北师大版数学 七年级下册 第三章 三角形 回顾与思考

一、 认识三角形 1.了解三角形定义: 2.认识三角形的边、内角、顶点。 A B C

二、三角形的性质 （1）边上的性质： 三角形的任意两边之和大于第三边 三角形的任意两边之差小于第三边 （2）角上的性质： A B C （1）边上的性质： 三角形的任意两边之和大于第三边 三角形的任意两边之差小于第三边 A B C （2）角上的性质： 三角形三内角和等于180度 直角三角形的两个锐角和等于90度

练一练： 1、下列每组分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？（单位：厘米。填“能”或“不能”) ① 3，4，5（ ） ② 8，7，15（ ） ③ 13，12，20（ ） ④5，5，11（ ） 能 不能 能 不能 2、根据下列条件判断它们是什么三角形？ （1）三个内角的度数是1:2:3（ ） （2）两个内角是50°和30° （ ） 直角三角形 钝角三角形 3、△ABC，AB＝5，BC＝9，那么 ＜AC＜ ___ 4 14 4、一个三角形的两边长分别是3和8，而第三边长为 奇数，那么第三边长是 ______ 7 或 9

5、已知一个等腰三角形的一边是3cm，一边是7cm， 这个三角形的周长是 _________ （第6题） （第7题） 6、如上图，∠1=60°，∠D=20°，则∠A= 度 7、如上图，AD⊥BC，∠1=40°，∠2=30°， 则∠B= 度，∠C= 度 100 60 50

2、已知三角形三个内角的度数比为1：3：5，求这三个内角的度数。 1、如图，求△ABC各内角的度数。 A B C 3x 5x 解：3x + 2x + x = 180 6x=180 X=30 ∴三角形各内角的度数分别为：30°，60°，90° 2x 3x x x 2、已知三角形三个内角的度数比为1：3：5，求这三个内角的度数。 解：设三个内角分别为x，3x，5x 则x + 3x + 5x = 180 x=20 ∴三角形三个内角分别为：20°，60°,100°

8.在△ABC中，如果∠A＋∠B＝ 2∠C，∠A≠∠B， 那么（　　） A、∠A＝600 B、∠B＝600， C、∠C＝600 D、∠A、∠B、∠C都不等于600　 C 9.在△ABC中，如果∠A= ∠C ∠B= 则△ABC是 （ ） A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 B 10.在△ABC中，如果∠A = 2 ∠B = 3 ∠C 则△ABC是 （ ） A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 A

三、三角形的中线、角平分线、高线、中垂线的概念 1.了解三角形的角平分线，中线及高线的概念 B C E A 线段AE是三角形BC边上的中线. BE=EC

B C D 1 2 A 线段AD是三角形∠BAC的角平分线. ∠1=∠2

线段AD是BC边上的高. A B C D ∠ADB=∠ADC =90°

B C E A 直线DE是BC边上的中垂线. D ∠DEB=∠DEC =90° 且 BE=EC 连接DC DB=DC(中垂线的性质）

四、三角形三线的性质 1.三角形的三条中线交于一点.（三角形内部） 2.三角形的三条角平分线交于一点. （三角形内部） 3.三角形的三条高所在直线交于一点 ①锐角三角形的三条高交于同一点. （三角形内部） ②直角三角形的三条高交于直角顶点. ③钝角三角形的三条高不相交于一点 钝角三角形的三条高所在直线交于一点（三角形外部）

1.如图，在△ABC中,BE是边AC上的中线。已知AB=4，AC=3，BE=5，△ABE的周长=________. 练一练: 1.如图，在△ABC中,BE是边AC上的中线。已知AB=4，AC=3，BE=5，△ABE的周长=________. 10.5 B C D F E A C B A E 2.如图,CE,CF分别是△ABC的内角平分线和外角平分线,则∠ECF的度数=______度. 90 邻补角的角平分线的夹角为90度。

3.如图，AD、BF都是△ABC的高线，若∠CAD=30度，则∠CBF=______度。 E C B D 4、如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE是AB边上的高，BD，CE交于点P。 已知∠ABC=600，∠ACB=700, 求∠ACE，∠BDC的度数。 400 800

三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形 三角形中线的性质： 三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形 A B C D 如图，若AD是△ABC中BC边上的中线， 则有 △ABD的面积=△ACD的面积

如下图，已知AD是△ABC的中线，CE是△ADC的中线，若△ABC的面积是8，求△DEC的面积。

五、三角形全等的判定方法 （1）全等三角形的定义 能够完全重合的两个三角形是全等三角形 （2）边边边公理（SSS） 三边对应相等的两个三角形全等 （3）边角边公理（SAS） 两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等 （4）角边角公理（ASA） 两角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等 （5）角角边公理（AAS） 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

结论：两边及其一边所对的角相等， ASS 3.5cm 3.5cm 2.5cm 2.5cm 40° 40° 两个三角形不一定全等 F C A D E B 结论：两边及其一边所对的角相等， 两个三角形不一定全等

AAA 三个角对应相等的两个三角形不一定全等

C E B A D 不能把“AAS”、“ASA”简述为 “两角和一边对应相等的两个三角形全等”？ 在△ADE和△ABC中 “两角和一边对应相等的两个三角形全等”？　 A B C D E 在△ADE和△ABC中 但△ABC和△ADE不全等 结论：说明两个三角形全等时, 特别注意边和角“位置上对应相等” 。

