第四章 弯曲应力 §4-1 对称弯曲的概念及梁的计算简图 §4-2 梁的剪力和弯矩· 剪力图和弯矩图 §4-3 平面刚架和曲杆的内力图 §4-4 梁横截面上的正应力· 梁的正应力强度条件 §4-5 梁横截面上的切应力· 梁的切应力强度条件 §4-6 梁的合理设计 §Ⅰ-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式· 组合截面的惯性矩和惯性积

§4-1 对称弯曲的概念及梁的计算简图 受力特点： 杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的横向外力或外力偶作用。 变形特点： 第四章 弯曲应力 §4-1 对称弯曲的概念及梁的计算简图 Ⅰ. 关于弯曲的概念 受力特点： 杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的横向外力或外力偶作用。 变形特点： 直杆的轴线在变形后变为曲线。

对称弯曲——外力作用于梁的纵向对称面内，因而变形后梁的轴线(挠曲线)是在该纵对称面内的平面曲线。 第四章 弯曲应力 对称弯曲——外力作用于梁的纵向对称面内，因而变形后梁的轴线(挠曲线)是在该纵对称面内的平面曲线。 非对称弯曲——梁不具有纵对称面(例如Z形截面梁)，因而挠曲线无与它对称的纵向平面；或梁虽有纵对称面但外力并不作用在纵对称面内，从而挠曲线不与梁的纵对称面一致。 纵向对称面 M P1 P2 q 本章讨论对称弯曲时梁的内力和应力。

对于对称弯曲的直梁，外力为作用在梁的纵对称面内的平面力系，故在计算简图中通常就用梁的轴线来代表梁。 第四章 弯曲应力 Ⅱ. 梁的计算简图 对于对称弯曲的直梁，外力为作用在梁的纵对称面内的平面力系，故在计算简图中通常就用梁的轴线来代表梁。 (1) 支座的基本形式 1. 固定端——实例如图a，计算简图如图b, c。 (a) (b) (c) MR FRx FRy

2. 固定铰支座——实例如图中左边的支座，计算简图如图b，e。 第四章 弯曲应力 2. 固定铰支座——实例如图中左边的支座，计算简图如图b，e。 3. 可动铰支座——实例如图a中右边的支座，计算简图如图c，f。

(2) 梁的基本形式 悬臂梁 简支梁 外伸梁 (3) 静定梁和超静定梁 第四章 弯曲应力 静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本 (2) 梁的基本形式 悬臂梁 简支梁 外伸梁 (3) 静定梁和超静定梁 静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本 形式的静定梁。图a，b，c所示 超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全 部支反力。 图d，e所示

第四章 弯曲应力

§4-2 梁的剪力和弯矩·剪力图和弯矩图 Ⅰ. 梁的剪力和弯矩(shearing force and bending moment) 第四章 弯曲应力 §4-2 梁的剪力和弯矩·剪力图和弯矩图 Ⅰ. 梁的剪力和弯矩(shearing force and bending moment) 求图a所示简支梁的内力 （1）约束力 （2）用截面法求内力

①剪力FS: 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。 第四章 弯曲应力 剪力FS 弯矩M 弯曲构件内力 内力的正负规定: ①剪力FS: 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。 左上右下为正 ②弯矩M：使微段梁产生上弯趋势的为正弯矩；反之为负弯矩。 上弯为正

剪力方程和弯矩方程：表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律的函数式。 第四章 弯曲应力 Ⅱ. 剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图 剪力方程和弯矩方程：表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律的函数式。 剪力图和弯矩图：显示这种变化规律的图形。

例题4-4 图a所示悬臂梁受集度为q的满布均布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。 第四章 弯曲应力 例题4-4 图a所示悬臂梁受集度为q的满布均布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。 (a)

第四章 弯曲应力 解：1. 列剪力方程和弯矩方程 FS(x) 2. 作剪力图和弯矩图 (b) (c)

例题4-5 图a所示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。 第四章 弯曲应力 例题4-5 图a所示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。 (a) 解：1. 求约束力 FS(x) 2. 列剪力方程和弯矩方程

第四章 弯曲应力 3. 作剪力图和弯矩图

例题4-6 图a所示简支梁受集中荷载F 作用。试作梁的剪力图和弯矩图。 第四章 弯曲应力 例题4-6 图a所示简支梁受集中荷载F 作用。试作梁的剪力图和弯矩图。 F (a) 解：1. 求约束力 2. 列剪力方程和弯矩方程 AC段梁 FS(x)

