1.3.1 函数的基本性质

（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义； （2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 教学目的 （1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义； （2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质； （3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性． 教学重点：函数的单调性及其几何意义． 教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．

观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： 1、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？ 2、随x的增大，y的值有什么变化？

1.3.1 单调性与最大（小）值

请观察函数y=x2与y=x3图象，回答下列问题： 1、当x∈[0，+∞)，x增大时，图（1）中的y值 ；图（2）中的y值 。 2、当x∈(－∞，0)，x增大时，图（1）中的y值 ；图（2）中的y值 。 增大 增大 减小 增大

3、分别指出图(1)、图(2)中，当x ∈[0，+∞)和x∈(－∞，0)时，函数图象是上升的还是下降的？ 4、通过前面的讨论，你发现了什么？ 结论：若一个函数在某个区间内图象是上升的，则函数值y随x的增大而增大，反之亦真； 若一个函数在某个区间内图象是下降的，则函数值y随x的增大而减小，反之亦真。

问题：如何描述气温θ随时间t的变化情况？ 观察某城市一天24小时气温变化图． θ＝f (t)，t∈[0，24] 问题：如何描述气温θ随时间t的变化情况？

如图，研究函数θ＝f(t)，t∈[0，24]的图象在区间[4，14]上的变化情况． 问题： 在区间[4，14]上，如何用数学符号语言来刻 画“θ随t的增大而增大”这一特征？

在[4，14]上任取两个值t1，t2，只要t1＜t2，就有θ1＜θ2，就可以说在区间[4，14]上，θ随t的增大而增大． 　 在[4，14]上，取几个不同的输入值，例如t1＝5，t2＝6，t3 ＝8，t4＝10，得到相对应的输出值θ1，θ2，θ3，θ4．在t1＜t2＜t3＜t4时，有θ1＜θ2＜θ3＜θ4，所以在[4，14]上，θ随t的增大而增大． t θ O 取区间内n个输入值t1，t2，t3，…， tn，得到相对应的输出值θ1，θ2，θ3，…，θn，在t1＜t2＜t3＜…＜tn时，有θ1＜θ2＜θ3＜…＜θn，所以在区间[4，14]上，θ随t的增大而增大． 在[4，14]上任取两个值t1，t2，只要t1＜t2，就有θ1＜θ2，就可以说在区间[4，14]上，θ随t的增大而增大．

设函数y＝f(x)的定义域为A，区间IA,在区间I上，y随x的增大而增大，该如何用数学符号语言来刻画呢？ 　在[4，14]上内任取两个值t1，t2，只要t1＜t2，就有θ1＜θ2，就可以说在区间[4，14]上，θ随t的增大而增大． 问题： 设函数y＝f(x)的定义域为A，区间IA,在区间I上，y随x的增大而增大，该如何用数学符号语言来刻画呢？

函数y＝f(x)的定义域为A，区间IA，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2， 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)， 那么就说函数y=f(x)在区间I上是单调增函数，区间I称为函数y=f(x)的单调增区间.

问题： 如何定义单调减函数和单调减区间呢？

函数y＝f(x)的定义域为A，区间I  A，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)， 那么就说函数y=f(x)在区间I上是单调减函数， 区间I称为函数y=f(x)的单调减区间.

概念辨析 1.函数y＝f(x)，x ∈[0，3]的图象如图所示． O x y 1 2 3 区间[0，3]是该函数的单调增区间吗？

判断 2.对于二次函数f(x)＝x2，因为－1，2∈(－∞，＋∞)，当－1＜2时，f(－1)＜f(2)，所以函数f(x)＝x2在区间(－∞，＋∞)上是单调增函数． 3.已知函数y＝f(x)的定义域为[0，＋∞)，若对于任意的x2＞0，都有f(x2)＜f(0)，则函数y＝f(x)在区间[0，＋∞)上是单调减函数． y x O x2 f(x2)

一、增函数 y x1 x2 x 设函数f(x)的定义域为I: x2 x f(x1) f(x2) 设函数f(x)的定义域为I: 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2, 当x1＜x2时,都有f(x1)＜ f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数

二、减函数 三、单调性与单调区间 y 设函数f(x)的定义域为I: x2 x 设函数f(x)的定义域为I: 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2, 当x1＜x2时,都有f(x1)＞ f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数 三、单调性与单调区间 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这个区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做y=f(x)的单调区间.

