第四章 插补原理与速度控制 第一节 插补原理 一、插补及其算法 二、脉冲增量插补 三、数字增量插补 第二节 刀具半径补偿 第四章 插补原理与速度控制 第一节 插补原理 一、插补及其算法 二、脉冲增量插补 三、数字增量插补 第二节 刀具半径补偿 一、刀具半径补偿的基本概念 二、B功能刀具半径补偿计算 三、C功能刀具半径补偿 第三节 进给速度和加减速控制 一、开环CNC系统的进给速度及加减速控制 二、闭环(或半闭环)CNC系统的加减速控制

第一节 插补原理 一、插补及其算法 所谓“插补”就是指在一条已知起点和终点的曲线上进行数据点的密化。插补的任务就是根据进给速度的要求，在一段零件轮廓的起点和终点之间，计算出若干个中间点的坐标值。 CNC系统中具有的插补功能有直线插补功能、圆弧插补功能、抛物线插补功能以及螺旋线插补功能等。 直线和圆弧插补功能采用的插补算法一般为脉冲增量插补算法和数字增量插补（数据采样插补）算法。

（一）脉冲增量插补算法 脉冲增量插补为行程标量插补。这类插补算法的特点是每次插补结束仅产生一个行程增量，以一个个脉冲的方式输出。脉冲增量插补算法主要应用在开环数控系统中。 一个脉冲所产生的坐标轴移动量叫做脉冲当量，通常用δ表示。脉冲当量δ是脉冲分配的基本单位，按机床设计的加工精度选定。 脉冲当量δ值越小，数控机床的加工精度就越高，对数控系统的计算能力的要求也越高。采用脉冲增量插补算法的CNC系统，其坐标轴进给速度受插补程序运行时间的限制。

（二）数字增量（数据采样）插补算法 1.数字增量插补的特点 数字增量插补也称数据采样插补，它为时间标量插补，这类插补算法的特点是插补运算分两步完成：第一步是粗插补：计算出插补周期内各坐标轴的增量值。第二步是精插补：根据采样得到的实际位置增量值，计算跟随误差，得到速度指令，输出给伺服系统，通常称为精插补。 ⑴粗插补 它是在给定起点和终点的曲线之间插入若干个点，即用若干条微小直线段来逼近给定的曲线，这些微小直线段的长度ΔL相等且与给定的进给速度有关。由于粗插补在每个插补周期内之计算一次，因此每一微小直线段的长度ΔL与进给速度F和插补周期T的关系如下： ΔL=FT。粗插补在每个插补周期内计算出坐标位置增量值。

　　⑵精插补 精插补是在粗插补算出的每一条微小直线段上再做“数据点的密化”工作，这一步相当于对直线的脉冲增量插补。粗插补一般用软件来实现，精插补既可以用软件完成，也可以用硬件来完成。 ⒉ 数字增量插补实现过程 粗插补在每个插补周期内计算出坐标位置增量值，而精插补则在每个采样周期内采样闭环或半闭环反馈位置增量值及插补输出的指令位置增量值。然后算出各坐标轴相应的插补指令位置和实际反馈位置并进行比较，计算出跟随误差。根据跟随误差算出相应轴的进给速度指令并输出给驱动装置。插补周期和采样周期可以相等，也可以不相等，如不相等，则插补周期应是采样周期的整数倍。

二、脉冲增量插补 （一）逐点比较法 逐点比较法又称区域判别法或醉步式近似法。逐点比较法的基本思想是被控制对象在数控装置的控制下，按要求的轨迹运动时，每走一步都要和规定的轨迹比较，根据比较的结果决定下一步的移动方向。逐点比较法可以实现直线和圆弧插补。 逐点比较法的特点是运算直观，插补误差小于一个脉冲当量，而且输出脉冲均匀，输出脉冲的速度变化小，调节方便。 逐点比较法的应用对象主要在两坐标开环CNC系统中应用。

如图所示，对XY平面第一象限直线段进行插补。直线段起点位于坐标原点O，终点位于A（Xe,Ye）。设点P（Xi，Yi）为任一动点。 1.逐点比较法直线插补算法 ⑴判别函数及判别条件 如图所示，对XY平面第一象限直线段进行插补。直线段起点位于坐标原点O，终点位于A（Xe,Ye）。设点P（Xi，Yi）为任一动点。 若P点在直线OA上，则： XeYi – XiYe = 0 若P点在直线OA上方，则： XeYi – XiYe > 0 若P点在直线OA下方，则： XeYi – XiYe < 0 A (Xe,Ye） P (Xi,Yi） F＞0 F＜0 X Y

