机械制图 电大泾川县工作站 教者：杜红伟

机 机 械 械 制 制 图 图 第一章 制图基础知识与技能 第二章 正投影基础 第三章 组合体 第四章 轴侧图 第五章 机件的表达方法 第六章 标准件和常用件 第七章 零件图 第八章 装配图

正投影基础 2.1 投影的形成及常用的投影方法 2.2点、线、面的投影 2.3 几何元素的相对位置 2.4 体的投影及三视图 2.1 投影的形成及常用的投影方法 2.2点、线、面的投影 2.3 几何元素的相对位置 正投影基础 2.4 体的投影及三视图 2.5 平面体与回转体的截切 2.6 两立体相交

3.1 组合体的组成方式 组合体 3.2 组合体的画图方法 3.3 组合体的看图方法

2·1 投影的形成及常用的投影方法 画透视图 画斜轴测图 中心投影法 投影方法 斜角投影法 平行投影法 直角投影法（正投影法） 2·1 投影的形成及常用的投影方法 画透视图 画斜轴测图 中心投影法 投影方法 斜角投影法 平行投影法 直角投影法（正投影法） 画工程图样及正轴测图

中心投影法 投影特性 投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。 度量性较差 物体位置改变，投影大小也改变 投射中心 投射线 物体 投影 投影面 投影特性 投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。 度量性较差

平行投影法 投 影 特 性 投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 度量性较好 工程图样多数采用正投影法绘制。 投射线互相平行且垂直于投影面 投射线互相平行且倾斜于投影面 直角（正）投影法 斜角投影法 投 影 特 性 投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 度量性较好 工程图样多数采用正投影法绘制。

2.2.1 点的投影 一、点在一个投影面上的投影 过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。 ● A P a 过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。 ● P b ● 点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。 B1 ● B2 ● B3 解决办法？ 采用多面投影。

二、点的三面投影 投影面 投影轴 ◆正面投影面（简称正 面或V面） ◆水平投影面（简称水 平面或H面） ◆侧面投影面（简称侧 面或W面） Z ◆正面投影面（简称正 面或V面） V W ◆水平投影面（简称水 平面或H面） o X H Y ◆侧面投影面（简称侧 面或W面） 投影轴 三个投影面互相垂直 OX轴 V面与H面的交线 OY轴 H面与W面的交线 OZ轴 V面与W面的交线

空间点A在三个投影面上的投影 a 点A的正面投影 a 点A的水平投影 a 点A的侧面投影 空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。 Z a 点A的正面投影 V W a ● a 点A的水平投影 A ● a ● o X a ● a 点A的侧面投影 H Y 空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。

投影面展开 不动 向右翻 a a  V W V a a a a W H a a H 向下翻 Z y X Y O z x Z z A ● z x Z V W V a a z ● A a x a ● ● X W O H a y a ● H Y 向下翻

aa⊥OZ轴 ① aa⊥OX轴 ② aax= aaz=y=A到V面的距离 aax= aay=z=A到H面的距离 ● Y Z az a X ay O a ax a Z V a a z ● A a x a ● ● X W O a y a ● 点的投影规律: H Y aa⊥OZ轴 ① aa⊥OX轴 ② aax= aaz=y=A到V面的距离 aax= aay=z=A到H面的距离 aay= aaz=x=A到W面的距离

例：已知点的两个投影，求第三投影。 解法一: 通过作45°线使aaz=aax a 解法二: 用圆规直接量取aaz=aax a az a ● a ● ax a ● ● a a ax 解法二: az a ● 用圆规直接量取aaz=aax

三、两点的相对位置 判断方法： 两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。 ▲ x 坐标大的在左 ▲ y 坐标大的在前 Z a a ● b b X YW 判断方法： a b YH ▲ x 坐标大的在左 ▲ y 坐标大的在前 B点在A点之前、之右、之下。 ▲ z 坐标大的在上

四、重影点： 空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。 A、C为H面的重影点 A、C为哪个投影面的重影点呢？ ● c c a c ( ) A、C为哪个投影面的重影点呢？ 被挡住的投影加( )

2.2.2直线的投影 两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。 一、直线的投影特性 a a a b b b ● 两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。 一、直线的投影特性 ⒈ 直线对一个投影面的投影特性 ● A B a b α A M B ● a≡b≡m A B ● a b 直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=ABcosα 直线垂直于投影面 投影重合为一点 积　聚　性 直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab=AB

⒉ 直线在三个投影面中的投影特性 投影面平行线 投影面垂直线 一般位置直线 正平线（平行于Ｖ面） 平行于某一投影面而 侧平线（平行于Ｗ面） 与其余两投影面倾斜 正平线（平行于Ｖ面） 投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面） 水平线（平行于Ｈ面） 统称特殊位置直线 正垂线（垂直于Ｖ面） 垂直于某一投影面 投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面） 铅垂线（垂直于Ｈ面） 与三个投影面都倾斜的直线 一般位置直线