第四章 弯曲应力 F CB段梁 F x FS(x) 3. 作剪力图和弯矩图

由剪力图可见，在梁上的集中力(包括集中荷载和约 束力)作用处剪力图有突变。 第四章 弯曲应力 (b) AC段： CB段： (c) 4. 讨论 由剪力图可见，在梁上的集中力(包括集中荷载和约 束力)作用处剪力图有突变。

例题4-7 图a所示简支梁在C点受矩为Me的集中力偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。 第四章 弯曲应力 例题4-7 图a所示简支梁在C点受矩为Me的集中力偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。 解：1. 求约束力 2. 列剪力方程和弯矩方程 x FS(x) AC段梁：

第四章 弯曲应力 x FS(x) CB段梁： 3. 作剪力图和弯矩图 弯矩图在集中力偶作用处有突变

思考1：一简支梁受移动荷载F作用，如图所示。试问： (a) 此梁横截面上的最大弯矩是否一定在移动荷载作用处？为什么？ 第四章 弯曲应力 思考题 思考1：一简支梁受移动荷载F作用，如图所示。试问： (a) 此梁横截面上的最大弯矩是否一定在移动荷载作用处？为什么？ (b) 荷载F移动到什么位置时此梁横截面上的最大弯矩比荷载在任何其它位置时的最大弯矩都要大？该最大弯矩又是多少？亦即要求求出对于弯矩的最不利荷载位置和绝对值最大弯矩值。

(a) 如果分别在中间铰左侧和右侧作用有向下的同样的集中力F，这两种情况下梁的剪力图和弯矩图是否相同？ 第四章 弯曲应力 思考2：对于图示带中间铰C的梁，试问： (a) 如果分别在中间铰左侧和右侧作用有向下的同样的集中力F，这两种情况下梁的剪力图和弯矩图是否相同？ (b) 如果分别在中间铰左侧和右侧作用有同样大小且同为顺时针的力偶矩Me的力偶，这两种情况下梁的剪力图和弯矩图是否相同？ C

Ⅲ. 弯矩、剪力与荷载集度之间的关系及其应用 第四章 弯曲应力 Ⅲ. 弯矩、剪力与荷载集度之间的关系及其应用 剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。

注意：向上的分布荷载集度为正值，反之则为负值。 第四章 弯曲应力 略去二阶微量 弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。 弯矩与荷载集度的关系是： 注意：向上的分布荷载集度为正值，反之则为负值。

剪力、弯矩与外力间的关系 第四章 弯曲应力 C m C F q>0 q<0 q=0 x x x C x C M x M x M 无外力段 均布载荷段 集中力 集中力偶 C m C F q>0 q<0 q=0 水平直线 斜直线 自左向右突变 无变化 FS图特征 增函数 x x 降函数 x C x C x x M x M 折向与P反向 x M 斜直线 曲线 自左向右折角 M图特征 M x M2 M1 x M 增函数 x M 降函数 与m 同

利用以上各点，除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利用微分关系绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程，其步骤如下： 第四章 弯曲应力 利用以上各点，除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利用微分关系绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程，其步骤如下： (1) 求支座约束力； (2) 分段确定剪力图和弯矩图的形状； (3) 求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和弯矩图； (4) 确定|FS|max和|M|max 。

第四章 弯曲应力 例题 一简支梁在其中间部分受集度为 q=100 kN/m的向下的均布荷载作用，如图a所示。试利用弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系画剪力图和弯矩图。 AC段： y FA FB A B C D E 2 m 1 m 4 m q DB段： DB段：

AC段： DB段： DB段： + 第四章 弯曲应力 y FA FB A B C D E 2 m 1 m 4 m q + - 100 kN FS x FS 图 + 100 150 x M M图（kN·m） DB段： DB段：

思考：试指出图示三根梁各自的剪力图和弯矩图中的错误。 第四章 弯曲应力 思考：试指出图示三根梁各自的剪力图和弯矩图中的错误。 已知：图中梁的约束力为 (a) 正确答案：

第四章 弯曲应力 图中梁的约束力为 (b) 正确答案：

第四章 弯曲应力 (c) 图中梁的约束力为 正确答案：

第四章 弯曲应力 Ⅳ. 按叠加原理作弯矩图

第四章 弯曲应力 (a) (1)剪力方程和弯矩方程分别为

第四章 弯曲应力 (2) 叠加原理 当所求参数(约束力、内力、应力或位移)与梁上(或结构上)荷载成线性关系时，由几项荷载共同作用所引起的某一参数之值，就等于每项荷载单独作用时所引起的该参数值的叠加。