定义F= XeYi – XiYe偏差函数，则可得到如下结论： 当F=0时，加工点P落在直线上； 当F>0时，加工点P落在直线上方； 当F<0时，加工点P落在直线下方； ⑵进给方向判别 ①当F>0时，应该向+X方向发一脉冲，使刀具向+X方向前进一步，以接近该直线。 ②当F<0时，应该向+Y方向发一脉冲，使刀具向+Y方向前进一步，以接近该直线。 ③当F=0时，既可以向+X方向发一脉冲，也可以向+Y方向前进一步。但通常将F=0和F>0做同样的处理，既都向+X方向发一脉冲。

⑶迭代法偏差函数F的推导 为了减少计算量，通常采用迭代法计算偏差函数F:即每走一步，新加工点的偏差用前一点的偏差递推出来。 ①F≥0时，应向+X发出一进给脉冲，刀具从现加工点（Xi,Yi）向+X方向前进一步，达到新加工点（Xi+1,Yi），则新加工点的偏差值为： Fi+1,i= XeYi – Xi+1Ye= XeYi – (Xi+1)Ye = XeYi – XiYe - Ye =F – Ye ②F<0时，应向+Y发出一进给脉冲，刀具从现加工点（Xi,Yi）向+Y方向前进一步，达到新加工点（Xi+1,Yi），则新加工点的偏差值为： Fi+1,i= XeYi+1 – XiYe= Xe(Yi+1) – XiYe = XeYi – XiYe +Xe =F + Xe

⑷插补步骤 逐点比较法的直线插补过程，每走一步要进行以下四个步骤，具体如下： ①偏差判别 根据偏差值确定刀具相对加工直线的位置。 ②坐标进给 根据偏差判别的结果，决定控制沿哪个坐标进给一步，以接近直线。 ③偏差计算 计算新加工点相对直线的偏差，作为下一步偏差判别的依据。 ④终点判别 判断是否到达终点，未到达终点则返回第一步，继续插补，到终点，则停止本程序段的插补。终点判别可采用两种方法：一是每走一步判断Xi-Xe≥0及Yi-Ye≥0是否成立，如成立，则插补结束否则继续。二是把每个程序段中的总步数求出来，即n=|Xe | + | Ye | ，每走一步n-1，直到n=0为止。

偏差计算 偏差判别 坐标进给 到达终点？ 插补结束 Y 插补开始 N 图4- 逐点比较法工作循环图

（5）逐点比较法插补算法例题 设欲加工的直线位于XY平面的第一象限，直线的起点坐标为坐标原点，终点坐标为Xe=5，Ye=3。试用逐点比较法对该段直线进行插补，并画出插补轨迹。 解 插补过程运算过程如下表所示，表中Xe，Ye是直线终点坐标，n为总步数，n= | Xe | + | Ye | =8。 脉冲个数 偏差判别 进给方向 偏差计算 终点判别 F0=0,Xe=5,Ye=3 n=8 1 F0=0 +X F1=F0-Ye=-3 7 2 F1= -3<0 +Y F2=F1+Xe=2 6 3 F2=2>0 F3=F2-Ye=-1 5 4 F3= -1<0 F4=F3+Xe=4 F4=4>0 F5=F4-Ye=1 F5=1>0 F6=F5-Ye=-2 F6= -2<0 F7=F6+Xe=3 8 F7=3>0 F8=F7-Ye=0 0 到达终点

Y 1 4 X 5 6 O A(5,3) 2 3 7 8 图4- 逐点比较法直线插补轨迹

F = （Xi2 +Yi2 ）- R2 =（Xi2 –X02）+（Yi2 -Y02） 2.逐点比较法圆弧插补 ⑴判别函数及判别条件 如图所示为第一象限逆圆弧,圆心为原点,起点A（X0,Y0）, 终点B（Xe,Ye）,圆弧半径为R。P（Xi ,Yi）为任一加工点。其偏差函数为： F = （Xi2 +Yi2 ）- R2 =（Xi2 –X02）+（Yi2 -Y02） 根据加工点所在区域的不同，有下列三种情况： 当F=0时，加工点P落在圆弧上； 当F>0时，加工点P落在圆弧外侧； 当F<0时，加工点P落在圆弧内侧；