① 在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面倾角的实大。 ⑴ 投影面平行线 水平线 正平线 侧平线 实长 实长 b a a b b a b a a a b b b a a b a b β γ α α β γ 与H面的夹角:α 与V面的角:β 与W面的夹角: γ 实长 投 影 特 性： ① 在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面倾角的实大。 ② 另两个投影面上的投影平行于相应的投影 轴。

⑵ 投影面垂直线 投影特性: 铅垂线 正垂线 侧垂线 ① 在其垂直的投影面上， 投影有积聚性。 ② 另外两个投影， 反映线段实长。且垂直 ● c(d) c d d c ● e f e f e(f) ● a b a(b) a b 投影特性: ① 在其垂直的投影面上， 投影有积聚性。 ② 另外两个投影， 反映线段实长。且垂直 于相应的投影轴。

⑶ 一般位置直线 投影特性： 三个投影都缩短。即: 都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角的实大，且与三根投影轴都倾斜。 b b a 三个投影都缩短。即: 都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角的实大，且与三根投影轴都倾斜。

二、直线与点的相对位置 判别方法： AC/CB=ac/cb= ac / cb ◆ 若点在直线上, 则点的投影必在直线的同名投影上。并将线段的同名投影分割成与空间相同的比例。即：　 V b c B a C A b c AC/CB=ac/cb= ac / cb a H ◆若点的投影有一个不在直线的同名投影上， 则该点必不在此直线上。 定比定理

例1：判断点C是否在线段AB上。 点C在直线AB上 点C不在直线AB上 c ② a b c a b a b c a b c ① ● a b c a b c ① 点C在直线AB上 点C不在直线AB上

因k不在a b上， 故点K不在AB上。 ● ● k b b 因k不在a b上， 故点K不在AB上。 a k b 另一判断法? 应用定比定理

三、两直线的相对位置 空间两直线的相对位置分为： 平行、相交、交叉。 投影特性： ⒈ 两直线平行 ⒈ 两直线平行 空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。 a V H c b c d A B C D b d a

AB//CD 例1：判断图中两条直线是否平行。 对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。 ① b d a c

例2：判断图中两条直线是否平行。 对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。 求出侧面投影后可知： AB与CD不平行。 ② c c 对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。 a a d d b b c b d a 求出侧面投影后可知： 如何判断？ AB与CD不平行。 求出侧面投影

⒉ 两直线相交 判别方法： 若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。 交点是两直线的共有点 H V A B C D K a b c d k a b c k d a b c d b a c d k k 判别方法： 若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。

例：过C点作水平线CD与AB相交。 ● c a b b a c d k k d 先作正面投影

Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。 ⒊ 两直线交叉 投影特性： d b a a b c d c 3 4 ● 两直线相交吗？ 1(2 ) 为什么？ ● 1 2 ● ★ 同名投影可能相交，但 “交点”不符合空间一个点的投影规律。 ● ★ “交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。 3(4 ) Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。

⒋ 两直线垂直相交（或垂直交叉） 直角的投影特性： 若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。 证明： A B C a b c H 设 直角边BC//H面 因 BC⊥AB, 同时BC⊥Bb 所以 BC⊥ABba平面 又因 BC∥bc 故 bc ⊥ABba平面 a c b a b c . 因此 bc⊥ab 即 ∠abc为直角 直线在H面上的投影互相垂直

例：过C点作直线与AB垂直相交。 a AB为正平线, 正面投影反映直角。 d . d b c ● c ● a b

 小 结  重点掌握： ★点与直线的投影特性，尤其是特殊位置 直线的投影特性。 ★点与直线及两直线的相对位置的判断方 法及投影特性。  小 结  重点掌握： ★点与直线的投影特性，尤其是特殊位置 直线的投影特性。 ★点与直线及两直线的相对位置的判断方 法及投影特性。 ★定比定理。 ★直角定理，即两直线垂直时的投影特性。

一、点的投影规律 ① aa⊥OX轴 aa⊥OZ轴 ② aax= aaz=y=A到V面的距离 aax= aay=z=A到H面的距离 ● x a z ① aa⊥OX轴 aa⊥OZ轴 ② aax= aaz=y=A到V面的距离 aax= aay=z=A到H面的距离 aay= aaz=x=A到W面的距离

二、各种位置直线的投影特性 ⒈ 一般位置直线 ⒉ 投影面平行线 ⒊ 投影面垂直线 三个投影与各投影轴都倾斜。 在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相应的投影轴。 ⒊ 投影面垂直线 在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。

三、直线上的点 ⒈ 点的投影在直线的同名投影上。 ⒉ 点分线段成定比，点的投影必分线段的投影 成定比——定比定理。 四、两直线的相对位置 ⒈ 平行 同名投影互相平行。 ⒉ 相交 同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。 ⒊ 交叉（异面） 同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一对重影点的投影。

