第 2 章 点、直线、平面的投影  2.1 投影法及其分类  2.2 点的投影  2.3 直线的投影  2.4 平面的投影 第 2 章 点、直线、平面的投影  2.1 投影法及其分类  2.2 点的投影  2.3 直线的投影  2.4 平面的投影  2.5 直线与平面及两平面的 相对位置  本章小结 结束放映

2.1 投影法及其分类 投影法 平行投影法 中心投影法 投射线通过物体，向选定的平面进行投射，并在该面上得到图形的方法——投影法。 投射中心 斜投影法 正投影法 投射线 物体 投影 投影面 中心投影法 平行投影法 投射线通过物体，向选定的平面进行投射，并在该面上得到图形的方法——投影法。

中心投影法 投 影 特 性 投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。 度量性较差。 物体位置改变，投影大小也改变。 投射线 物体 投影面 投影 投射中心 投 影 特 性 投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。 度量性较差。

平 行 投 影 法 投 影 特 性 投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 度量性较好。 工程图样多数采用正投影法绘制。

画透视图 画斜轴测图 中心投影法 投影法 斜投影法 平行投影法 正投影法 画工程图样及正轴测图

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2.2 点的投影 一、点在一个投影面上的投影 过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。 ● A P 过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。 a ● P b ● 点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。 B3 ● B2 ● B1 ● 解决办法？ 采用多面投影。

二、点的三面投影 投影面 投影轴 ◆正面投影面（简称正 面或V面） ◆水平投影面（简称水 平面或H面） ◆侧面投影面（简称侧 面或W面） Z ◆正面投影面（简称正 面或V面） V W ◆水平投影面（简称水 平面或H面） O X H Y ◆侧面投影面（简称侧 面或W面） 投影轴 三个投影面互相垂直 OX轴 V面与H面的交线 OY轴 H面与W面的交线 OZ轴 V面与W面的交线

空间点A在三个投影面上的投影 点A的正面投影 点A的水平投影 点A的侧面投影 a a a 注意： W H V O X Z Y a 点A的正面投影 a ● a 点A的水平投影 A ● a ● a ● a 点A的侧面投影 注意： 空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。

投影面展开 不动 Z 向右翻 a Z a X Y O  V W V a a A a X a O W H a a H Y 向下翻 z ● x z Z a y X Y O  V W V a a z ● A a X x a ● ● O W H a y a ● H Y 向下翻

aa⊥OZ轴 ① aa⊥OX轴 ② aax= aaz =y =Aa（A到V面的距离） aay= aaz =x ● ● V a a z ● X ax O Y A a ay X x a ● ● W O ay a ● a a y Y ● H Y 点的投影规律: aa⊥OZ轴 ① aa⊥OX轴 ② aax= aaz =y =Aa（A到V面的距离） aay= aaz =x =Aa（A到W面的距离） aax= aay =z =Aa （A到H面的距离）

例：已知点的两个投影，求第三投影。 解法一: 通过作45°线使aaz=aax 解法二: 用圆规直接量取aaz=aax az a a ● a ● ax a ● ● a a ax 解法二: az a ● 用圆规直接量取aaz=aax

三、两点的相对位置 判断方法： 两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。 ▲ x 坐标大的在左 ▲ y 坐标大的在前 Z a a ● b b o X Y 判断方法： a b Y ▲ x 坐标大的在左 ▲ y 坐标大的在前 B点在A点之前、之右、之下。 ▲ z 坐标大的在上

重影点： 空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。 A、C为H面的重影点 被挡住的投影加( ) ● ● c c ● ● a c ● ( ) 被挡住的投影加( ) A、C为哪个投影面的重影点呢？

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2.3 直线的投影 两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。 一、直线的投影特性 ⒈ 直线对一个投影面的投影特性 a a a b b b ● 两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。 一、直线的投影特性 ⒈ 直线对一个投影面的投影特性 ● A B a b  A M B ● a≡b≡m B A ● a b 直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=AB.cos 直线垂直于投影面 投影重合为一点 积　聚　性 直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab=AB

⒉ 直线在三个投影面中的投影特性 其投影特性取决于直线与三个投影面间的相对位置 投影面平行线 投影面垂直线 一般位置直线 平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜 正平线（平行于Ｖ面） 投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面） 水平线（平行于Ｈ面） 统称特殊位置直线 正垂线（垂直于Ｖ面） 垂直于某一投影面 投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面） 铅垂线（垂直于Ｈ面） 与三个投影面都倾斜的直线 一般位置直线

⑴ 投影面平行线 水平线 投影特性： ① 在其平行的那个投影 面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投 影面倾角的实大。 V H a b A γ β B W ′ ″ ② 另两个投影面上的投 影平行于相应的投影 轴，其到相应投影轴 距离反映直线与它所 平行的投影面之间的 距离。 Z ″ b a O Y ′ ″ X β γ 实长