判断两个三角形全等的方法有： (1)： ； SSS (2)： ； SAS (3)： ； ASA (4)： ； AAS

4．三角形全等的条件思路： 当两三角形已具备两角对应相等时，第三条件应找 。 当两三角形已具备两边对应相等时，第三条件应找 当两三角形已具备一角一边对应相等时，第三条件应找 5．找三角形全等的条件时经常见到的隐含条件有：

如图,已知AC平分∠BCD, 要说明△ABC≌△ADC, 还需要增加一个什么条件?请说明理由。 BC=CD 或∠BAC=∠DAC 或∠B=∠D D

基础训练 1、如图AD=BC，要判定△ABC≌△CDA， 还需要的条件是 　　 . AB=CD A B C D 或∠DAC＝∠BCA

2、如图,已知AB=ED,AF=CD,EF=BC, 说明∠EFD=∠BCA的理由。

1.如图，已知AB=CD，AD=BC， 问∠B=∠D吗？请说明理由。 A C D B

2. 如图， ∠ A= ∠ D, ∠ ACB= ∠ DBC 问AB=DC吗？试说明理由。

3.已知 △ABC 和 △AED 中, ∠B =∠E ,AB=AE

5.如图,O是AB的中点， O是CD的中点，试说明：AC∥BD

6.如图,AC ∥DE, ∠ B= ∠F,BD=CF, 试说明AB=EF

思考题： 3、如图:AC和DB相交于点O,若AB=DC， AC=DB，则∠B=∠C,请说明理由. A D O B C

Rt△ABC≌ Rt△A´B´C´ ∴ 斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等，简写为“斜边、直角边”或“HL”。 数学语言： ∟ B C A ∟ B ´ C´ A ´ 数学语言： ∵在Rt△ABC和Rt△A´B´C´中 AB=A´B´ BC=B´C´ Rt△ABC≌ Rt△A´B´C´ ∴ （HL）

判断两个直角三角形全等的方法有： (1)： ； SSS (2)： ； SAS (3)： ； ASA (4)： ； AAS (5)： ； HL

快问快答 把下列说明Rt△ABC≌Rt△DEF的条件或根据补充完整. A (2) AC=DF,________ (SAS) (1) _______,∠A=∠D ( ASA ) (2) AC=DF,________ (SAS) (3) AB=DE,BC=EF ( ) (4) AC=DF, ______ ( HL ) (5) ∠A=∠D, BC=EF ( ) (6) ________,AC=DF ( AAS ) A AC=DF BC=EF B HL C AB=DE D AAS ∠B=∠E E F

综合练测 。 2.如图，∠ACB =∠ADB=90，要使△ABC≌ △BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应 的括号内填写出判定它们全等的理由。 （1） （ ） （2） （ ） （3） （ ） （4） （ ） AD=BC HL BD=AC HL ∠ DAB= ∠ CBA AAS ∠ DBA= ∠ CAB AAS A B D C

练一练 我能行！ 如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？ 解：BC=BD C ∵在Rt△ACB和Rt△ADB中 AB=AB, AC=AD. A B ∴ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL). ∴BC=BD D

拓展练习 1、图中三角形的个数是（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 A 当增加n条线的时候，有多少个三角形？　　　　 E

2、如图，∠1=∠2，AB=CD，AC与BD相交于点O，则图中必定全等的三角形有（ ）

3.有一次柯南看见这样一个图，要计算：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 度 360 A B G H C F M D E

4、已知等腰三角形底边为8，一腰上的中线分此三角形的周长成两部分，其差为2，则腰长为 . 6或10 4、已知等腰三角形底边为8，一腰上的中线分此三角形的周长成两部分，其差为2，则腰长为 . 5、如图，AD是△ABC的高，且AD平分∠BAC，请指出∠B与∠C的关系，并说明理由。

2.如图，已知∠C＝∠E，∠1＝∠2，AB＝AD，△ABC和△ADE全等吗？为什么？ 解： △ABC和△ADE全等。　　　　∵∠1＝∠2（已知）　　　　　　　　　∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC　　　　　即∠BAC＝∠DAE　 在△ABC和△ADC 中　　　　　　 A 2 E 1 B D C ∴ △ABC≌△ADE （AAS）

4、如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E， AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？ 说说你的理由

如图线段AB是一个池塘的长,现在想测量这个池塘的长度，在水上测量不方便，你有什么好的方法较方便地把池塘的长度测量出来吗？想想看。

8、把两个形状,大小都相同的火柴盒如图放置,判断AB和CD两条对角线是否互相垂直,并说明理由. 开启 你说 智慧 我说 8、把两个形状,大小都相同的火柴盒如图放置,判断AB和CD两条对角线是否互相垂直,并说明理由. 你们可要好好动动 脑哟！ 这是一种什么图形 变换？

小莉的设计方案：先在池塘旁取一个能直接到达A和B处的点C，连结AC并延长至D点，使AC=DC，连结BC并延长至E点，使BC=EC，连结CD，用米尺测出DE的长，这个长度就等于A，B两点的距离。请你说明理由。 AC=DC  ∠ACB=∠DCE BC=EC 解： B A △ACB≌△DCE(SAS) C D AB=DE E