五、相互垂直的两直线的投影特性 ⒈ 两直线同时平行于某一投影面时，在该 投影面上的投影反映直角。 ⒉ 两直线中有一条平行于某一投影面时， 在该投影面上的投影反映直角。 ⒊ 两直线均为一般位置直线时， 在三个投影面上的投影都不 反映直角。 直角定理

2.2.3 平面的投影 一、平面的表示法 不在同一直线上的三个点 直线及线外一点 两平行直线 两相交直线 平面图形 a b c a b ● a b c a b c a b c a b c ● ● a b c a b c a b c a b c ● ● a b c a b c d ● d ● 不在同一直线上的三个点 直线及线外一点 两平行直线 两相交直线 平面图形

二、平面的投影特性 ⒈ 平面对一个投影面的投影特性 投 影 特 性 倾斜 平行 垂直 实形性 ★ 平面平行投影面-----投影就把实形现 投 影 特 性 ★ 平面平行投影面-----投影就把实形现 ★ 平面垂直投影面-----投影积聚成直线　 ★ 平面倾斜投影面-----投影类似原平面 实形性 积聚性 类似性

⒉ 平面在三投影面体系中的投影特性 平面对于三投影面的位置可分为三类： 投影面垂直面 特殊位置平面 投影面平行面 一般位置平面 正垂面 侧垂面 铅垂面 垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面 投影面垂直面 特殊位置平面 正平面 侧平面 水平面 平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面 投影面平行面 与三个投影面都倾斜 一般位置平面

⒈ 投影面垂直面 投影特性： 在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。 b b 类似性 类似性 是什么位置的平面？ c c a a 为什么？ c β b 积聚性 铅垂面 γ a 投影特性： 在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。 另外两个投影面上的投影有类似性。

⒉ 投影面平行面 投影特性： 在它所平行的投影面上的投影反映实形。 另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。 积聚性 积聚性 a b c a b c a b c 实形性 水平面 投影特性： 在它所平行的投影面上的投影反映实形。 另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。

⒊ 一般位置平面 a b c a c b a b c 投影特性： 三个投影都类似。

三、平面上的直线和点 ⒈ 平面上取任意直线 判断直线在平面内的方法 定 理 一 若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。 定 理 二 ⒈ 平面上取任意直线 判断直线在平面内的方法 定 理 一 若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。 定 理 二 若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。

根据定理二 根据定理一 解法一 解法二 有无数解。 例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试 在平面内任作一条直线。 根据定理二 根据定理一 解法一 解法二 d d b a b c b c a m n c m a n b a c 有多少解？ 有无数解。

例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到 H面的距 离为10mm。 唯一解！ c a b c a b 有多少解？ m n 10 n

⒉ 平面上取点 面上取点的方法： 先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。 ⒉ 平面上取点 首先面上取线 面上取点的方法： 先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。 例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。 b ① a c c a k b ● ② ● a b c a b k c d d k ● k ● 利用平面的积聚性求解 通过在面内作辅助线求解

例2：已知AC为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。 解法一 解法二 a d a d b c a d a d b c k c c k b

2.3 几何元素的相对位置 相对位置包括平行、相交和垂直。 一、平行问题 定理： 直线与平面平行 平面与平面平行 ⒈ 直线与平面平行 2.3 几何元素的相对位置 相对位置包括平行、相交和垂直。 一、平行问题 包括 直线与平面平行 平面与平面平行 ⒈ 直线与平面平行 定理： 若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。

例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。 有无数解 b 有多少解？ n c n m a ● b a ● m c

例2：过M点作直线MN平行于V面和平面 ABC。 b 正平线 n c m a ● c a n m ● 唯一解 b

⒉ 两平面平行 ① 若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。 ⒉ 两平面平行 c f b d e a a b c d e f ① 若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。 f h a b c d e f h a b c d e ② 若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。

二、相交问题 直线与平面相交 平面与平面相交 ⒈ 直线与平面相交 直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。 要讨论的问题： 见性。 ⒈ 直线与平面相交 直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。 要讨论的问题： ● 求直线与平面的交点。 ● 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可 见性。 我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。

例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。 ⑴ 平面为特殊位置 空间及投影分析 平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。 k ● 1(2) a ● c m 作 图 ① 求交点 m 2 ● c ② 判别可见性 k ● 由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。 1 ● b a n 还可通过重影点判别可见性。

直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。 ⑵ 直线为特殊位置 空间及投影分析 m b 直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。 k ● c a ● 1(2) n b 作图 用面上取点法 k ① 求交点 2 ● m(n) ● c 1 ● a ② 判别可见性 点Ⅰ位于平面上，在前；点Ⅱ位于MN上，在后。故k 2为不可见。