判断下列直线是什么位置的直线？ 正平线 侧平线 直线与投影面夹角的表示法： 与H面的夹角:  与V面的角:β 与W面的夹角:γ 实长 实长 b a a b a b b a a b b a 实长 γ β   直线与投影面夹角的表示法： 与H面的夹角:  与V面的角:β 与W面的夹角:γ

投影特性: ⑵ 投影面垂直线 铅垂线 正垂线 侧垂线 ① 在其垂直的投影面上， 投影有积聚性。 ② 另外两个投影， ● a b a(b) a b ● c(d) c d d c ● e f e f e(f) 投影特性: ① 在其垂直的投影面上， 投影有积聚性。 ② 另外两个投影， 反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。

⑶ 一般位置直线 Z  Y a O X b  H a β γ A b  V B W   投影特性 三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段的实长。

二、直线与点的相对位置 ◆若点在直线上,则点的投影必在直线的同名投影上。 ◆点的投影将线段的同名投影分割成与空间线段相同的比例。即： c A H a V b B C W ′ ″ c a X b Y O Z ′ ″ ◆若点在直线上,则点的投影必在直线的同名投影上。　 ◆点的投影将线段的同名投影分割成与空间线段相同的比例。即： AC:CB=ac:cb= ac : cb= ac : cb 定比定理

例1：判断点C是否在线段AB上。 应用定比定理 不在 在 不在 另一判断法? ② c a b c a b a b c a b c ● a b c a b c ① ● 不在 在 ● a a b c b ③ c a 不在 另一判断法? ● c b 应用定比定理

例2：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。 解法一： （应用第三投影） 解法二： （应用定比定理） ● a a b b k ● a a b b k a ● ● k ● k ● k ● b

三、两直线的相对位置 空间两直线的相对位置分为： 平行、相交、交叉（异面）。 ⒈ 两直线平行 b c d H A d a C V D B  a c d b c O X   空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。

例：判断图中两条直线是否平行。 AB与CD平行。 AB与CD不平行。 ① 对于一般位置直线，只要有两组同名投影互相平行，空间两直线就平行。 ② b d c a AB与CD不平行。 对于特殊位置直线，只有两组同名投影互相平行，空间直线不一定平行。

⒉ 两直线相交 若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影特性。 交点是两直线的共有点 b c V k c a b d b a c d k k a d B C D K A O X a d k b c H 若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影特性。

例1：过C点作水平线CD与AB相交。 a ● b b a c k d d k c ● 先作正面投影

例2：判断直线AB、CD的相对位置。 相交吗？ 不相交！ 为什么？ 交点不符合空间一个点的投影特性。 判断方法？ ⒈ 应用定比定理 ′ ′ b 不相交！ 为什么？ ′ a 交点不符合空间一个点的投影特性。 d ′ a d 判断方法？ b ⒈ 应用定比定理 c ⒉ 利用侧面投影

⒊ 两直线交叉 不相交！ 交点不符合一个点的投影规律！ 两直线相交吗？ 为什么？ c a b d O X a c A C V b H d D ′ a c A C V b H d D B ′ 两直线相交吗？ 不相交！ 交点不符合一个点的投影规律！ 为什么？

投影特性： ★ 同名投影可能相交，但 “交点”不符合空间一个 点的投影规律。 ★ “交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其 a c A C V b H d D B ′ c a b d O X ′ 2 1 1(2) Ⅱ Ⅰ ′ ● 1 ● ′ ′ Ⅳ 4 3(4 ) 3 Ⅲ ● ● 3(4 ) 3 4 ′ 2 ● ′ ● 1(2) 投影特性： ★ 同名投影可能相交，但 “交点”不符合空间一个 点的投影规律。 ★ “交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其 可帮助判断两直线的空间位置。

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2.4 平面的投影 一、平面的表示法 不在同一直线上的三个点 直线及线外一点 两平行直线 两相交直线 平面图形 c a b c a b 2.4 平面的投影 一、平面的表示法 c ● a b c a b a b c a b c ● b ● a c a b c a b c a b c ● c ● a b a b c d ● d ● 不在同一直线上的三个点 直线及线外一点 两平行直线 两相交直线 平面图形

二、平面的投影特性 ⒈ 平面对一个投影面的投影特性 投 影 特 性 倾斜 平行 垂直 实形性 ★平面平行投影面——投影就把实形现 积聚性 ★平面垂直投影面——投影积聚成直线 ★平面倾斜投影面——投影类似原平面 实形性 积聚性 类似性