（2）进给方向判别 ①当F>0时，应该向X轴发出一负方向运动的进给脉冲使刀具向圆弧内走一步。 ②当F<0时，应该向Y轴发出一正方向运动的进给脉冲，使刀具向圆弧外走一步。 ③当F=0时，既可以向X轴方向发一负方向运动的进给脉冲，也可以向Y轴方向发一负方向运动的进给脉冲。但通常将F=0和F>0做同样的处理。

（3）迭代法偏差函数F的推导 ①设加工点P在圆弧外侧或圆弧上，则加工偏差F≥0，刀具需向X坐标负方向进给一步，即移动到新的加工点P（Xi+1，Yi）。新加工点的偏差为： Fi+1，i = (Xi – 1)2 +Yi2 -（X02 + Y02） =Xi2-2Xi+1-X02+Yi2-Y02 =F-2Xi+1 ②设加工点P在圆弧内侧，则加工偏差F<0，刀具需向Y坐标正方向进给一步，即移动到新的加工点P（Xi，Yi+1）。新加工点的偏差为： Fi，i+1 = Xi 2 - X02+（Yi+1）2-Y02 =Xi2-X02+Yi2+2Yi+1-Y02 =F+2Yi+1

（4）逐点比较法圆弧插补终点判别 和直线插补一样，逐点比较法圆弧插补除偏差计算外，还要进行终点判别。下面我们介绍两种方法。 ①插补运算开始前计算出两个坐标进给的总步数N，N=|Xe-X0|+|Ye-Y0|，在插补过程中，X或Y每走一步，就从总步数N中减1，当N=0时，表示到达终点。 ②插补前分别计算两个坐标进给的总步数Nx和Ny，其中Nx=|Xe-X0|，Ny=|Ye-Y0|，当X坐标进给一步时，计算Nx-1，当Y坐标进给一步时，计算Ny-1，两坐标进给的总步数均减为零时，表示到达终点。

（5）逐点比较法圆弧插补例题 如图所示，要加工XY平面内第一象限的逆圆弧，圆弧圆心在坐标原点，圆弧起点坐标A(10，0），终点坐标为 B(6，8)。试对该段圆弧进行插补。 解 终点判别值为: N = |XB – XA| + |YB – YA| = |6-10|+|8-0| = 12 插补过程如下表所示。

逐点比较法逆圆插补运算过程 脉冲个数 进给方向 偏差计算 坐标计算 终点判别 F0=0 X0=10, Y0=0 N=12 1 -X 偏差判别 进给方向 偏差计算 坐标计算 终点判别 F0=0 X0=10, Y0=0 N=12 1 -X F1=F0-2X0+1=-19 X1=9 ,Y1=0 N= 11 2 F1=-19<0 +Y F2=F1+2Y1+1=-18 X2=9 ,Y2=1 N= 10 3 F2=-18<0 F3=F2+2Y2+1=-15 X3=9 ,Y3=2 N= 9 4 F3=-15<0 F4=F3+2Y3+1=-10 X4=9 ,Y4=3 N= 8 5 F4=-10<0 F5=F4+2Y4+1=-3 X5=9 ,Y5=4 N= 7 6 F5=-3<0 F6=F5+2Y5+1=6 X6=9 ,Y6=5 N= 6 7 F6=6>0 F7=F6-2X6+1=-11 X7=8 ,Y7=5 N= 5 8 F7=-11<0 F8=F7+2Y7+1=0 X8=8 ,Y8=6 N= 4 9 F8=0 F9=F8-2X8+1=-15 X9=7 ,Y9=6 N= 3 10 F9=-15<0 F10=F9+2Y9+1=-2 X10=7 ,Y10=7 N= 2 11 F10=-2<0 F11=F10+2Y10+1=13 X11=7 ,Y11=8 N= 1 12 F11=13>0 F12=F11-2X11+1=0 X12=10 ,Y12=8 N= 0

⒊ 坐标变换及自动过象限处理 ⑴逐点比较法直线插补的象限与坐标变换 前面介绍的逐点比较法进行直线插补的原理、计算公式，只适用于第一象限。对于不同的象限，要做不同的处理。对于1、3象限的直线，当F≥0时，都向X坐标发脉冲，当F<0时，都向Y坐标发脉冲，之间的差别只是发脉冲的方向不同。对于2、4象限的直线插补，不但要考虑分配脉冲的方向，还要考虑坐标轴的变换。下表为各个象限直线插补脉冲分配规律。 线 型 偏 差 判 别 象 限 1 2 3 4 F≥0 + X + Y - X - Y F＜0 - X G01