⒉ 两平面相交 要讨论的问题： 两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。 ① 求两平面的交线 方法： ⒉ 两平面相交 两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。 要讨论的问题： ① 求两平面的交线 方法： ⑴ 确定两平面的两个共有点。 ⑵ 确定一个共有点及交线的方向。 ② 判别两平面之间的相互遮挡关系，即： 判别可见性。 只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。

例：求两平面的交线MN并判别可见性。 空间及投影分析 作 图 能! 平面ABC与DEF都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线，只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。 ⑴ f a b e ● m(n) c d e 能否不用重影点判别？ 作 图 a n ● c ① 求交线 d 能! ② 判别可见性 m ● 从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。 f b 如何判别？ 可通过正面投影直观地进行判别。

⑵ 空间及投影分析 b 平面EFH是一水平面，它的正面投影有积聚性。ab与ef的交点m 、 b c与f h的交点n即为两个共有点的正面投影，故mn即MN的正面投影。 e m ● f n ● 1 ● h 2 ● c a b e 作 图 ① 求交线 m ● h n ● ② 判别可见性 ● 1(2) a 点Ⅰ在FH上，点Ⅱ在BC上，点Ⅰ在上，点Ⅱ在下，故fh可见，n2不可见。 c f

投影分析 ⑶ N点的水平投影n位于Δdef的外面，说明点N位于ΔDEF所确定的平面内，但不位于ΔDEF这个图形内。 b 投影分析 m ● f d k ● n ● N点的水平投影n位于Δdef的外面，说明点N位于ΔDEF所确定的平面内，但不位于ΔDEF这个图形内。 所以ΔABC和ΔDEF的交线应为MK。 e a c b f m ● e a k ● n ● c 互交 d

 小 结 重点掌握： 一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的 投影特性。 二、如何在平面上确定直线和点。  小 结 重点掌握： 一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的 投影特性。 二、如何在平面上确定直线和点。 三、两平面平行的条件一定是分别位于两平面 内的两组相交直线对应平行。 四、直线与平面的交点及平面与平面的交线是 两者的共有点或共有线。 解题思路： ★空间及投影分析 目的是找出交点或交线的已知投影。 ★判别可见性 尤其是如何利用重影点判别。

要 点 一、各种位置平面的投影特性 ⒈ 一般位置平面 ⒉ 投影面垂直面 ⒊ 投影面平行面 三个投影为边数相等的类似多边形——类似性。 要 点 一、各种位置平面的投影特性 ⒈ 一般位置平面 三个投影为边数相等的类似多边形——类似性。 ⒉ 投影面垂直面 在其垂直的投影面上的投影积聚成直线 ——积聚性。 另外两个投影类似。 ⒊ 投影面平行面 在其平行的投影面上的投影反映实形 ——实形性。 另外两个投影积聚为直线。

⑵ 过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线。 二、平面上的点与直线 ⒈ 平面上的点 一定位于平面内的某条直线上 ⒉ 平面上的直线 ⑴ 过平面上的两个点。 ⑵ 过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线。 三、平行问题 ⒈ 直线与平面平行 直线平行于平面内的一条直线。 ⒉ 两平面平行 必须是一个平面上的一对相交直线对应平行 于另一个平面上的一对相交直线。

四、相交问题 ⒈ 求直线与平面的交点的方法 ⑴ 一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用 交点的共有性和平面的积聚性直接求解。 ⑵ 投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用 交点的共有性和直线的积聚性，采取平面上 取点的方法求解。 ⒉ 求两平面的交线的方法 ⑴ 两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置， 有时可找出两平面的一个共有点，根据交线 的投影特性画出交线的投影。 ⑵ 一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用 特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共 有点，求出交线。

2.4.1 体的投影及三视图 一、体的投影 体的投影，实质上是构成该体的所有表面的投影总和。 V W H

二、三面投影与三视图 2.三视图之间的度量对应关系 1.视图的概念 主视俯视长相等且对正 长对正 宽相等 高平齐 主视左视高相等且平齐 视图就是将物体向投影面投射所得的图形。 长 宽 主视图(front view) 体的正面投影 俯视图(vertical view) 体的水平投影 左视图(left view) 体的侧面投影 三等关系 2.三视图之间的度量对应关系 主视俯视长相等且对正 长对正 宽相等 高平齐 主视左视高相等且平齐 俯视左视宽相等且对应

3.三视图之间的方位对应关系  主视图反映：上、下 、左、右  俯视图反映：前、后 、左、右  左视图反映：上、下 、前、后 上 上  主视图反映：上、下 、左、右  俯视图反映：前、后 、左、右  左视图反映：上、下 、前、后