第四章 弯曲应力 (3) 示例 F=ql/4 (a) F=ql/4 (b) (c)

第四章 弯曲应力 F (a) F=ql/4 (b) (c) ﹢ ○ - F ﹢ ○ F ○ - ○ - ○ - ﹢ ﹢ ○

由图a可见，该梁横截面上的最大剪力为 (负值) ,最大弯矩为 (负值)，而极值弯矩 并非最大弯矩。 第四章 弯曲应力 由图a可见，该梁横截面上的最大剪力为 (负值) ,最大弯矩为 (负值)，而极值弯矩 并非最大弯矩。

§4-3 平面刚架和曲杆的内力图 Ⅰ. 平面刚架 平面刚架——由同一平面内不同取向的杆件相互间刚性连接的结构。 第四章 弯曲应力 §4-3 平面刚架和曲杆的内力图 Ⅰ. 平面刚架 平面刚架——由同一平面内不同取向的杆件相互间刚性连接的结构。 平面刚架杆件的内力——剪力和弯矩外，还会有轴力。 作刚架内力图的方法和步骤与梁相同，内力图正负号的规定： 弯矩图：画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号； 剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架外侧），但须注明正负号； 剪力和轴力的正负号仍与前述规定相同。

例题4-13 试作图a所示刚架的内力图(即作出组成刚架的各杆的内力图)。 第四章 弯曲应力 例题4-13 试作图a所示刚架的内力图(即作出组成刚架的各杆的内力图)。 (a) CB杆： (杆的外侧受拉) (杆的外侧受拉) BA杆：

第四章 弯曲应力 (a)

思考：能根据概念绘出图示平面刚架(框架)的内力图吗？ 第四章 弯曲应力 思考：能根据概念绘出图示平面刚架(框架)的内力图吗？

第四章 弯曲应力 Ⅱ. 平面曲杆 平面曲杆：轴线为曲线的杆件。 内力情况及绘制方法与平面刚架相同。

图a所示A端固定的半圆环在B端受集中荷载F作用时，其任意横截面m－ m上的内力有 第四章 弯曲应力 图a所示A端固定的半圆环在B端受集中荷载F作用时，其任意横截面m－ m上的内力有 此即内力方程。根据内力方程将内力值在与q 相应的径向线上绘出，即可得到内力图，如图b，图c及图d。

第四章 弯曲应力 ○ - + (c) FN图 (d) FS 图 +

§4-4 梁横截面上的正应力·梁的正应力强度条件 第四章 弯曲应力 §4-4 梁横截面上的正应力·梁的正应力强度条件 纯弯曲 (pure bending) ━━ 梁或梁上的某段内各横截面上无剪力而只有弯矩，横截面上只有与弯矩对应的正应力。 Me M

第四章 弯曲应力 横力弯曲 (bending by transverse force) ━━ 梁的横截面上既有弯矩又有剪力；相应地，横截面既有正应力又有切应力。

①横向线(a b、c d）变形后仍为直线，但有转动； 第四章 弯曲应力 Ⅰ. 纯弯曲时梁横截面上的正应力 （一）梁的纯弯曲实验　　　　　　　　 纵向对称面 1.纯弯曲实验 ①横向线(a b、c d）变形后仍为直线，但有转动； b d a c ②纵向线变为曲线，且上缩下伸； a b c d M ③横向线与纵向线变形后仍正交。 ④横截面高度不变。

纵向纤维间无挤压、只受轴向拉伸和压缩。 第四章 弯曲应力 2.两个概念 中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线。 3.推论 平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。　 中性层 纵向对称面 中性轴 纵向纤维间无挤压、只受轴向拉伸和压缩。　 （横截面上只有正应力）　

) OO1 计算公式的推导 横截面上任一点的纵向线应变与该点到中性层距离成正比（中性轴上应变为零，一侧拉应变，一侧压应变） 第四章 弯曲应力 （1） 几何方面： a b c d A B A1 B1 O1 O dq r y 横截面上任一点的纵向线应变与该点到中性层距离成正比（中性轴上应变为零，一侧拉应变，一侧压应变） z

假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应力状态。 第四章 弯曲应力 （2）物理方面：　　　　　　　　 假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应力状态。 s （3）静力学方面：　　　　　　　　 ①　　　　　　　　

第四章 弯曲应力 ② （ ∵ y 为对称轴，自动满足） ③ … …(3) 中性层曲率： EIz 杆的抗弯刚度。 … …(4)