（2）逐点比较法圆弧插补象限与坐标变换 线 型 偏差判别 象 限 1 2 3 4 G02 F≥0 -Y +X +Y -X F<0 各象限的顺、逆圆弧插补都可以采用第一象限逆圆弧的插补计算公式，至于沿着哪一个坐标轴进给，向哪一个方向进给可以根据圆弧所在的象限及其走向决定，下表所示为八种圆弧插补的脉冲分配规律。 线 型 偏差判别 象 限 1 2 3 4 G02 F≥0 -Y +X +Y -X F<0 G03

（3）圆弧插补自动过象限处理 为了加工二个象限或二个以上象限的圆弧，圆弧插补程序必须具有自动过象限功能。自动过象限程序包括象限边界处理、过象限判断及数据处理等模块。 ①象限边界处理 在进行过象限判别之前，必须进行象限的边界处理。象限边界处理就是判别数值“0”的符号。对于逆时针圆弧（G03）： 如果X0为“0”，那么X0的符号与Y0的符号相反。 如果Xe为“0”，那么Xe的符号与Ye的符号相同。 如果Y0为“0”，那么Y0的符号与X0的符号相同。 如果Ye为“0”，那么Ye的符号与Xe的符号相反。 对于顺时针圆弧，数值“0”符号的判别规律与上述规律相反。

当X0与Xe、Y0与Ye的符号分别相同时，表明起点和终点在同一象限内。若要过象限则需过四次象限，此时可下表进行判断。 ②过象限判断 当X0与Xe的符号相反或Y0与Ye的符号相反时，表明起点和终点不在同一象限内，需要过象限处理。 当X0与Xe、Y0与Ye的符号分别相同时，表明起点和终点在同一象限内。若要过象限则需过四次象限，此时可下表进行判断。 象限 1 2 3 4 过象限 判 断 依 据 （Xe-X0）符号与X轴进给方向相反或（Ye-Y0）符号与Y轴进给方向相反 （Xe-X0）符号与X轴进给方向相同或（Ye-Y0）符号与Y轴进给方向相反 （Xe-X0）符号与X轴进给方向相同或（Ye-Y0）符号与Y轴进给方向相同 （Xe-X0）符号与X轴进给方向相反或（Ye-Y0）符号与Y轴进给方向相同

③过象限处理 过象限处理就是对跨象限圆弧加工过程中边界点进行处理。所谓边界点就是指跨象限圆弧与坐标轴的交点。边界点的处理是把圆弧起点所在象限的边界点作为本段圆弧的插补终点，再把这一点作为下一象限圆弧插补的起点，其它边界点的处理可依此类推。

4. 逐点比较法的进给速度 刀具的进给速度是插补方法的重要性能指标，也是选择插补方法的依据。采用逐点比较插补算法，每次插补计算都有脉冲发出，不是向X坐标发脉冲，就是向Y坐标发脉冲。设发向X、Y坐标脉冲的频率为fx和fy，则沿X、Y坐标的进给速度分别为： Vx=60δfx Vy=60δfy 其中δ为脉冲当量（mm/脉冲）。 合成进给速度为：V =(Vx2+ Vy2)1/2=60δ(fx2+fy2)1/2 当沿着某一坐标进给时，其脉冲频率为fx+fy，进给速度达到最大值，为：Vc=60 δ(fx+fy) 合成进给速度与最高进给速度的比为： V=(fx2+fy2)1/2 /（fx+fy）

三、数字增量插补 在闭环和半闭环控制系统中，需要位置采样控制。位置采样控制主要包括三项内容：即插补、反馈采样及控制。其中插补是主要环节，其核心是选择一个合适的插补周期，计算出插补周期内各坐标轴的移动量（粗插补）。将这个移动增量转化为跟随误差和速度指令是反馈采样及控制的任务（精插补），这就是数字增量插补。 在CNC系统中，数字增量插补通常采用时间分割插补算法，它是把加工一段直线或圆弧的整段时间分为许多相等的时间间隔，该时间间隔称为单位时间间隔，也即插补周期。 在时间分割法中，每经过一个插补周期就进行一次插补运算，计算出各坐标轴在一个插补周期内的进给量。