2.4.2基本体的形成及其三视图 常见的基本几何体 平面基本体 曲面基本体

一、平面基本体 1.棱柱 ⑴ 棱柱的组成 ⑵ 棱柱的三视图 ⑶ 棱柱面上取点 由两个底面和几个侧棱面组成。侧棱面与侧棱面的交线叫侧棱线，侧棱线相互平行。 ⑵ 棱柱的三视图 在图示位置时，六棱柱的两底面为水平面，在俯视图中反映实形。前后两侧棱面是正平面，其余四个侧棱面是铅垂面，它们的水平投影都积聚成直线，与六边形的边重合。  a  a  (b)  b ⑶ 棱柱面上取点  b 由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上取点与在平面上取点的方法相同。  a 点的可见性规定：若点所在的平面的投影可见，点的投影也可见；若平面的投影积聚成直线，点的投影也可见。

2.棱锥 ⑴ 棱锥的组成 ⑵ 棱锥的三视图 ⑶ 在棱锥面上取点 由一个底面和几个侧棱面组成。侧棱线交于有限远的一点——锥顶。 s  s  ⑵ 棱锥的三视图  k  k 棱锥处于图示位置时，其底面ABC是水平面，在俯视图上反映实形。侧棱面SAC为侧垂面，另两个侧棱面为一般位置平面。  n  n ( ) a c b a(c) b a b c s   n  k ⑶ 在棱锥面上取点 同样采用平面上取点法。

二、回转体 1.圆柱体 ⑴ 圆柱体的组成 由圆柱面和两底面组成。圆柱面是由直线AA1绕与它平行的轴线OO1旋转而成。 直线AA1称为母线。 圆柱面上与轴线平行的任一直线称为圆柱面的素线。  a  a ⑵ 圆柱体的三视图 圆柱面的俯视图积聚成一个圆，在另两个视图上分别以两个方向的轮廓素线的投影表示。 利用投影的积聚性 ⑶ 轮廓线素线的投影与曲面的 可见性的判断  a ⑷ 圆柱面上取点

2.圆锥体 ⑴ 圆锥体的组成 ⑵ 圆锥体的三视图 （3）圆锥面上取点 ★辅助直线法 ★辅助圆法 O S A O1 过锥顶作一条素线。 由圆锥面和底面组成。圆锥面是由直线SA绕与它相交的轴线OO1旋转而成。 S称为锥顶，直线SA称为母线。圆锥面上过锥顶的任一直线称为圆锥面的素线。 ● s ● s ● ⑵ 圆锥体的三视图 在图示位置，俯视图为一圆。另两个视图为等边三角形，三角形的底边为圆锥底面的投影，两腰分别为圆锥面不同方向的两条轮廓素线的投影。  k (n) ●  (n)  k ● n 过锥顶作一条素线。 s （3）圆锥面上取点  k ★辅助直线法 ★辅助圆法

3.圆球 ⑴ 圆球的形成 ⑵ 圆球的三视图 （3）圆球面上取点 辅助圆法 圆母线以它的直径为轴旋转而成。 三个视图分别为三  k  k 三个视图分别为三 个和圆球的直径相等的 圆，它们分别是圆球三 个方向轮廓线的投影。 （3）圆球面上取点  k 辅助圆法

2.5 平面体及回转体的截切 截切： 用一个平面与立体相交，截去立体的一部分。  截平面 —— 用以截切物体的平面。 2.5 平面体及回转体的截切 截切： 用一个平面与立体相交，截去立体的一部分。  截平面 —— 用以截切物体的平面。  截交线 —— 截平面与物体表面的交线。  截断面 —— 因截平面的截切，在物体上形 成的平面。 讨论的问题：截交线的分析和作图 。

2.5.1 平面体的截切 一、平面截切的基本形式 截交线的性质：  截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其 形状取决于平面体的形状及截平面对平面体的截切 位置。  截交线的每条边是截平面与棱面的交线。 求截交线的实质是求两平面的交线

二、平面截切体的画图 关键是正确地画出截交线的投影。 ⒈ 求截交线的两种方法： ★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。 ★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。 ⒉ 求截交线的步骤： 确定截交 线的形状 ★ 空间及投影分析 ☆ 截平面与体的相对位置 ☆ 截平面与投影面的相对位置 ★ 画出截交线的投影 确定截交线 的投影特性 分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。

例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。 ★ 空间分析 ★ 投影分析 ★ 求截交线 ★ 分析棱线的投影 ★ 检查 尤其注意检查截 截平面与立体的几个棱面相交？ 1 1 ● (4) 4 ● 2 ● 2 3 3 ● ★ 空间分析 4 ● ★ 投影分析 3 ● 1 ● ★ 求截交线 截交线在俯、左视图上的形状？ 2 ● ★ 分析棱线的投影 ★ 检查 尤其注意检查截 交线投影的类似性

例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。 我们采用的是哪种解题方法？ 棱线法！

例2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。 注意： 2 ● 1 ● 1 2 1(2) 注意： 要逐个截平面分析和绘制截交线。当平面体只有局部被截切时，先假想为整体被截切，求出截交线后再取局部。