第四章 弯曲应力 最大正应力：　　　　　　　　 … …(5) b h d D d = a

中性轴 z 不是横截面的对称轴时(参见图c)，其横截面上最大拉应力值和最大压应力值为 第四章 弯曲应力 中性轴 z 不是横截面的对称轴时(参见图c)，其横截面上最大拉应力值和最大压应力值为 型钢截面及其几何性质：参见型钢表 需要注意的是，型钢规格表中所示的x轴是我们所标示的z轴。

一长边宽度为 b，高为 h 的平行四边形，它对于形心轴 z 的惯性矩是否也是 ？ 第四章 弯曲应力 思考:　 一长边宽度为 b，高为 h 的平行四边形，它对于形心轴 z 的惯性矩是否也是 ？

例1 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求： 第四章 弯曲应力 例1 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求： （1）1——1截面上1、2两点的正应力； （2）此截面上的最大正应力； （3）全梁的最大正应力； （4）已知E=200GPa，求1—1截面的曲率半径。 Q=60kN/m A B 1m 2m 1 30 180 1 2 120 z y M1 Mmax x + M 解：画M图求截面弯矩

第四章 弯曲应力 Q=60kN/m A B 1m 2m 1 求应力 180 30 1 2 120 z y M1 Mmax M x +

第四章 弯曲应力 Q=60kN/m A B 1m 2m 1 180 30 1 2 120 M1 Mmax 求曲率半径 M x +

第四章 弯曲应力 Ⅱ. 纯弯曲理论的推广 工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时梁的横截面由于切应力的存在而发生翘曲(warping)。此外，横向力还使各纵向线之间发生挤压(bearing)。因此，对于梁在纯弯曲时所作的平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。但弹性力学的分析结果表明，受满布荷载的矩形截面简支梁，当其跨长与截面高度之比 大于5时，梁的跨中横截面上按纯弯曲理论算得的最大正应力其误差不超过1%，故在工程应用中就将纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，即

第四章 弯曲应力 例题4-15 图a所示简支梁由56a号工字钢制成，其截面简化后的尺寸见图b。已知F=150 kN。试求危险截面上的最大正应力smax和同一横截面上翼缘与腹板交界处a点处(图b)的正应力sa。

第四章 弯曲应力 解：不考虑自重，画弯矩图，求危险截面的最大弯矩值

第四章 弯曲应力 由型钢规格表查得56a号工字钢截面 危险截面边缘的应力值为 危险截面上点a 处的正应力为

该点处的正应力sa亦可根据直梁横截面上的正应力在与中性轴z垂直的方向按直线变化的规律求解 第四章 弯曲应力 该点处的正应力sa亦可根据直梁横截面上的正应力在与中性轴z垂直的方向按直线变化的规律求解

如果考虑梁的自重(q=1.041 kN/m)则危险截面未变，但相应的最大弯矩值变为 第四章 弯曲应力 如果考虑梁的自重(q=1.041 kN/m)则危险截面未变，但相应的最大弯矩值变为 而危险截面上的最大正应力变为 显然，梁的自重引起的最大正应力仅为 远小于外加荷载F 所引起的最大正应力。

一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上 第四章 弯曲应力 Ⅲ .梁的正应力强度条件 1、危险面与危险点分析： 一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上 2、正应力强度条件： 式中，[s]为材料的许用弯曲正应力。 对于中性轴为横截面对称轴的梁，上述强度条件可写作

3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算： 第四章 弯曲应力 由拉、压许用应力[st]和[sc]不相等的铸铁等脆性材料制成的梁，为充分发挥材料的强度，其横截面上的中性轴往往不是对称轴，以尽量使梁的最大工作拉应力st,max和最大工作压应力sc,max分别达到(或接近)材料的许用拉应力[st]和许用压应力[sc] 。 3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：  校核强度： 、校核强度：  设计截面尺寸： Ž 设计载荷：

例题4-17 图a所示工字钢制成的梁，其计算简图可取为如图b所示的简支梁。钢的许用弯曲正应力[s]=152 MPa 。试选择工字钢的号码。 第四章 弯曲应力 例题4-17 图a所示工字钢制成的梁，其计算简图可取为如图b所示的简支梁。钢的许用弯曲正应力[s]=152 MPa 。试选择工字钢的号码。 (a) (b)

解：在不计梁的自重的情况下，弯矩图如图所示 第四章 弯曲应力 解：在不计梁的自重的情况下，弯矩图如图所示

此值虽略小于要求的Wz但相差不到1%，故可以选用56b工字钢。 第四章 弯曲应力 强度条件 要求： 由型钢规格表查得56b号工字钢的Wz为 此值虽略小于要求的Wz但相差不到1%，故可以选用56b工字钢。

