第八章 强度理论 组合变形

4 1 2 3 8.1平面应力状态分析 一、应力状态的基本概念 1、概述 引言：在讨论拉压、扭转、剪切、弯曲时，建立的强度条件都是分别建立正应力或剪应力的强度条件。 再有杆件内任意一点处不同方位的截面上应力是不同的。 组合变形怎么办？ 4 1 2 组合 3

txy s 2、应力状态的概念 定义：过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态。 如何研究？取单元体。 单元体：构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。显然， 各个面上，应力均布；平行面上，应力相等。 x y z s sz txy 普遍状态下的应力表示 注意：剪应力符号与正 应力保持一致 空间应力状态

t txy txy s 二、 平面应力状态分析 如果单元体有一对平面上的应力为零，则称为平面应力状态。 sy y sy sx sx x z yx sx txy sy sx txy sy x y z 两种特殊情况 纯剪切应力状态 A s x 单（轴）向应力状态

tyx txy tyx 1、任意斜截面上的应力 n 规定： sy  ——截面外法线同向为正； sa t a ——绕研究对象顺时针转为正； sx sa ta a t n 规定：  ——截面外法线同向为正； t a ——绕研究对象顺时针转为正； a ——逆时针为正。 sx txy sy tyx 设斜截面面积为S，由分离体平衡得： 同理：

2、应力圆 （或莫尔圆，德国工程师） 对上述方程消去参数（2），得： 圆心坐标 ： 半径 ：

德国工程师Christian Otto Mohr 摩尔 Moore, Raymond Cecil 1892.2.20~ 1974.4.16, 美国美国古生物学家 戈登·摩尔Gordon Moore,1929- 版本1：集成电路芯片上所集成的电路的 数目，每隔18个月就翻一番。 版本2：微处理器的性能每隔18个月提高一倍，而价格下降一半。 版本3：用一个美元所能买到的电脑性能，每隔18个月翻两番。

3、主应力与主平面 主平面：剪应力为零的截面。 主应力：主平面上的正应力。 主方向：主平面法线方向即主应力方向。 表明：主应力具有极值的性质。 主应力是所有垂直于xy坐标平面的方向面上正应力的极大值或极小值。 主应力

有三个主应力：两个求出的主应力加上平面应力状态固有的等于零的主应力（相互垂直）。按代数值由大到小顺序排列，分别用 表示，且 根据主应力的大小和方向可以确定材料何时发生失效或破坏，确定失效或破坏的形式。因此，可以说主应力是反映应力状态本质的特征量。

4、 极值剪应力 2 x y y x min max t s + - ± = î í ì ） （

例:已知应力状态（MPa）,求主应力并画出主单元体。 解：

txy sx sy x y O n sa ta a 补充：单元体与应力圆的对应关系 面上的应力( ， ) 应力圆上一点( ， ) D( sa , ta) 2a n O sa ta x A(sx ,txy) B(sy ,tyx) C 两面夹角 两半径夹角2 ；且转向一致。

思考题：在何种情况下，平面应力状态下的应力圆符合以下特征： （1）一个点圆； （2）圆心在原点； （3）与y轴相切。

例题: 已知应力圆。画出初始单元体及其应力主单元体(单位：MPa)。 解：初始单元体 主单元体 半径

例题:求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa) B sa ta (MPa) O 20MPa A B A C 2α0 s3 s2 s1

B 解：主应力坐标系如图 A 在坐标系内画出点 2 0  1 AB的垂直平分线与sa 轴的交点C便是圆心， 以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆 主应力及主平面如图

思考题: 作出应力圆。

8.2 强度理论 在简单应力状态下，强度条件通过试验确定。分别校核最大正应力和最大剪应力。 大多数危险点处于复杂应力状态。如何建立强度条件？ 强度理论：依据实验及材料破坏现象的分析，所提出的被证明在一定范围内成立的强度失效假说。适用于任意应力状态。 材料的破坏形式：⑴ 屈服； ⑵ 断裂 。 材料分为塑性材料和脆性材料两类。强度理论也相应分为两类。 常用的强度理论只适用于常温和静载情况。

当最大拉应力达到单向拉伸的强度极限时，构件就断了。 1、第一强度理论——最大拉应力理论 某点的最大拉应力（即某点的第一主应力 ）是破坏的原因。 当最大拉应力达到单向拉伸的强度极限时，构件就断了。 解释断裂失效，适用于脆性材料。 强度条件为： 缺点：未考虑第二、第三主应力的影响，单压、二向压缩无法使用。

使用条件：构件直到发生断裂前应服从虎克定律 2、第二强度理论——最大伸长线应变理论 某点的最大拉应变（即某点的第一主应变 ）是破坏 的原因。 当最大伸长线应变达到单向拉伸试验下的极限应变时，构件就断了。 解释断裂失效，适用于脆性材料。 强度条件为： 使用条件：构件直到发生断裂前应服从虎克定律 缺点：（P180)

3、第三强度理论——最大剪应力理论 某点的最大剪应力是引起该点屈服的原因。 当最大剪应力达到单向拉伸试验的极限剪应力时， 材料就破坏了。 解释屈服失效，适用于塑性材料。 强度条件为： 缺点：未考虑第二主应力的影响。

4、第四强度理论——形状改变比能理论 某点的形状改变比能是引起该点屈服的原因。 当形状改变比能达到单向拉伸试验屈服时形状改变比能时，构件就破坏了。 解释屈服失效，适用于塑性材料。 强度条件为：

5、莫尔强度理论 莫尔认为：最大剪应力是使物体破坏的主要因素， 但滑移面上的摩擦力也不可忽略（莫尔摩擦定律）。 综合最大剪应力及最大正应力的因素，莫尔得出了他自己的强度理论。 适用于拉压不同性的脆性材料。 根据大量的材料力学性能实验结果归纳而成。 强度条件为：

注意：破坏形式还与温度、变形速度等有关！ 补充：强度理论的应用 脆性材料：当最小主应力大于等于零时，使用第一理论； 当最小主应力小于零而最大主应力大于零时，使用莫尔理论。 当最大主应力小于等于零时，使用第三或第四理论。 塑性材料：当最小主应力大于等于零时，使用第一理论； 其它应力状态时，使用第三或第四理论。 简单变形时：一律用与其对应的强度准则。 注意：破坏形式还与温度、变形速度等有关！

例题: 直径为d=0.1m的圆杆受力如图,T=7kNm,P=50kN, []=40MPa,试用第一强度理论校核杆的强度。 故，安全。

8.3、组合变形 1、问题的提出 组合变形的概念 杆件在外力作用下，同时产生两种或两种以上基本变形的情况 事例 弯扭组合 弯曲

弯扭拉组合 弯曲

2、分析方法 在线弹性小变形范围内，采用叠加原理，先分解成基本变形，分别计算相应的应力分量，然后将同一点的同一截面上的相应应力分量叠加。 条件： 分解 分算 叠加 （1）材料处于线弹性 （2）小变形——各基本变形之间无耦合

本章结束 课程结束 还要考试

一、问答题（每题8分，计32分） 二、填空题（每空3分，计18分） 三、计算题（3题，计50分）