例2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。

例 3: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。 检查截交线的投影 求截交线 P 截交线的投影特性？ 分析棱线的投影 截交线的形状？ 4≡5 5 4 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ 7 6 3 2 2≡3≡6≡7 1≡8 8 1 7 8 5 6 截交线的投影特性？ 检查截交线的投影 分析棱线的投影 截交线的形状？ 求截交线 3 4 1 2

例 3: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。

2.5.2 回转体的截切 一、回转体截切的基本形式 截交线的性质：  截交线是截平面与回转体表面的共有线。  截交线的形状取决于回转体表面的形状及 截平面与回转体轴线的相对位置。  截交线都是封闭的平面图形。

二、求平面与回转体的截交线的一般步骤 ⒈ 空间及投影分析 ⒉ 画出截交线的投影 ☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置，以便确定截交线的形状。 ☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交 线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出 截交线的已知投影，予见未知投影。 ⒉ 画出截交线的投影 当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： ☆ 先找特殊点，补充中间点。 ☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可 见性。

㈠ 圆柱体的截切 截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置 垂直 倾斜 平行 圆 椭圆 两平行直线 P PV PV PV

例1：求左视图 解题步骤： ● ● ★空间及投影分析 截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置 ★求截交线 ★分析圆柱体轮廓素线的投影

例1：求左视图 解题步骤： ★空间及投影分析 截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置 ★求截交线 ★分析圆柱体轮廓素线的投影

例2：求左视图 ● ●

例2：求左视图

例3：求俯视图

例3：求俯视图

例4：求左视图 ● ● ● ● ● ● 截交线的空间形状？ ● ● ★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影

例4：求左视图 ★找特殊点 ★找中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影

椭圆的长、短轴随截平面与圆柱轴线夹角的变化而改变。 45° 什么情况下投影为圆呢？ 截平面与圆柱轴线成45°时。

例5：求左视图 例5：求左视图 虚实分界点

㈡ 圆锥体的截切 根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状。 双曲线 PV α θ= 0°＜α 过锥顶 两相交直线 PV 抛物线 θ=α 圆 PV θ θ= 90° PV 椭圆 α θ θ＞α

截交线的空间形状？ 截交线的投影特性？ 例: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。 ★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 如何找椭圆另一根轴的端点？ ★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的 投影

例: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。

㈢ 球体的截切 平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，但根据截平面与投影面的相对位置不同，其截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。

例：求半球体截切后的俯视图和左视图。 两个侧平面截圆球的截交线的投影，在侧视图上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线。 水平面截圆球的截交线的投影，在俯视图上为部分圆弧，在侧视图上积聚为直线。

例：求半球体截切后的俯视图和左视图。

㈣ 复合回转体的截切 首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。 例：求作顶尖的俯视图 ● ● ● ● ● ● ● ● ● 首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。

小 结 一、平面体的截交线一般情况下是由直线组成 的封闭的平面多边形，多边形的边是截平 面与棱面的交线。 求截交线的方法：棱线法 棱面法 求截交线的方法：棱线法 棱面法 二、平面截切回转体，截交线的形状取决于截 平面与被截立体轴线的相对位置。 截交线是截平面与回转体表面的共有线。

三、解题方法与步骤 ⒈ 空间及投影分析 ⑴ 分析截平面与被截立体的相对位置，以 确定截交线的形状。 ⑵ 分析截平面与被截立体对投影面的相对 位置，以确定截交线的投影特性。 ⒉ 求截交线 当截交线的投影为非圆曲线时，要先找特殊点，再补充中间点，最后光滑连接各点。 注意分析平面体的棱线和回转体轮廓素线的投影。

⒊ 当单体被多个截平面截切时，要逐个截 平面进行截交线的分析与作图。当只有 局部被截切时，先按整体被截切求出截 交线，然后再取局部。 ⒋ 求复合回转体的截交线，应首先分析复 合回转体由哪些基本回转体组成以及它 们的连接关系，然后分别求出这些基本 回转体的截交线，并依次将其连接。

2.6.1 概 述 两立体相交叫作相贯，其表面产生的交线叫做相贯线。 本章主要讨论常用不同立体相交时其表面相贯线的投影特性及画法。 2.6.1 概 述 两立体相交叫作相贯，其表面产生的交线叫做相贯线。 本章主要讨论常用不同立体相交时其表面相贯线的投影特性及画法。 1.相贯的形式 平面体与回转体相贯 回转体与回转体相贯 多体相贯

2.相贯线的主要性质 ★ 表面性 ★ 封闭性 ★ 共有性 其作图实质是找出相贯的两立体表面的若干共有点的投影。 相贯线位于两立体的表面上。 相贯线一般是封闭的空间折线（通常由直线和曲线组成）或空间曲线。 ★ 共有性 相贯线是两立体表面的共有线。 其作图实质是找出相贯的两立体表面的若干共有点的投影。