如果计入梁的自重 ，危险截面仍在跨中，相应的最大弯矩则为 第四章 弯曲应力 如果计入梁的自重 ，危险截面仍在跨中，相应的最大弯矩则为 此时危险截面上的最大工作应力为 其值超过许用弯曲应力约4.6%。工程实践中，如果最大工作应力超过许用应力不到5%，则通常还是允许的。

第四章 弯曲应力 例题4-19 图a所示为横截面如图b所示的槽形截面铸铁梁，该截面对于中性轴z 的惯性矩Iz=5493×104 mm4。已知图a中，b=2 m。铸铁的许用拉应力[st]=30 MPa，许用压应力[sc]=90 MPa 。试求梁的许可荷载[F]。 (a) (b)

解：最大负弯矩所在B截面处，若截面的上边缘处最大拉应力st,max达到[st]，则下边缘处最大压应力sc,max为 第四章 弯曲应力 解：最大负弯矩所在B截面处，若截面的上边缘处最大拉应力st,max达到[st]，则下边缘处最大压应力sc,max为 根据 可知此sc,max并未达到许用压应力[sc]，也就是说，就B截面而言，梁的强度由最大拉应力控制。

最大正弯矩在C截面处，若截面的下边缘处最大拉应力st,max达到[st]，则上边缘处的最大压应力sc,max为 第四章 弯曲应力 最大正弯矩在C截面处，若截面的下边缘处最大拉应力st,max达到[st]，则上边缘处的最大压应力sc,max为 ，它远小于[sc]故就C截面而言，梁的强度也由最大拉应力控制。

由以上分析可知，该梁的强度条件系受最大拉应力控制。至于究竟是B截面上还是C 截面上的最大拉应力控制了梁的强度，可进一步分析如下： 第四章 弯曲应力 由以上分析可知，该梁的强度条件系受最大拉应力控制。至于究竟是B截面上还是C 截面上的最大拉应力控制了梁的强度，可进一步分析如下： B截面： C截面： 显然，B截面上的最大拉应力控制了梁的强度。

于是由B截面上最大拉应力不得超过铸铁的许用拉应力[st]的条件来求该梁的许可荷载[F]： 第四章 弯曲应力 于是由B截面上最大拉应力不得超过铸铁的许用拉应力[st]的条件来求该梁的许可荷载[F]： 由此得F≤19200 N，亦即该梁的许可荷载为[F]=19.2 kN。 当然，这个许可荷载是在未考虑梁的自重的情况下得出的，但即使考虑自重，许可荷载也不会减少很多。

§4-5 梁横截面上的切应力·梁的切应力强度条件 第四章 弯曲应力 §4-5 梁横截面上的切应力·梁的切应力强度条件 Ⅰ. 梁横截面上的切应力 一、 矩形截面梁横截面上的切应力 h b z y O dx

1、两点假设： 切应力与剪力平行； 矩中性轴等距离处，切应力相等。 第四章 弯曲应力 1、两点假设： 切应力与剪力平行； 矩中性轴等距离处，切应力相等。 2、研究方法：分离体平衡。 在梁上取微段如图b； 在微段上取一块如图c，平衡

第四章 弯曲应力 由切应力互等 横力弯曲时,横截面上切应力的计算公式.

Sz*--过所求应力点横线以外部分面积对中性轴的静矩. 第四章 弯曲应力 b h dy1 y z O y1 Sz*为面积A*对横截面中性轴的静矩. 式中: FS--所求切应力面上的剪力. IZ--整个截面对中性轴的惯性矩. Sz*--过所求应力点横线以外部分面积对中性轴的静矩. b--所求应力点处截面宽度.

t方向：与横截面上剪力方向相同 (不考虑正负号)； t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。 第四章 弯曲应力 t方向：与横截面上剪力方向相同 (不考虑正负号)； t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。 中性轴上有最大切应力. 为平均切应力的1.5倍。

二、工字钢截面梁横截面上的切应力 腹板最大弯曲切应力: FS Af —腹板的面积。 结论： 铅垂切应力主要腹板承受（95~97%），且 第四章 弯曲应力 二、工字钢截面梁横截面上的切应力 腹板最大弯曲切应力: Af —腹板的面积。 ; » max A FS t f 结论： 铅垂切应力主要腹板承受（95~97%），且 故工字钢最大切应力为

