!!! 请记住：矩阵是否等价只须看矩阵的秩是否相同。 矩阵的秩是矩阵的一个重要的数字特征。 显然，若两个矩阵有相同的秩，则这两个矩 阵有相同的标准形，从而等价；反之，若两个矩阵等价，则它们的秩相同。即有： 定理：矩阵A与B等价的充要条件是r(A)=r(B). !!! 请记住：矩阵是否等价只须看矩阵的秩是否相同。 满秩矩阵 定义：若方阵A的秩与其阶数相等，则称A为满秩矩阵； 否则称为降秩矩阵。 E----满秩阵 O----降秩阵 ( 满秩非奇异 降秩奇异） 定理：设A为满秩阵，则A的标准形为同阶单位阵 E .即
推论1：以下命题等价： 证
r(A) = r(PA) = r(PAQ) = r(AQ) 推论2：矩阵A与B等价的充要条件为存在m阶及 n阶满秩阵P、Q，使 由此还可得到： 若P、Q为满秩阵，则 r(A) = r(PA) = r(PAQ) = r(AQ) 例： 逆矩阵
定义：对n阶方阵A，若有n阶矩阵B，使AB=BA=E，则 称B为A的逆矩阵，称A为可逆的。 A的逆记为： （1）逆阵惟一。 设B,C都是A的逆，则 B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C （2）并非每个方阵都可逆。 例如 就不可逆。 这是不可 能的。故 A不可逆。 要解决的问题： 1.方阵满足什么条件时可逆? 2.可逆时，逆阵怎样求？
复习：伴随矩阵 伴随矩阵 ?? 代数余子式的顺序! 二阶A矩阵的伴随矩阵. 你记住 了吗？
公式 一个很重 要的式子
定理:n阶方阵A可逆的充要条件是 证: 牢记这个定理
例1. 解： 例 2. 证: 同理证其它两式。
这说明初等矩阵的逆阵仍为同类型的初等矩阵。 ——这是初等矩阵的第三个性质。 练习：求逆阵 ？？ ？ 的逆怎样求？
逆阵的性质 背过这些公式！
逆阵的求法 方法一： 初等变换法。 方法二：
Ex
方法三：用定义求。 猜：
方法四：用定义证明B为A的逆。
逆阵的应用——求解矩阵方程
求解矩阵方程时，一定要记住：先化简，再求解。