⒉ 平面在三投影面体系中的投影特性 平面对于三投影面的位置可分为三类： 投影面垂直面 特殊位置平面 投影面平行面 一般位置平面 正垂面 侧垂面 铅垂面 垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面 投影面垂直面 特殊位置平面 正平面 侧平面 水平面 平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面 投影面平行面 与三个投影面都倾斜 一般位置平面

⑴ 投影面垂直面 投影特性： 为什么？ 在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。 b b 类似性 类似性 c c a a 积聚性 β c b 铅垂面 γ a 投影特性： 是什么位置的平面？ 为什么？ 在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。 另外两个投影面上的投影为类似形。

⑵ 投影面平行面 投影特性： 在它所平行的投影面上的投影反映实形。 另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。 积聚性 积聚性 a b c a b c a b c 实形性 水平面 投影特性： 在它所平行的投影面上的投影反映实形。 另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。

⑶ 一般位置平面 a b c a c b a b c 投影特性： 三个投影都类似。

思考：此题有几个解？ 例：正垂面ABC与H面的夹角为45°，已知其水平投影 及顶点B的正面投影，求△ABC的正面投影及侧面 投影。 c ● a c b 思考：此题有几个解？

三、平面上的直线和点 ⒈ 平面上取任意直线 位于平面上的直线应满足的条件： 若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。 ● M N 若一直线过平面上的一点且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。 A B ● M

例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在 平面内任作一条直线。 解法一: 解法二: d d a b c b c a a b c b c a m ● n ● m ● n ● 有多少解？ 有无数解！

例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到 H面的距离为10mm。 有多少解？ 唯一解！ a m n 10 c b b c n m

⒉ 平面上取点 面上取点的方法： 先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。 首先面上取线 面上取点的方法： 先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。 例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。 b a c a k b ● ① c ② ● a b c a b k c d d k ● k ● 利用平面的积聚性求解 通过在面内作辅助线求解

例2：已知AC为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。 解法一: 解法二: b c a d a d b c k c a

例3：在△ABC内取一点M，并使其到H面V面的 距离均为10mm。 X b c a a O e m ● d 10 10 e d m ●

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2.5 直线与平面及两平面的相对位置 相对位置包括平行、相交和垂直。 一、平行问题 直线与平面平行 平面与平面平行 ⒈ 直线与平面平行 若平面外的一直线平行于平面内的某一直线，则该直线与该平面平行。

例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。 b d n c m a ● b d n a ● m c 有多少解？ 有无数解

例2：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。 正平线 d c n m a ● c a d n m ● b 唯一解

⒉ 两平面平行 ①若一平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。 ⒉ 两平面平行 c f b d e a a b c d e f ①若一平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。 f h a b c d e f h a b c d e ②若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。

例：判断平面ABDC与平面EFHM是否平行, 已知AB∥CD∥EF∥MH k h 由于ek不平行于ac,故两平面不平行。 f b d X O b d f h k a c e m

二、相交问题 直线与平面相交 平面与平面相交 ⒈ 直线与平面相交 直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。 要讨论的问题： 见性。 ⒈ 直线与平面相交 直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。 ● 要讨论的问题： ● 求直线与平面的交点。 ● 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可 见性。 我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。

例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。 ⑴ 平面为特殊位置 空间及投影分析 平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。 k ● 1(2) ● 作图 用线上取点法 ①求交点 2 ● ②判别可见性 k ● 1 ● 由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。 还可通过重影点判别可见性。

⑵ 直线为特殊位置 空间及投影分析 作图 直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。 ① 求交点 b 直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。 k ● c a ● 1(2) n b 作图 用面上取点法 k ① 求交点 2 ● m(n) ● c 1 ● ② 判别可见性 a 点Ⅰ位于平面上，在前；点Ⅱ位于MN上，在后。故k2为不可见。

⒉ 两平面相交 要讨论的问题： 两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。 ⑴ 求两平面的交线 ⒉ 两平面相交 两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。 要讨论的问题： ⑴ 求两平面的交线 方法： ① 确定两平面的两个共有点。 ② 确定一个共有点及交线的方向。 ⑵ 判别两平面之间的相互遮挡关系，即： 判别可见性。 只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。

例：求两平面的交线 MN并判别可见性。 空间及投影分析 ⑴ 作图 能! 平面ABC与DEF都为正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂直于OX轴。 ⑴ f a b m(n) e ● c d  X O e 作图 a n ● c ① 求交线 d ② 判别可见性 m ● 从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。 能否不用重影点判别？ f 能! b 如何判别？ 可通过正面投影直观地进行判别。

例：求两平面的交线 MN并判别可见性。 空间及投影分析 ⑴ 作图 平面ABC与DEF都为正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂直于OX轴。 ⑴ f a b m(n) e ● c d X O 作图 e a n ● ① 求交线 c ② 判别可见性 d 从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。 m ● f b