第四章 弯曲应力 三、薄壁环形截面梁横截面上的切应力

圆截面梁横截面上的最大切应力tmax在中性轴z处，其计算公式为 第四章 弯曲应力 四、圆形截面梁横截面上的切应力 圆截面梁横截面上的最大切应力tmax在中性轴z处，其计算公式为

第四章 弯曲应力 例题 某空心矩形截面梁，分别按图a及图b两种方式由四块木板胶合而成。试求在横力弯曲时每一胶合方式下胶合缝上的切应力。梁的横截面上剪力FS已知。

第四章 弯曲应力 解：图a所示胶合方式下，由图可知： b dx  (c)

第四章 弯曲应力 图b所示胶合方式下，由图可知： b-2 dx  (d)

第四章 弯曲应力 例题4-20 对于由56a号工字钢制成的如图a所示简支梁，试求梁的横截面上的最大切应力tmax和同一横截面上腹板上a点处(图b)的切应力t a 。梁的自重不计。

图d为该梁的剪力图，最大剪力为FS,max，存在于除两个端截面A，B和集中荷载F 的作用点处C 以外的所有横截面上。 第四章 弯曲应力 解：由型钢表查得56a号工字钢截面的尺寸如图b所示，且根据型钢表有Ix=65 586 cm4和 。前者就是前面一些公式中Iz，而后者就是我们以前在求tmax公式所 。 (d) 图d为该梁的剪力图，最大剪力为FS,max，存在于除两个端截面A，B和集中荷载F 的作用点处C 以外的所有横截面上。

第四章 弯曲应力 (d)

其中： 于是有：

第四章 弯曲应力 腹板上切应力沿高度的变化规律如图所示。 tmax

第四章 弯曲应力 Ⅱ. 梁的切应力强度条件

式中，[t ]为材料在横力弯曲时的许用切应力。 第四章 弯曲应力 图a所示梁在最大弯矩所在跨中截面上、下边缘上的C点和D点处于单轴应力状态(图d及图e)，进行强度计算时其强度条件就是按单轴应力状态建立的正应力强度条件 该梁最大剪力所在两个支座截面的中性轴上E和F点，通常略去约束力产生的挤压应力而认为其处于纯剪切应力状态(图f及图g)，从而其切应力强度条件是按纯剪切应力状态建立的，即梁的切应力强度条件为 式中，[t ]为材料在横力弯曲时的许用切应力。

图a所示梁在既有剪力又有弯矩的横截面m-m上任意点G和H处于如图h及图i所示的平面应力状态。 第四章 弯曲应力 图a所示梁在既有剪力又有弯矩的横截面m-m上任意点G和H处于如图h及图i所示的平面应力状态。 梁在荷载作用下，必须同时满足正应力强度条件和切应力强度条件。在选择梁的截面尺寸时，通常先按正应力强度条件定出截面尺寸，再按切应力强度条件校核。

第四章 弯曲应力 需要指出，对于工字钢梁如果同一横截面上的弯矩和剪力都是最大的(图a,b,c)(或分别接近各自的最大值) 则该截面上腹板与翼缘交界点处由于正应力和切应力均相当大 (图d)，因此处于平面应力状态(图e)。这样的点必须进行强度校核。

但要注意，这时不能分别按正应力和切应力进行强度校核，而必须考虑两种应力的共同作用，见第七章中例题7-7。

第四章 弯曲应力 s 此外，在最大弯矩所在横截面上还有剪力的情况，工字钢翼缘上存在平行于翼缘横截面边长的切应力，因此最大弯曲正应力所在点处也还有切应力，这些点事实上处于平面应力状态，只是在工程计算中对于它们通常仍应用按单轴应力状态建立的强度条件。

第四章 弯曲应力 例题4-22 一简易吊车的示意图如图a所示，起重量P=30 kN，跨长 l=5 m。吊车大梁由20a号工字钢制成，许用弯曲正应力[s]=170 MPa，许用切应力[t]=100 MPa。试校核梁的强度。 P

校核正应力强度 荷载移至跨中处(图b)时梁的横截面上的最大弯矩比荷载在任何其它位置都要大。荷载在此最不利荷载位置时的弯矩图如图c所示， 第四章 弯曲应力 解：吊车梁可简化为简支梁(图b)。 (b) P (b) P (c) 校核正应力强度 荷载移至跨中处(图b)时梁的横截面上的最大弯矩比荷载在任何其它位置都要大。荷载在此最不利荷载位置时的弯矩图如图c所示，