㈠插补周期的选择 ⒈ 插补周期与插补运算时间的关系 插补算法选定后，则完成该算法所需的最大指令条数也就确定。根据最大指令条数就可以大致确定插补运算占用CPU的时间TCPU，一般来说，插补周期必须大于插补运算所占用CPU的时间。这是因为当系统进行轮廓控制时，CPU除了要完成插补运算外，还必须实时地完成一些其它工作。如显示、监控、甚至精插补。因此，插补周期T必须大于插补运算时间与完成其它实时任务所需时间之和。

⒉ 插补周期与位置反馈采样的关系 插补周期和采样周期可以相同，也可以不同。如果不同，则一般插补周期应是采样周期的整数倍。例如FANUC 7M系统采用8ms的插补周期和4ms的位置反馈采样周期。在这种情况下，插补程序每8ms被调用一次，为下一个周期算出各坐标轴应该行进的增量长度；而位置采样程序每4ms调用一次，将插补程序算好的坐标位置增量进行进一步的密化（精插补）。

其中T为插补周期；F为刀具移动速度；R为圆弧半径。 从公式可以看出，圆弧插补周期T分别与误差eR、圆弧半径R和进给速度F有关。 3.插补周期与精度、速度的关系 在直线插补中，插补所形成的每个小直线段与给定的直线重合，不会造成轨迹误差。在圆弧插补时，一般用内接弦线或内外均差弦线来逼近圆弧，这种逼近必然会造成轨迹误差。图6-61所示为用内接弦线逼近圆弧，其最大半径误差eR与步距角δ的关系为： eR=R(1-cos δ/2) 由上式可以推导出最大误差的公式为： eR= 其中T为插补周期；F为刀具移动速度；R为圆弧半径。 从公式可以看出，圆弧插补周期T分别与误差eR、圆弧半径R和进给速度F有关。 (TF)2 8R

设刀具在XY平面内作直线运动，起点为坐标原点(0,0)，终点为A(Xe,Ye)，进给速度为F，插补周期为T。如图6-62所示。 （二）直线插补算法 1.直线插补原理 设刀具在XY平面内作直线运动，起点为坐标原点(0,0)，终点为A(Xe,Ye)，进给速度为F，插补周期为T。如图6-62所示。 每个插补周期的进给步长为： ΔL=FT X轴和Y轴的位移增量为 分别为Xe和Ye，直线段 长度为： L=(Xe2+Ye2)1/2 根据图6-62可以得到如下关系： ΔX/Xe= ΔL/L ΔY/Ye= ΔL/L 设ΔL/L=K，

则得到如下公式： ΔX=( ΔL/L)Xe=KXe ΔY=( ΔL/L)Ye=KYe 而插补第i点的动点坐标为： Xi=Xi-1+ ΔX=Xi-1+KXe Yi=Yi-1+ ΔY=Yi-1+KYe 这就是数据采样法直线插补的原理公式。 下面我们根据这个公式，介绍几种典型的直线插补算法。

⒉实用直线插补算法 ⑴方向余弦法1 插补准备： L=（Xe2+Ye2）1/2 Cosα=Xe/L，cosβ=Ye/L 插补计算： ΔLi=FT Δxi=Li cos α， ΔYi=Li cos β Xi=Xi-1+ ΔXi， Yi=Yi-1+ ΔYi ⑵方向余弦法2 插补准备： L=（Xe2+Ye2）1/2 Cosα=Xe/L，cosβ=Ye/L Li=Li-1+ ΔLi ΔXi=Li cos α， ΔYi=Li cos β Xi=Xi- ΔXi-1， Yi=Yi- ΔYi-1

　⑶进给率法 插补准备： L=（Xe2+Ye2）1/2 插补计算： ΔLi=FT ，K=ΔLi/L ΔXi=KiXe， ΔYi=KiYe Xi=Xi-1+ ΔXi，Yi=Yi-1+ Δyi ⑷一次计算法 插补计算： ΔLi=FT ΔXi= (ΔLi/L)Xe , ΔYi= (ΔLi/L)Ye Xi=Xi-1+ ΔXi , Yi=Yi-1+ ΔYi