平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与ac、bc的交点m 、n 即为两个共有点的水平投影，故mn即为交线MN的水平投影。 ⑵ 空间及投影分析 a′ a b d(e) e′ b′ d′ h(f) c f′ c′ h′ 平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与ac、bc的交点m 、n 即为两个共有点的水平投影，故mn即为交线MN的水平投影。 m′ ● 1(2 ) ′ n′ ● ● 作图 ① 求交线 ② 判别可见性 2 ● m ● 点Ⅰ在MC上，点Ⅱ在FH上，点Ⅰ在前，点Ⅱ在后，故mc 可见。 n ● 1 ●

⑵ 空间及投影分析 d′ h′ 平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与ac、bc的交点m 、n 即为两个共有点的水平投影，故mn即为交线MN的水平投影。 m′ ● n′ ● b′ c′ e′ f′ 作图 a ① 求交线 ② 判别可见性 h(f) m ● 点Ⅰ在MC上, 点Ⅱ在FH上，点Ⅰ在前，点Ⅱ在后，故mc 可见。 b n ● d(e) c

⑶ 投影分析 互交 N点的水平投影n位于Δdef 的外面，说明点N位于ΔDEF所确定的平面内，但不位于ΔDEF这个图形内。 b 投影分析 m ● f d k ● n ● N点的水平投影n位于Δdef 的外面，说明点N位于ΔDEF所确定的平面内，但不位于ΔDEF这个图形内。 所以ΔABC和ΔDEF的交线应为MK。 e a c b f m ● e a k ● n ● c 互交 d

⑶ 投影分析 互交 N点的水平投影n位于Δdef 的外面，说明点N位于ΔDEF所确定的平面内，但不位于ΔDEF这个图形内。 b m ● f d 投影分析 k ● e N点的水平投影n位于Δdef 的外面，说明点N位于ΔDEF所确定的平面内，但不位于ΔDEF这个图形内。 所以ΔABC和ΔDEF的交线应为MK。 a c b f m ● e a k ● c d 互交

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 小 结  重点掌握： ★ 点、直线、平面的投影特性，尤其是特殊位置直 线与平面的投影特性。  小 结  重点掌握： ★ 点、直线、平面的投影特性，尤其是特殊位置直 线与平面的投影特性。 ★ 点、直线、平面的相对位置的判断方法及投影特性。 一、直线上的点 ⒈ 点的投影在直线的同名投影上。 ⒉ 点的投影必分线段的投影成定比——定比定理。 ⒊ 判断方法 a b c a b c ① 直线为一般位置时 ② 直线为特殊位置时 b a b k a k ●

二、两直线的相对位置 ⒈ 平行 同名投影互相平行。 c b d d b a c ② a a b c d c a b d ① 对于一般位置直线，只 要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。 对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。

⒉ 相交 ⒊ 交叉（异面） 同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。 同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一对重影点的投影。 c ′ a b d ② ● c a b b a c d k k d ①

三、点与平面的相对位置 面上取点的方法 b a c a k b ① c ② a b c a b k c 利用平面的积聚性求解 ● ① c ② ● a b c a b k c 利用平面的积聚性求解 通过在面内作辅助线求解

四、直线与平面的相对位置 ⒉ 直线与平面相交 ⒈ 直线与平面平行 直线平行于平面内的一条直线。 ⑴ 一般位置直线与特殊位置平 a b c m n c n b a m ⑴ 一般位置直线与特殊位置平 面求交点，利用交点的共有 性和平面的积聚性，采用直 线上取点的方法求解。 m(n) b ● m n c b a a c ⑵ 投影面垂直线与一般位置平 面求交点，利用交点的共有 性和直线的积聚性，采取平 面上取点的方法求解。

五、两平面的相对位置 ⒈ 两平面平行 ⑴ 若一平面上的两相交 直线分别平行于另一 平面上的两相交直线， 则这两平面相互平行。 c f b d e a a b c d e f ⑴ 若一平面上的两相交 直线分别平行于另一 平面上的两相交直线， 则这两平面相互平行。 f h a b c d e f h a b c d e ⑵ 若两投影面垂直面相 互平行，则它们具有 积聚性的那组投影必 相互平行。

⒉ 两平面相交 ⑴ 两特殊位置平面相交，分 析交线的空间位置，有时 可找出两平面的一个共有 点，根据交线的投影特性 画出交线的投影。 a b c d e f c f d b e a ⑴ 两特殊位置平面相交，分 析交线的空间位置，有时 可找出两平面的一个共有 点，根据交线的投影特性 画出交线的投影。 a′ a b d(e) e′ b′ d′ h(f) c f′ c′ h′ ⑵ 一般位置平面与特殊位置 平面相交，可利用特殊位 置平面的积聚性找出两平 面的两个共有点，求出交 线。

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