由型钢规格表查得20a号工字钢的弯曲截面系数为 。荷载在对应于弯矩的最不利荷载位置时的最大弯曲正应力为 第四章 弯曲应力 (c) 由型钢规格表查得20a号工字钢的弯曲截面系数为 。荷载在对应于弯矩的最不利荷载位置时的最大弯曲正应力为 其值小于许用弯曲正应力[s]=170 MPa。

而smax=162 MPa，即仍满足正应力强度条件。 第四章 弯曲应力 如果把吊车梁的自重 考虑在内，则 而smax=162 MPa，即仍满足正应力强度条件。

校核切应力强度。 荷载移至紧靠支座A处(如图)时梁的横截面上的最大剪力比荷载在任何其它位置时都要大。此时的约束力FA≈P，相应的剪力图如图。 第四章 弯曲应力 P 校核切应力强度。 荷载移至紧靠支座A处(如图)时梁的横截面上的最大剪力比荷载在任何其它位置时都要大。此时的约束力FA≈P，相应的剪力图如图。 对于20a号钢，由型钢规格表查得：

第四章 弯曲应力 P 于是有 其值小于许用切应力[t]=100 MPa。

从而tmax=25.5 MPa，仍满足切应力强度条件。 第四章 弯曲应力 如果把吊车梁的自重考虑在内，则 从而tmax=25.5 MPa，仍满足切应力强度条件。 以上强度校核中未计及荷载在跨中C处时，跨中偏左和偏右截面上同时存在最大弯矩和最大剪力而需对工字钢腹板与翼缘交界处进行的计算。

第四章 弯曲应力 §4-6 梁的合理设计 Ⅰ. 合理配置梁的荷载和支座

第四章 弯曲应力

(1) 尽可能使横截面上的面积分布在距中性轴较远处，以使弯曲截面系数Wz增大。 第四章 弯曲应力 Ⅱ. 合理选取截面形状 (1) 尽可能使横截面上的面积分布在距中性轴较远处，以使弯曲截面系数Wz增大。 由四根100 mm×80 mm×10 mm不等边角钢按四种不同方式焊成的梁(角钢的长肢均平放，故四种截面的高度均为160 mm)，他们在竖直平面内弯曲时横截面对于中性轴的惯性矩Iz和弯曲截面系数Wz如下：

第四章 弯曲应力 图a所示截面 图b所示截面 图c所示截面 图d所示截面

第四章 弯曲应力 (2) 对于由拉伸和压缩许用应力值相等的材料 (例如建筑用钢) 制成的梁，其横截面应以中性轴为对称轴。对于在压缩强度远高于拉伸强度的材料(例如铸铁)制成的梁，宜采用T形等对中性轴不对称的截面，并将其翼缘置于受拉一侧，如下图。 d z y O (b) yc,max yt,max b d1 h d2 (c) (a)

第四章 弯曲应力 例 4-18 图 因 为充分发挥材料的强度，最合理的设计为 即

第四章 弯曲应力 Ⅲ. 合理设计梁的外形 可将梁的截面高度设计成考虑各截面弯矩大小变化的变截面梁；若使梁的各横截面上的最大正应力都相等，并均达到材料的许用应力，则这种变截面梁称为等强度梁。

§Ⅰ- 3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式·组合 截面的惯性矩和惯性积 第四章 弯曲应力 §Ⅰ- 3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式·组合 截面的惯性矩和惯性积 工程中常遇到由基本图形构成的组合截面，例如下面例题中所示的两种横截面。当对组合截面杆件计算在外力作用下的应力和变形时需要求出它们对于形心轴x，y (本节中的x轴就是以前我们所用的z轴) 的一些几何性质，例如： 惯性矩 (moment of inertia) 惯性积 (product of inertia)

第四章 弯曲应力 在已知构成组合截面的每一图形对于通过其自身形心且平行于组合截面某个轴(例如x轴)的惯性矩时，组合截面的惯性矩可利用平行移轴公式求得。组合截面对于某对相互垂直的轴(例如x，y轴)的惯性积也可类似地求得。 y2 y1 y x b d1 h O d2 x

第四章 弯曲应力 Ⅰ. 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 已知任意形状的截面(如图)的面积A以及对于形心轴xC和yC的惯性矩 及惯性积 ，现需导出该截面对于与形心轴xC ， yC平行的x轴和y轴的惯性矩Ix，Iy和惯性积Ixy。截面的形心C在x，y坐标系内的坐标为

因截面上的任一元素dA在x，y坐标系内的坐标为 第四章 弯曲应力 因截面上的任一元素dA在x，y坐标系内的坐标为 于是有 注意到xC轴为形心轴，故上式中的静矩 等于零，从而有