㈢ 圆弧插补算法 ⒈直接函数法 ⒉扩展DDA插补算法（二阶近似法）

第二节 刀具半径补偿 刀具补偿处理是插补运算前必须完成的预备处理，通过刀具半径补偿将被加工零件的轮廓轨迹转换为刀具中心的运动轨迹。 第二节 刀具半径补偿 刀具补偿处理是插补运算前必须完成的预备处理，通过刀具半径补偿将被加工零件的轮廓轨迹转换为刀具中心的运动轨迹。 一、刀具半径补偿的基本概念 在轮廓加工加工中，由于刀具具有一定的半径，所以在数控加工中，不能让刀具中心的运动轨迹与被加工零件的轮廓轨迹重合，必须使刀具中心的运动轨迹偏离轮廓一个刀具半径值，我们把这种偏移叫做刀具半径补偿。 刀具半径补偿由CNC系统自动完成。CNC系统根据零件轮廓尺寸、刀具半径补偿方式指令及刀具半径值，自动地计算出刀具中心的运动轨迹。刀具半径补偿分三个阶段：刀具半径补偿建立、刀具半径补偿进行和刀具半径补偿注销。

二、B功能刀具半径补偿计算 ⒈直线插补的B刀具半径补偿计算 B功能刀具半径补偿计算是指根据零件轮廓尺寸和刀具半径值，求出刀具中心的运动轨迹。B刀具半径补偿只考虑一个程序段的补偿，不考虑两程序段之间过渡的问题。早期的数控系统只有B补偿功能。 在直线插补的情况下，经过刀具半径补偿后的刀具中心轨迹是原直线段平行的直线。因此刀具半径补偿计算只需计算出刀具中心轨迹的起点和终点坐标值。刀具半径补偿计算分三步：计算本程序段的终点坐标值、计算刀具半径坐标分量及计算刀具中心运动轨迹的终点坐标值。

如图所示，被加工直线段的起点在坐标原点O，终点A(XA,YA)，以右补偿为例计算出刀具补偿之后的刀具中心的坐标值。计算分三步： ⑵计算刀具半径坐标分量KA 及KB ⑶计算刀具中心轨迹终点坐标值B（XB，YB） A（XA，YA） O P B（XB，YB） r K X Y α

圆弧插补时，刀具补偿后的刀具中心轨迹是一段与零件轮廓圆弧同心的圆弧。下面以第一象限逆时针圆弧右刀具半径补偿为例介绍终点坐标值和半径的算法。 2.圆弧插补的B刀具半径补偿计算 圆弧插补时，刀具补偿后的刀具中心轨迹是一段与零件轮廓圆弧同心的圆弧。下面以第一象限逆时针圆弧右刀具半径补偿为例介绍终点坐标值和半径的算法。 ⑴刀具中心圆弧轨迹起点坐标值（A`点）的计算 A`点为上一程序段加工结束后，刀具中心所在的位置，所以它的坐标为已知量。 ⑵刀具补偿后的半径值的计算 刀具半径补偿后的刀具中心轨迹所在的圆弧的半径值等于编程指令半径值R与刀具半径偏移量r的之和，如用R`表示则： R`=R+r

⑶刀具中心圆弧轨迹终点坐标值的计算 设刀具半径矢量BB`两个坐标轴上的投影分别为Xr和Yr，则： X`B=XB+Xr Y`B=YB+Yr Xr和Yr可以用下式求得： Xr=rcosα=rXB/R Yr=rsinα=rYB/R 从而可以得到刀具中心轨迹终点B’的坐标值为： X`B=XB+ rXB/R Y`B=YB+ rYB/R

三、C功能刀具半径补偿 B刀具半径补偿方法对编程限制的主要原因是在确定刀具中心轨迹时，都采用读一段，算一段，再走一段的控制方法。这样就无法预计到由于刀具半径所造成的本程序段加工轨迹对下一段加工轨迹的影响。为了解决这个问题，需在计算完本段程编轨迹后，提前将下段程序读入，然后根据它们之间转接的具体情况，求得本段程序的刀具中心轨迹。这种刀具半径补偿方式就叫C功能刀具半径补偿。

（一） C刀具半径补偿功能的实现 下图为C刀具补偿的工作流程图。 系统启动后，第一程序段读入BS中，在BS中算得的第一段编程轨迹被送到CS中暂存后，又将第二段程序读入BS，算出第二段的程编轨迹。接着对第一和第二两段的程编轨迹的连接方式进行判别。根据判别结果，再对CS中的第一段程编轨迹作相应的修改，修改结束后，顺序地将修改后的第一段程编轨迹由CS送AS，第二段程编轨迹由BS送入CS。随后系统将AS中的内容送到OS进行插补运算，运算结果送伺服装置予以执行。当修正了的第一段程编轨迹开始被执行后，系统利用插补间隙又将第三段程序段读入BS，接着又根据BS、CS中的第三与第二段程编轨迹的连接方式，对CS中的第二段程编轨迹进行修正依次进行下去。 缓冲寄存器 BS 刀具补偿 缓冲区CS 工作寄存区 AS 输出寄存区 OS

