24.3 正多边形和圆

正多边形和圆 E D A C B

你知道正多边形与圆的关系吗？ 正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆.

想一想： 菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？ www.qyxk.net 中学数学网（群英学科）收集提供

问题1，什么样的图形是正多边形？ 各边相等,各角也相等的多边形是正多边形.

D A B C 弦相等（多边形的边相等） 弧相等— 圆周角相等（多边形的角相等） —多边形是正多边形

· 1：我们以圆内接正五边形为例证明. 如图,把⊙O分成把⊙O分成相等的5段弧,依次连接各分点得到正五边形ABCDE. ∴ ∠A=∠B. ∵ ∴ AB=BC=CD=DE=EA, ∴ ∠A=∠B. 同理∠B=∠C=∠D=∠E. 又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上, ∴ 五边形ABCD是⊙O的内接正五边形, ⊙O是五边形ABCD的外接圆.

2. 各边相等的圆内接多边形是正多边形?各角都相等的圆内接多边形呢?如果是,说明为什么;如果不是,举出反例. A６ A５ A７ · 解答：各边相等的圆内接多边形是正多边形. 多边形A1A2A3A4…An是⊙O的内接多边形, A４ O An 且A1A2=A2A3=A3A4=…=An－1An, A３ A1 A２ ∴　多边形A1A2A3A4…An是正多边形. 先说A1

· 我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心. 外接圆的半径叫做正多边形的半径. 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角. O · 中心角 半径R 边心距r 中心到正多边形的距离叫做正多边形的边心距.

. E D F . 2个全等的直角三角形 C O A B 中心角 边心距把△AOB分成 R a G 设正多边形的边长为a,半径为R,它的周长为L=na.

正n边形的一个内角的度数是____________; 中心角是___________; 正多边形的中心角与外角的大小关系 是________. 相等

例 有一个亭子,它的地基半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m2). 解: 如图由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于 ，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径. 因此,亭子地基的周长 l =4×6=24(m). 在Rt△OPC中,OC=4, PC= 利用勾股定理,可得边心距 F E O 亭子地基的面积 A D R r B P C

解答： 练习 1. 矩形是正多边形吗?菱形呢?正方形呢?为什么? 矩形不是正多边形，因为四条边不都相等; 菱形不是正多边形，因为菱形的四个角不都相等; 正方形是正多边形．因为四条边都相等，四个角都相等.

3.分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方形的边长，边心距和面积. 解：作等边△ABC的BC边上的高AD,垂足为D 连接OB，则OB=R A 在Rt△OBD中 ∠OBD=30°, · 边心距＝OD= O 在Rt△ABD中 ∠BAD=30°, B C D

解：连接OB，OC 作OE⊥BC垂足为E， ∠OEB=90° ∠OBE= ∠ BOE=45° 在Rt△OBE中为等腰直角三角形 · A D O C B E

3、OD叫作正△ABC的 它是正△ABC的 圆的半径。 边心距 内切 D 抢答题： 1、O是正 圆与　　圆的圆心。 △ABC的中心，它是△ABC的 外接 内切 A B C 　.O 2、OB叫正△ABC的　　　　　， 它是正△ABC的 圆的半径。 　　　　　 半径 外接 www.qyxk.net 中学数学网（群英学科）收集提供 3、OD叫作正△ABC的　　　　　它是正△ABC的 圆的半径。 边心距 内切 D

中心 边心距 A D .O E B C 4、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做 正方形ABCD的 5、正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做

边心距 内切 中心 72度 D E A B C .O F 6、⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的 弦心距OF叫正五边形ABCDE的 　　　　， 它是正五边形ABCDE的　　　　　圆的半径。 边心距 内切 7、 ∠AOB叫做正五边形ABCDE的　　　　角， 它的度数是 中心 72度 D E A B C .O F

∠AOB 60度 E F C D .O A B 8、图中正六边形ABCDEF的中心角是 它的度数是 什么数量关系？为什么？　 E F C D .O 解答：正六边形的半径与边长数量关系是相等 www.qyxk.net 中学数学网（群英学科）收集提供 因为：正六边形的中心角是60度和半径组成的三角形是等边三角形，所以边长与半径相等。 A B

由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能力之一。 怎样画一个正多边形呢？ 问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形. A ①用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°． ②用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°． 120 ° O C B

· 你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？ A B C D E O A F · D E · O O A D C B B C 90° 72° 60° C B B C

只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形…… 你能尺规作出正四边形、正八边形吗？ · A D O C B

先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形……… 你能尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？ 以半径长在圆周上截取六段相等的弧，依次连结各等分点，则作出正六边形. 先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形……… F E · O A D B C

C A B M N D

达标检测： 1、判断题。 ①各边都相等的多边形是正多边形。 （ ） ②一个圆有且只有一个内接正多边形。 （ ） 2、证明题。 求证：顺次连结正六边形 各边中点所得的多 边形是正六边形。 × × A F E B C D

正多边形都是轴对称图形，一个正n边形 共有n条对称轴，每条对称轴都通过n边形 的中心。

同学们要好好学习老师期盼你们快快进步！ 快走啊赶紧去做正多边形与圆的习题哦！！