以上三式就是惯性矩和惯性积的平行移轴公式。需要注意的是式中的a，b为坐标，有正负，应用惯性积平行移轴公式时要特别注意。 第四章 弯曲应力 同理可得 以上三式就是惯性矩和惯性积的平行移轴公式。需要注意的是式中的a，b为坐标，有正负，应用惯性积平行移轴公式时要特别注意。

若组合截面由几个部分组成，则组合截面对于x，y两轴的惯性矩和惯性积分别为 第四章 弯曲应力 Ⅱ. 组合截面的惯性矩及惯性积 若组合截面由几个部分组成，则组合截面对于x，y两轴的惯性矩和惯性积分别为 y2 y1 y x b d1 h O d2 x

例题Ⅰ- 5 试求图a所示截面对于x轴的惯性矩Ix ，对于y轴的惯性矩Iy ，以及对于x，y轴的惯性积Ixy 。 第四章 弯曲应力 (a) 例题Ⅰ- 5 试求图a所示截面对于x轴的惯性矩Ix ，对于y轴的惯性矩Iy ，以及对于x，y轴的惯性积Ixy 。

解：将截面看作由一个矩形和两个半圆形组成，半圆形的形心位置如图b所示。 第四章 弯曲应力 解：将截面看作由一个矩形和两个半圆形组成，半圆形的形心位置如图b所示。 (1)求Ix 设矩形对x轴的惯性矩为 ，每个半圆形对x轴的惯性矩为 ，则有 其中：

第四章 弯曲应力 至于 则需先求出半圆形对其自身形心轴的惯性矩。根据平行移轴公式可得 ，而半圆形对于直径轴x'(图b)的惯性矩等于圆形对x'轴的惯性矩 的一半，于是得

然后再利用平行移轴公式求半圆形对x轴的惯性矩： 第四章 弯曲应力 然后再利用平行移轴公式求半圆形对x轴的惯性矩： 将 d = 80 mm，a = 100 mm 代入后得 从而得图a所示截面对x轴的惯性矩：

此组合截面的y轴就是矩形和半圆形的形心轴，故不必应用平行轴公式而有 第四章 弯曲应力 （2） 求Iy 此组合截面的y轴就是矩形和半圆形的形心轴，故不必应用平行轴公式而有 将 d = 80 mm，a = 100 mm 代入后得

第四章 弯曲应力 （3） 求 Ixy 由 可知，只要x 轴或y 轴为截面的对称轴，则由于与该轴对称的任何两个面积元素dA的惯性积xydA数值相等而正负号相反，致使整个截面的惯性积必定等于零。图a所示截面的x 轴和y 轴都是对称轴，当然Ixy=0。

第四章 弯曲应力 例题Ⅰ- 6 图示组合截面由一个25c号槽钢截面和两个90 mm×90 mm×12 mm等边角钢截面组成。试求此截面分别对于形心轴x和y的惯性矩Ix 和 Iy 。

解：由型钢规格表查得： 25c号槽钢截面 形心位置如图所示 90 mm×90 mm×12 mm等边角钢截面 形心位置如图所示 第四章 弯曲应力 解：由型钢规格表查得： 25c号槽钢截面 形心位置如图所示 90 mm×90 mm×12 mm等边角钢截面 形心位置如图所示

组合截面的形心C在对称轴x上。以两个角钢截面的形心连线为参考轴先求组合截面形心C以该轴为基准的横坐标 ： 第四章 弯曲应力 1. 求组合截面的形心位置 组合截面的形心C在对称轴x上。以两个角钢截面的形心连线为参考轴先求组合截面形心C以该轴为基准的横坐标 ： 于是有距离

第四章 弯曲应力 2. 利用平行移轴公式求Ix和Iy 槽钢截面对x轴和y轴的惯性矩为

第四章 弯曲应力 角钢截面对x轴和y轴的惯性矩为

顺便指出，该组合截面的x轴为对称轴，因此截面对于x，y这对轴的惯性积Ixy等于零。 第四章 弯曲应力 于是有组合截面对x轴和y轴的惯性矩： 顺便指出，该组合截面的x轴为对称轴，因此截面对于x，y这对轴的惯性积Ixy等于零。

第四章 弯曲应力 思考题: 图示为两根同一型号的槽钢截面组成的组合截面。已知每根槽钢截面面积A，每根槽钢截面对于自身形心轴y0的惯性矩Iy0以及通过槽钢截面腹板外侧的轴y1的惯性矩Iy1，试问是否可用下列两式中的任何一式求组合截面对于y轴的惯性矩Iy并说明理由：