2.6.2 平面体与回转体相贯 1.相贯线的性质 相贯线是由若干段平面曲线（或直线）所组成的空间折线，每一段是平面体的棱面与回转体表面的交线。 2.作图方法 求交线的实质是求各棱面与回转面的截交线。  分析各棱面与回转体表面的相对位置，从而确 定交线的形状。  求出各棱面与回转体表面的截交线。  连接各段交线，并判断可见性。

例1：补全主视图 空间分析： 四棱柱的四个棱面分别与圆柱面相交，前后两棱面与圆柱轴线平行，截交线为两段直线；左右两棱面与圆柱轴线垂直，截交线为两段圆弧。 投影分析： 由于相贯线是两立体表面的共有线，所以相贯线的侧面投影积聚在一段圆弧上，水平投影积聚在矩形上。

例1：补全主视图

例2：求作主视图

例2：求作主视图

2.6.3 回转体与回转体相贯 1. 相贯线的性质 2.作图方法  利用投影的积聚性直接找点。 ⒊ 作图过程 相贯线一般为光滑封闭的空间曲线，它是两回转体表面的共有线。 2.作图方法  利用投影的积聚性直接找点。  用辅助平面法。 确定交线 的范围 ⒊ 作图过程 确定交线的 弯曲趋势  先找特殊点。  补充中间点。

例 1 ：圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。 求相贯线的投影： 利用积聚性，采用表面取点法。 ☆ 找特殊点 ☆ 补充中间点 ☆ 光滑连接 ● ● ● ● 求相贯线的投影： 空间及投影分析： 小圆柱轴线垂直于H面，水平投影积聚为圆，根据相贯线的共有性，相贯线的水平投影即为该圆。大圆柱轴线垂直于W面，侧面投影积聚为圆，相贯线的侧面投影在该圆上。 利用积聚性，采用表面取点法。 ☆ 找特殊点 ● ☆ 补充中间点 ☆ 光滑连接

例 1 ：圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。

当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势。 交线为两条平面 曲线（椭圆） 交线向大圆 柱一侧弯

例2：补全主视图 ★ 外形交线 ★ 内形交线 ◆ 两外表面相贯 ◆ 一内表面和一外表面相贯 ◆ 两内表面相贯 ● ● ● ● ● ● ● ●

例2：补全主视图 小 结： 无轮是两外表面相贯，还是一内表面和一外表面相贯，或者两内表面相贯，求相贯线的方法和思路是一样的。

例3：求主视图 ● ● ● ● ● × 相切处无线 外表面与外表面相贯，内表面与内表面相贯。分别求其相贯线。 ●

例3：求主视图

例 4：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。 ◆ 空间及投影分析： 相贯线为一光滑的封闭的空间曲线。它的侧面投影有积聚性，正面投影、水平投影没有积聚性，应分别求出。 ◆ 解题方法：辅助平面法

辅助平面法： 作图方法： 辅助平面的选择原则： 根据三面共点的原理，利用辅助平面求出两回转体表面上的若干共有点，从而画出相贯线的投影。 假想用辅助平面截切两回转体，分别得出两回转体表面的截交线。由于截交线的交点既在辅助平面内，又在两回转体表面上，因而是相贯线上的点。 辅助平面的选择原则： 使辅助平面与两回转体表面的截交线的投影简单易画，例如直线或圆。 一般选择投影面平行面

假想用水平面P截切立体，P面与圆柱体的截交线为两条直线，与圆锥面的交线为圆，圆与两直线的交点即为交线上的点。 例 4：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。 P ● 假想用水平面P截切立体，P面与圆柱体的截交线为两条直线，与圆锥面的交线为圆，圆与两直线的交点即为交线上的点。

例 4：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。 ● ● ● ● 解题步骤： ● ★ 求特殊点 ● ★ 用辅助平面法求 中间点 ★ 光滑连接各点

例 4：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。 解题步骤： ★ 求特殊点 ★ 用辅助平面法求 中间点 ★ 光滑连接各点

例5：补全主视图 这是一个多体相贯的例子，首先分析它是由哪些基本体组成的，这些基本体是如何相贯的，然后分别进行相贯线的分析与作图。 2 3 ● ● ● ● ● 1 ●

例5：补全主视图 三面共点 ● ● 作图时要抓住一个关键点，相贯线汇交于这一点。 ● 哪个点呢？

例6：求俯视图 ● ● ● ● ● ● ●

例6：求俯视图

小 结 一、本章的基本内容 ⒈ 立体表面相贯线的概念 ⒉ 求相贯线的基本方法 二、解题过程 ⒈ 交线分析 小 结 一、本章的基本内容 ⒈ 立体表面相贯线的概念 相贯线的性质：表面性 共有性 封闭性 ⒉ 求相贯线的基本方法 面上找点法 辅助平面法 二、解题过程 ⒈ 交线分析 ⑴ 空间分析： 分析相交两立体的表面形状， 形体大小及相对位置，预见交线的形状。 ⑵ 投影分析： 是否有积聚性投影？找出相贯线的已知投影，预见未知投影，从而选择解题方法。