（二）程序段间的转接 （1）相邻两程序段编程轨迹的转接线型 实现C刀具半径补偿功能，首先要对相邻编程轨迹的转接线型及转接类型进行判别，然后才能根据转接线型和转接过渡类型调用相应的计算公式，通过计算在原编程轨迹的基础上得到刀具中心轨迹。对于直线、圆弧插补功能的CNC系统，其相邻两段编程轨迹有以下转接线型： ①直线与直线转接 ②直线与圆弧转接 ③圆弧与直线转接 ④圆弧与圆弧转接

（2）转接过渡类型 相邻两段编程轨迹矢量间夹角的不同，刀具补偿方式的不同（G41或G42），对应的刀具中心轨迹的转接过渡类型也不同，概括起来有三种转接过渡类型：缩短型、伸长型和插入型。 ①伸长型　伸长型转接就是刀具中心轨迹相对于编程轨迹伸长了一定的长度。 ②缩短型 缩短型转接就是刀具中心轨迹相对于编程轨迹缩短了一定的长度。 ③插入型 插入型就是在两程序段之间插入一个程序段，以减少刀具非切削行程的时间，它是在伸长型的基础上进行的。

（3）转接类型的判断 如表6-4所示，1为本程序段编程轨迹矢量与X轴的夹角，  2为下一程序段编程轨迹矢量与X轴的夹角， 1角和2角均为从X轴逆时针转到编程轨迹矢量所形成的角， = 2 - 1。将圆弧等效于直线后，完全可以按照角的正弦值、余弦值大于、等于或小于零以及刀具半径补偿方式G41、G42划分转接过渡型式。下表为转接过渡类型判别表。 刀具半径补偿方向 sin≥0 cos ≥0 转接过渡类型 G41 Y 缩短型 N 伸长型 插入型 G42 注：Y表示“是”，N表示“不是”。

3.转接矢量的计算 （1）刀具半径矢量的计算 （2）转接交点矢量的计算 转接矢量就是指刀具半径矢量。刀具半径矢量和转接交点矢量的计算在这里不进行讲述，参看教材的相关章节。

第三节 进给速度和加减速控制 数控机床的进给速度与加工精度、表面粗糙度和生产效率有着密切的关系。数控机床的进给速度应该稳定且有一定的调速范围，启动快而不失步，停止的位置准确、不超程。为此CNC系统必须具有加减速控制功能。即在机床启动加速时，保证加在伺服电机上的进给脉冲频率或电压逐渐增加，而当机床减速停止时，保证加在伺服电机上的进给脉冲频率或电压逐渐减小。 在CNC系统中，进给速度控制包括对数控程序中指定的进给速度F的控制已及加工过程中操作者根据实际加工需要使用倍率开关对进给速度F所做的调节的控制。

一、开环CNC系统的进给速度及加减速控制 在开环控制系统中，一般采用脉冲增量插补算法，在插补计算过程中不断向各坐标轴发送互相协调的进给脉冲。发出脉冲的数量决定工作台的移动距离，脉冲的频率决定工作台的移动速度。因此可以通过控制输出脉冲频率（或脉冲的周期）来控制进给速度。在开环系统中常采用程序计时法和时钟中断法对进给速度进行控制。

㈠ 程序计时法（软件延时法） 为了实现不同进给速度的控制及加减速控制，可通过软件延时产生一系列频率可调的脉冲序列。采用这种方法，需要计算每次插补运算、输出及显示等所占用的时间。由各种进给速度要求的进给脉冲间隔时间减去插补运算等时间，从而得到每次插补运算后的等待时间，然后用空运转循环对这段等待时间计时。 程序计时法多数用于点位直线控制系统。每次运动的速度大致分为加速段、恒速段、减速段和低速段等几个阶段。

㈡ 时钟中断法 时钟中断法常用的有两种方法: ⒈ 采用变频震荡器发出某一频率的脉冲，作为请求中断信号，CPU每接收到一次中断信号，就进行一次插补运算并发出一个进给脉冲。该方法须外加脉冲源，且不适用于F功能直接用每分钟毫米给定的系统。 ⒉ 利用可编程计数器/计时器的计时时间，当计时时间到后，即可发出请求中断信号。该方法由程序设置计数器/计时器的时间常数Tc，改变时间常数Tc，就改变了请求中断的频率，改变请求中断的频率，就相当于改变了插补的速度，也就控制了进给速度。该方法可用于F功能直接用每分钟毫米给定的系统。