想一想 ：如何从一个函数的图象来判断这个函数在定义域内的某个单调区间上是增函数还是减函数？ 请问: 在单调区间上增函数的图象是__________, 减函数的图象是__________. (填“上升的”或“下降的”) 上升的 下降的 想一想 ：如何从一个函数的图象来判断这个函数在定义域内的某个单调区间上是增函数还是减函数？ 如果这个函数在某个单调区间上的图象是上升的，那么它在这个单调区间上就是增函数；如果图象是下降的，那么它在这个单调区间上就是减函数。

1、增函数、减函数的三个特征： （1）局部性：也就是说它肯定有一个区间。区间可以是整个定义域，也可以是其真子集，因此，我们说增函数、减函数时，必须指明它所在的区间。如y=x+1 (X∈Z)不具有单调性 （2）任意性：它的取值是在区间上的任意两个自变量，决不能理解为很多或无穷多个值。 （3）一致性 增函数： ＜ f( ) f( ) ＜ 减函数： ＜ f( ) ＞ f( )

例1.下图是定义在 闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象,根据图象说出y=f(x)的单调区间,以及在每个单调区间上, y=f(x)是增函数还是减函数? 在区间[-2,1),[3,5]上是增函数.

告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时， 压强p将增大。试用函数的单调性证明之。 例2：物理学中的玻意耳定律 （k为正常数） 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时， 压强p将增大。试用函数的单调性证明之。 V k p = 分析：按题意，只要证明函数在区间上是减函数 即可。

例2、物理学中的玻意耳定律 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大。试用函数的单调性证明之。 证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+∞)上的任意两个实数，且V1<V2，则 取值 变形 作差 由V1，V2∈ (0，+∞)且V1<V2，得V1V2>0, V2- V1 >0 又k>0,于是 定号 所以，函数 是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大. 结论

f(x1)-f(x2)=x13-x23 =(x1-x2)(x12+x1x2 +x22 ) 例：证明函数f(x)= x3在R上是增函数. 证明：设x1,x2是R上任意两个 实数， 且x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=x13-x23 =(x1-x2)(x12+x1x2 +x22 ) = (x1-x2)[(x1+ x2) 2 + x22] 因为 x1<x2 ，则 x1-x2 <0 又 (x1+ x2) 2 + x22>0 所以 f(x1)-f(x2)<0 即 f(x1)<f(x2) 所以f(x)= x3在R上是增函数.

探究： 画出反比例函数 的图象。 （1）这个函数的定义域I是什么？ （2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明 你的结论。 通过观察图象，先对函数是否具有某种性质做 出猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确 性，是研究函数性质的一种常用方法。

取x1=-1，x2=1 f（-1）=-1 f（1）=1 -1＜1 f（-1）＜f（1） 证明： 设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则 f（x）在定义域 上是减函数吗？ 取x1=-1，x2=1 f（-1）=-1 f（1）=1 -1＜1 f（-1）＜f（1） 1 －1 O x y

方法小结 用定义证明函数的单调性的步骤: (1). 设x1＜x2, 并是某个区间上任意二值; (2). 作差 f(x1)－f(x2) ; ② 配成非负实数和。 ③有理化。 (4). 作结论.

⑴当0 < x1 < x2 < 1时， x1 x2 < 1， ∴ x1 x2 –1 < 0 5、讨论函数f(x)= x + 在(0,+∞) 上的单调性. 解：设 0 <x1 < x2 则 f (x1) – f ( x2) =（x1 - x2）+ -(x1 –x2) (x1 x2 –1) x1·x2 1 x1 1 x2 = ∵0 < x1 < x2 ∴x1 - x2 < 0, x1·x2 > 0 ⑴当0 < x1 < x2 < 1时， x1 x2 < 1， ∴ x1 x2 –1 < 0 ∴f ( x1) – f ( x2 ) < 0 即 f ( x1) > f ( x2) ∴ f (x)= x + 1 x 在(0,1]上是减函数. ⑵当1 < x1 < x2 时， x1 x2 > 1， ∴ x1 x2 –1 > 0 ∴f ( x1) – f ( x2 ) > 0 即 f ( x1) < f ( x2) ∴ f (x)= x + 1 x 在[1，+∞）上是增函数.

例3求函数f(x)=x+ （k>0）在x>0上的单调性 解：对于x2>x1>0,f(x2)-f(x1)=x2-x1+ - 因 (x1x2-k) = >0 X12-k <x1x2-k <x22-k 故x22-k≤0即x2≤ 时，f(x2)<f(x1) 同理x1≥ 时，f(x2)>f(x1) 总之，f(x)的增区间是 ，减区间是

图象上有一个最低点（0,0），即对于任意的 ， 都有 图象没有最低点。

画出下列函数的草图，并根据图象解答下列问题： (1) (2) 1 说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性； 2 指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ o x y x y o 2 -1

1．最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最大值

2．最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最小值

注意： 1、函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M； 2、函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．

例3、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一. 制造时一般是期望在它达到最高点(大约是在距地面高度25m到30m处)时爆裂 例3、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点(大约是在距地面高度25m到30m处)时爆裂. 如果在距地面高度18m的地方点火，并且烟花冲出的速度是14.7m/s. 写出烟花距地面的高度与时间之间的关系式. (2) 烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到1m).

