞，而是锤在击桩后要反跳5cm。 目录 结束

锤头 桩 目录 结束

ò ò 解：(1)设桩周长为s y f l mg o s = 4×0.5 = 2m 当桩下沉 y 时，阻力为： s f y k = A d mg o s = 4×0.5 = 2m 当桩下沉 y 时，阻力为： s f y k = A d ´ = f y ò l A ´ = f d y s y k ò l = d k l 2 1 = s 由功能原理： = g m l k 2 1 s = A E Δ ´ = g m l k 2 s 2×24×103×9.8 2.65×104×2 8.88m 目录 结束

ò (2)设锤击桩后再下沉深度为 d , 由机械能守恒： 2 g h v = l d + 桩从 下沉到 深度，阻力的功为： ( ) 2 = = l d + 桩从 下沉到 深度，阻力的功为： ( ) 2 = 1 k s d l + ò A f y = k s d l + 打击瞬间动量守恒 m v = M + ( ) 1 m = M + v 1 2 g h 得到： 目录 结束

对于下沉过程应用功能原理(当桩下沉 d 时作为零势能点,即 E2 =0 )。 = E Δ A ( ) k s d l + + = E 2 M 1 2 Δ A f ( ) k s d l + + = E 1 2 M m ( ) v g d + = 2 M m ( ) g d h 由上两式并代入数字化简后得： 2.65d2+13.74d-2.88=0 d = 20cm 目录 结束

h ´ (3)假定锤的反跳高度为： v 2 g h ´ = 反跳速度为： v 2 g h = 锤与桩碰撞前速度为： 设碰撞后桩向下运动动速度为： v 1 M m v 1 = ´ 由动量守恒： ´ + ( ) h = v M m 1 g 2 = 10 2.4 2 9.8 0.05 1 × 4 + ( ) 2.257 = 目录 结束

设桩碰撞后下沉的距离为d1, 由功能原理： A ´ = k 2 1 s ( ) d + l E = d g m v 2 d g m 1 v 2 代入有关数字化简后得： 2.65 161.98 6.113 2 d 1 + = d 2.65 161.98 6.113 m ( ) 2 + × 4 = 5.3 162.18 3.8m 161.98 + = 目录 结束

3-24火箭起飞时，从尾部喷出的气体的 速度为3000 m/s，每秒喷出的气体质量为 600kg。若火箭的质量为 50 t求火箭得到的 加速度。 目录 结束

m u v d = 解： a = v d t m u × = 3000 50 10 2 600 ( ) = 36m/s2 目录 结束

已知电子的角动量为h/2π，求它的角速度。 3-25 电子质量为9×10-31 kg，在半径为 5.3×10-11 m的圆周上绕氢核作匀速运动， 已知电子的角动量为h/2π，求它的角速度。 目录 结束

π π π ω ω ω 解：电子的角动量为： 2 L h m r v = m r h = r v = m r h = = 6.63×10-34 2×3.14×9.1×10-31×(5.3×10-11)2 = 4.13×1016 1/s 目录 结束

3-26 试证质点在有心力场中运动时，在 相等的时间内，它对力心的位矢在空间扫过 相等的面积。 目录 结束

解：质点在有心力场中运动时角动量守恒， 所以有： r d S = L r m v d t = m r d t C = m r d t C r × r m v d t = m r d t × C = m r d t × C r d × = S 2 = m r d t × S 2 C = t d S C ′ 目录 结束

m/s，半年后，地球处于近日点，到太阳的 距离为1.47×1011m。求： （1）地球在近日点时的轨道速度； 3-27 当地球处于远日点时，到太阳的距 离为1.52×1011m，轨道速度为2.93×104 m/s，半年后，地球处于近日点，到太阳的 距离为1.47×1011m。求： （1）地球在近日点时的轨道速度； （2）两种情况下，地球的角速度。 目录 结束

ω ω 解：由角动量守恒 v r = m v r = = 2.93×104×1.52×1011 1.47×1011 3.03×104 m v 1.93×10-7 1/s 1 v r 2.93×104 1.52×1011 2.06×10-7 1/s = ω 2 v r 3.03×104 1.47×1011 目录 结束

vr(<v0)于是它的轨迹成为椭圆， （1）试证引力可写成： 3-28 一质量为m的宇宙飞船绕行星作圆 周运动，圆的半径为R0 ，速率为v0；因火箭 爆发，给飞船增加了向外的径向速度分量 vr(<v0)于是它的轨迹成为椭圆， （1）试证引力可写成： r 2 F = v R m （2）试用R0、v0以及vr，写出椭圆方程。 目录 结束

ε ε F G M m r = (1) 证：(1)由万有引力 R v = G M m = G M v R r F = v R m 2 = (1) 证：(1)由万有引力 R v = G M m 2 = G M v 2 R r 2 F = v R m 代入(1)式得： ε φ 1 p cos = r + (2)已知椭圆方程为： = p L 2 G m r = 2 v m R = R + E 2 ε G M m L 1 = = + E 2 1 R 目录 结束

ε m v 2 1 G M r = + E + = = m v 2 1 G M r + ( ) = + m v 2 1 r ( ) R m v 2 1 G M r = + E k P + = = m v 2 1 G M r + ( ) = + m v 2 1 r ( ) R ε cos φ = r + 1 m v 2 ( ) R 目录 结束

3-29 一质量为m0以速率v0 运动的粒子， 碰到一质量为2m0静止的子。结果，质量为 m0的粒于偏转了450，并具有未速v0/2。 目录 结束

解：由动量守恒 2 45 cos v 1 m = x : + 2 = m v 45 sin 1 y : v m 2 45 x y ( ) 1 cos v 1 m = x : + x 2 = m v y 45 sin 1 y : v m 2 45 x y ( ) 1 4 = v 2 x 解得： 8 = v 2 y 目录 结束

在半径为r 的圆轨迹上运行。试求它的动能。 3-30 角动量为L，质量为m的人造卫星， 在半径为r 的圆轨迹上运行。试求它的动能。 目录 结束

= L m r v 解： = L m r v E m v 2 1 = = L m r 1 ( ) = L m r F G M m r = v k m v 2 1 = = 2 L m r 1 ( ) 2 = L m r F G M m r 2 = ∵ v = G M m 2 r = G M v 2 r ∴ E p = G M m r = m v 2 L r E = + k p = 2 L m r 目录 结束

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ε e σ ò µ » γ π ρ τ δ . ò ¥ ¹ ¶ n ω a h m v 2 1 T T cos t w m a 2 g h g m M m + ( ) t w sin ¥ µ » ¹ £ ¶ sin cos tg ctg sec csc ³ Å ´ § A B C I J D E F G H K L M N O P Q R S T U V W a b c d e g h i j k m n o p f l q r s t u v w x y z ε ò γ π ρ σ τ a δ z h q β l m n φ ψ ω c ξ Φ Ψ Ω o Δ Σ h a b c d x y z X Y Z ò a i j k b c d e 8 1 2 3 . + = > < ( ) ? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⊥ ∵ ∴ m ×

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