二、闭环(或半闭环)CNC系统的加减速控制 把加减速控制放在插补之前进行的，称为前加减速控制。优点是：不影响实际插补输出的位置精度。缺点是需根据实际刀具位置和程序段终点之间的距离来确定减速点，计算工作量大。 把加减速控制放在插补之后分别对各坐标轴进行的，称为后加减速控制。优点是：不需要专门预先确定减速点，而是在插补输出为零时开始减速，通过一定的时间延时逐渐靠近程序终点。缺点是由于是对各坐标分别进行控制，所以在加减速控制实际的各运动轴合成位置可能不准确。但这种影响只存在于加速或减速过程中。

稳定速度是系统处于稳定进给状态下，每插补一次（一个插补周期）的进给量。 fs = （KTF）/（60*1000） 1.前加减速控制 （1）稳定速度和瞬时速度 稳定速度是系统处于稳定进给状态下，每插补一次（一个插补周期）的进给量。 fs = （KTF）/（60*1000） 式中 F — 速度指令或由参数设定的快速速率（mm/min） T — 插补周期（ms） K — 速度系数，包括切削进给倍率、快速进给倍率等。 瞬时速度是系统在每个插补周期的进给量，用 fi 表示。当系统处于稳定进给状态时，fi = fs ；当系统处于加速状态时，fi < fs ；当系统处于减速状态时，fi > fs ； 222

（2）线性加减速处理 当机床启动、停止或在切削加工过程中改变进给速度时，系统自动进行线性加减速处理。设进给速度为F（mm/min），加速到F所需要的时间为t（ms），则加（减）速度a为： a = F/t =1.67* 10-2*F/t（μm/ms2） ①加速处理 系统每插补一次都要计算稳定速度和瞬时速度，并进行加速处理。当计算出的稳定速度大于原来的稳定速度时，则进行加速处理。每加速一次的瞬时速度为 fi+1 = fi +aT 系统采用新的瞬时速度fi+1进行插补运算，对各坐标轴进行分配，就这样一直加速到新的稳定速度为止。 加速处理的原理框图如图6-31所示。

②减速处理 系统每进行一次插补计算，都要进行终点判别，计算刀具实际位置离终点的瞬时距离Si，并且根据减速标志，检查是否到达减速区域S。若已到达，则进行减速处理。减速区域按下式计算： S=fs2/（2a） 当瞬时距离小于或等于减速区S时，系统进行减速处理。每减速一次的瞬时速度为： fi+1=fi-aT 如果要提前一段距离开始减速，可以将提前量ΔS作为参数预先设置好，这样减速区的计算公式如下： S=fs2/2a + ΔS

③终点判别处理 在前加减速控制中，每次插补运算结束之后，系统都要根据求得的各轴进给量，计算刀具离本程序段终点的距离Si。如果Si≤S,则进行减速处理。 直线插补时：如图6-33所示，刀具沿OP作直线运动，程序段终点为P（Xe，Ye）。A为某一瞬时点，在插补计算中求得X、Y轴的插补进给量ΔX、 ΔY后，即可得到A点的瞬时坐标： Xi=Xi-1+ ΔX Yi=Yi-1+ ΔY 设X轴为长轴，该轴与刀具移动方向的夹角α为定值，则可以推倒出瞬时点A离终点P的距离Si为： Si=| Xe-Xi| / cosα

习 题 ⒈ 什么是插补？常用的插补算法有哪两种？ ⒉ 逐点比较法插补计算，每输出一个脉冲需要哪四个节拍？ 习 题 ⒈ 什么是插补？常用的插补算法有哪两种？ ⒉ 逐点比较法插补计算，每输出一个脉冲需要哪四个节拍？ ⒊ 逐点比较法直线插补的偏差判别函数是什么？ ⒋ 何谓前加减速控制，何谓后加减速控制，各有什么优缺点？ ⒌开环控制系统中，采用哪两种方法进行加减速控制？ ⒍ 直线起点为坐标原点O（0，0），终点坐标为A（9，4）试用逐点比较法对这条直线进行插补，并画出插补轨迹。 ⒎ B刀具半径补偿和C刀具半径补偿的区别是什么？ ⒏刀具半径补偿的执行步骤是什么？ ⒐C刀具半径补偿程序段间转接有几种形式？在这些转接形式中有几种转接类型？