⒉ 作图 当相贯线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： ⑴ 找点 ☆ 先找特殊点 特殊点包括：最上点、最下点、最左点、 最右点、最前点、最后点、 轮廓线上的点等。 ☆ 补充若干中间点 ⑵连线 ⑶检查、加深 尤其注意检查回转体轮廓素线的投影。

三、平面体与圆柱体相贯 ⒈ 相贯线的产生： ⒉ 求相贯线的方法： 求平面体的棱面与圆柱面的截交线，依次连接起来。 ⒊ 相贯线的形状及投影： 外表面与外表面相交，外表面与内表面相交，内表面与内表面相交。 ⒉ 求相贯线的方法： 求平面体的棱面与圆柱面的截交线，依次连接起来。 ⒊ 相贯线的形状及投影： 相贯线为封闭的空间折线。相贯线在非积聚性投影上总是向被穿的圆柱体里面弯折，而且在两体相交区域内不应有圆柱体轮廓线的投影。

四、两圆柱体相贯 ⒈ 相贯线的产生： 外表面与外表面相交，外表面与内表面相交，内表面与内表面相交。 ⒉ 求相贯线的方法： 常用的方法是利用积聚性表面取点，也可用辅助平面法。 ⒊ 相贯线的形状及投影： 相贯线为光滑封闭的空间曲线。当两圆柱正交，小圆柱穿大圆柱时，相贯线在非积聚性投影上总是向大圆柱里弯曲，当两圆柱直径相等时，相贯线在空间为两个椭圆，其投影变为直线。 在两体相交区域内不应有圆柱体轮廓线的投影。

五、多体相贯 每个局部都是两体相贯，首先分析它是由哪些基本体组成的，然后两两进行相贯线的分析与作图。

3.1 组合体的组成方式 组合体 —— 由平面体和曲面体组成的物体 一、组合体的组成方式 ⒈ 叠加 叠加的形式包括： 表面不平齐叠加 　 叠加的形式包括： 表面不平齐叠加 表面平齐叠加

同轴叠加 非对称叠加 对称叠加

⒉ 相交 ⒊ 截切

二、形体之间的表面过渡关系 ⒈ 两形体叠加时的表面过渡关系 虚线 实线 无线 (b)前面平齐 后面不平齐 (a) 平齐 (c) 不平齐

⒉ 两形体表面相切时，相切处无线。 无线 无线 无线 ●

⒊ 两形体相交时，在相交处应画出交线。 有线 有线

三、组合体的画图和读图方法 根据组合体的形状，将其分解成若干部分，弄清各部分的形状和它们的相对位置及组合方式，分别画出各部分的投影。 形体分析法： 视图上的一个封闭线框，一般情况下代表一个面的投影，不同线框之间的关系，反映了物体表面的变化。 面形分析法：

3.2 组合体的画图方法 一、画图步骤及要领  对组合体进行形体分解 —— 分块  弄清各部分的形状及相对位置关系。 3.2 组合体的画图方法 一、画图步骤及要领  对组合体进行形体分解 —— 分块  弄清各部分的形状及相对位置关系。  按照各块的主次和相对位置关系，逐个画 出它们的投影。  分析及正确表示各部分形体之间的表面过 渡关系  检查、加深。

二、组合体的画图方法 例1 ：求作轴承座的三视图 凸台  ● ● ●  圆筒 支撑板 ● ● 肋板 底 板

例 2：求作导向块的三视图

3.3 组合体的看图方法 一、看图时需要注意的几个问题 1. 要把几个视图联系起来进行分析 例：

例：

2.注意抓特征视图 形状特征视图 ——最能反映物体形状特征的那个视图。 例： 形状特征视图

位置特征视图 ——最能反映物体位置特征的那个视图。 位置特征视图

二、看图的方法和步骤 看图的方法 看图的步骤： 1.看视图抓特征 形体分析法 面形分析法  看视图 —— 以主视图为主，配合其它 视图,进行初步的投影分析和空间分析。  抓特征 —— 找出反映物体特征较多的 视图，在较短的时间里，对物体有个大 概的了解。

2.分解形体对投影 3.综合起来想整体  分解形体 —— 参照特征视图，分解形 体。  对投影 —— 利用“三等”关系，找出 每一部分的三个投影，想象出它们的形 状。 3.综合起来想整体 在看懂每部分形体的基础上，进一步分析它们之间的组合方式和相对位置关系，从而想象出整体的形状。

谢谢