解: (1)设烟花在t秒时距地面的高度为h m,则由物体运动原理可知： h(t)= -4.9t2+14.7t+18

例3.求函数 在区间[2，6]上的最大值和最小值． 例3.求函数 在区间[2，6]上的最大值和最小值． 解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2,则 由于2<x1<x2<6,得x2- x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,于是 所以，函数 是区间[2,6]上的减函数.

因此,函数 在区间[2,6]上的两个端点上分别取得最大值和最小值，即在点x=2时取最大值，最大值是2，在x=6时取最小值，最小值为0.4 .

（二）利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法 1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值 2. 利用图象求函数的最大(小)值 3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b) ； 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

1、函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-∞，6]内递减，则a的取值范围是( ) A、a≥3 B、a≤3 C、a≥-3 D、a≤-3 课堂练习 1、函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-∞，6]内递减，则a的取值范围是( ) A、a≥3 B、a≤3 C、a≥-3 D、a≤-3 D 2、在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在(-∞，-2]上递减，在[-2,+∞)上递增，则f(x)在[1,2]上的值域____________. [21,39]

归纳小结 1、函数的最大（小）值及其几何意义． 2、利用函数的单调性求函数的最大（小）值．

证明：函数f(x)=1/x 在(0，+∞)上是减函数。 证明：设x1,x2是(0，+∞)上任意两个实数，且x1<x2，则 取值 f(x1)- f(x2)= 作差 变形 由于x1,x2 得x1x2>0,又由x1<x2得x2-x1>0 所以f(x1)- f(x2)>0, 即f(x1)> f(x2) 判断符号 因此 f(x)=1/x 在(0，+∞)上是减函数。 下结论

例题讲解： 例1 设函数 f(x) =x2-2x-3.3在区间[t，t+1]上的最小值为g(t)，求g(t)的解析式。 分析 (1)当t>1时，则g(t)=f(t)=t2-2t-3.3; (2)当0≤t ≤1时，则g(t)=f(1)=-4.3; (3)当t+1<1，即t<0时，则g(t)=f(t+1)=t2-4.3; t2-2t-3.3; (0≤t ≤1) g(t)= (t<0) t2-4.3; -4.3; (t>1)

例2 求 f(x) =x2-ax+a在区间[-1，1]上的最值。 分析

例2 求 f(x) =x2-ax+a在区间[-1，1]上的最值。 分析 解：f(x)=(x- )2+a- ，对称轴为x= (1)若 ，即a≤-2时， f(x)min=f(-1)=1+2a，f(x)max=f(1)=1; (2)若-1< <0 ,即-2<a<0时，f(x)min=f( )=a-a2/4，f(x)max=f(1)=1; (3)若0 ≤ <1 ,即0≤a<2时，f(x)min=f( )= a-a2/4， f(x)max=f(-1)=1+2a; (4)若 , 即a≥2时， f(x)min=f(1)=1， f(x)max=f(-1)=1+2a;

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在 实数M满足： （1）对于任意的 ，都有 ； （2）存在 ，使得 四、函数的最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在 实数M满足： （1）对于任意的 ，都有 ； （2）存在 ，使得 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值 （maximum value）。 注意： ①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在 ，使得 ； ②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的 ， 都有 ．

例1：“菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制造时 一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距 地面的高度hm与时间ts之间的关系为 ，那么烟花冲出后什么时候是 它爆裂的最佳时刻？这时距地面的 高度是多少（精确到1m）？

分析：由函数 的图象可知，函数 在区间[2,6]上递减.所以，函数在区间[2,6]的 两个端点上分别取得最大值和最小值。

（一）创设情景，揭示课题． 画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ ① ② ③ ④

①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在 ，使得 ； 1．函数最大（小）值定义 最大值：一般地 ，设函数的定义域为I如果存在实数M满足： （1）对于任意的 ，都有 ； （2）存在 ，使得 ． 那么，称M是函数 的最大值． 思考：依照函数最大值的定义，结出函数 的最小值的定义． 注意： ①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在 ，使得 ；

②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的 ， 都有 ． 2．利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法． ①配方法 ②换元法 ③数形结合法

例1：“菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制造时 一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距 地面的高度hm与时间ts之间的关系为 ，那么烟花冲出后什么时候是 它爆裂的最佳时刻？这时距地面的 高度是多少（精确到1m）？

例2．将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？ 解：设利润为 元，每个售价为 元，则每个涨（ －50）元，从而销售量减少 ∴ ＜100） ∴ ∴答：为了赚取最大利润，售价应定为70元．

例3．求函数 在区间[2，6] 上的 最大值和最小值． 例4．求函数 的最大值．

再见