27.2.1相似三角形的判定(1)

2.相似三角形的———————,各对应边的———— 回顾 相等 比相等 1. 对应角_____, 对应边的————的两个 三角形, 叫做相似三角形 2.相似三角形的———————,各对应边的———— 对应角相等 比相等 A B C 如果△ ABC∽ △DEF, 那么 ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F D E F

回顾 １、两个全等三角形一定相似吗？为什么？ 相似比是多少？ ２、两个直角三角形一定相似吗？为什么？ 两个等腰直角三角形呢？ ３、两个等腰三角形一定相似吗？为什么？ 两个等边三角形呢？ 300 450

知识回顾 1、相似多边形的性质和判定 2、什么叫相似比 3、最简单的相似多边形是什么图形

要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上。 新课导入 A1 B1 C1 A B C 要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上。 注意 ∠A =∠A1， ∠B =∠B1， ∠C =∠C1， 如果 则△ABC 与△A1B1C1 相似， 记作△ABC ∽ △A1B1C1。

相似的表示方法 如何证明两个三角形相似呢？ 符号：∽ 读作：相似于 相似比 A B C A1 B1 C1

探　究 如图，任意画两条直线l1、l2,再画三条与l1、l2相交的平行线l3、l4 、l5.分别度量l3、l4 、l5 在l1上截得的两条线段AB,BC和在l2上截得的两条线段DE,EF的长度， 　　　 相等吗？ A B C D E F l1 l2 l3 l4 l5 任意平移l5，再度量AB,BC，DE,EF的长度. 相等吗？

三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等. 平行线分线段成比例定理： 事实上，当L3//L4//L5时，都可以得到 ，还可以得到: A B C D E F l1 l2 l3 l4 l5 三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等.

平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等. A B C D E l1 l2 l3 l4 l5 A B C D E l1 l2 l3 l4 l5 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等.

数学符号语言 数学符号语言 ∵ DE∥BC AD AE AC AB ∵ ∵ DE∥BC AD AE AC AB ∵ = = L1 L2 L3 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等

练习一: 1、判断题: 2、填空题: A B C D E —— 如图:DE∥BC, 下列各式是否正确 D: ＝ AD AE AB AC ( ) C: B: BD CE A: 2、填空题: 如图:DE∥BC, 已知: 2 ＝ —— AE AC — 5 AD AB 求: A B C E D 2 — 5

A B C D E 例题2 解: 即 ∵ DE∥BC AB AC BD CE ∴ —— ＝ 15 9 4 CE —— ＝ ＝ 12 5 — BD=4 . 求：AE=? 例题2 ∵ DE∥BC 解: AB AC BD CE ∴ —— ＝ （推论） 15 9 4 CE —— ＝ 即 ＝ 12 5 — ∴ CE 12 2 5 ∴ AE= AC+CE=9+ =11— —

(B组) 练习二: (A组) A 1、如图: 已知 DE∥BC, AB = 14, AC = 18 ， AE = 10， 求：AD的长。 E 2、如图: 已知AB⊥BD， ED⊥BD，垂足分别为 B、D。 求证： AC C D B BC —— ＝ EC DC E

— 达标检测题: (A组) (B组) 2 3 D E A 1、如图: 已知 DE∥BC, AB = 5, AC = 7 ， AD= 2， 求：AE的长。 B C C (B组) A 2、已知 ∠A =∠E=60° 求：BD的长。 B E AB — 2 3 CB = 4， —— = BE D

？ 思 考 如图,在△ABC 中,DE//BC, DE分别交AB,AC 于点D,E, △ADE与△ABC有什么关系?

直觉告诉我们, △ADE与△ABC相似,我们通过相似的定义证明这个结论. 先证明两个三角形的对应角相等. 在△ADE与△ABC中, ∠A=∠A, ∵DE//BC, ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C.

再证明两个三角形的对应边的比相等. 过E作EF//AB,EF交BC于F点. 在平行四边形BFED中,DE=BF,DB=EF.

即:△ADE与△ABC中, ∠A=∠A,∠ADE=∠B, ∠AED=∠C. ∴△ADE∽△ABC

知识要点 A型 相似三角形判定的预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 你还能画出其他图形吗？ 即： B C D E 你还能画出其他图形吗？ 即： 在△ABC中， 如果DE∥BC， 那么△ADE∽△ABC

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。 延伸 X型 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。 D E A C B 即： 如果DE∥BC， 那么△ADE∽△ABC M N 你能证明吗？

相似具有传递性 A B C D E M N 如果再作 MN∥DE ，共有多少对相似三角形？ △ADE∽△ABC △AMN∽△ABC △AMN∽△ADE 共有三对相似三角形。

理解 请写出它们的对应边的比例式

理解 已知：如图，AB∥EF ∥CD， 3 图中共有____对相似三角形。 AB∥EF △AOB∽ △FOE AB∥CD △AOB ∽△DOC EF∥CD △EOF∽△COD

运用4 如图，△ABC 中，DE∥BC，GF∥AB，DE、ＧＦ交于点Ｏ，则图中与△ABC相似的三角形共有多少个?请你写出来. O 解： 与△ABC相似的三角形有3个:　　 △AＤＥ　 △ＧＦＣ　 △ＧＯＥ

如图在平行四边形ABCD中，E为AD上一点，连结CE并延长交BA的延长线于点F， 请找出相似的三角形并表示出来。

运用 解: (1) DE ∥ BC △ADE∽△ABC ∠AED=∠C=400. 如图,已知DE ∥ BC,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm, ∠BAC=450,∠ACB=400. (1)求∠AED和∠ADE的大小;(2)求DE的长. A D B E C 解: (1) DE ∥ BC △ADE∽△ABC ∠AED=∠C=400. 在△ADE中, ∠ADE=1800-400-450=950. △ADE∽△ABC （2）

运用 1：4 如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC， （1）请找出图中所有的相似三角形； （2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_____。 △ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC 1：4 A B C D E F G H I

1、如图,在 ABCD中，E是边BC上的一点，且BE:EC=3:2，连接AE、BD交于点F，则BE:AD=_____，BF:FD=_____。 3:5 3:5 A B C D E F 2、如图，在△ABC中，∠C的平分线交AB于D，过点D作DE∥BC交AC于E，若AD:DB=3:2，则EC:BC=______。 A B C E D 3:5

4.如图：在△ABC中，点M是BC上任一点， MD∥AC，ME∥AB， 2份 5份 3份 解：∵MD∥AC， ∴△BDM∽△BAC ∴ = = ， BD BA 2 5 BM BC = 3 5 MC BC 又∵ ME∥AB， ∴△CEM∽△CAB ∴ = CE CA CM CB 3 5 =

类似于判定三角形全等的方法，我们还能不能通过三边来判断两个三角形相似呢？

思考 三边对应成 比例 C’ B’ A’ A C B 是否有△ABC∽△A’B’C’？

证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′, 求证:△ABC∽△A`B`C` A` B` C` 证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′, 过点D作DE∥BC交AC于点E. ∴ △ADE∽△ABC , ∴ A B C ∵ 又 D E ∴ . 因此 . ∴△ADE≌△ ∴△ ∽△ABC

要证明△ABC∽△A’B’C’，可以先作一个与△ABC全等的三角形，证明它△A’B’C’与相似．这里所作的三角形是证明的中介，它把△ABC△A’B’C’联系起来．

A’ C’ 回顾 B’ 简单地说:三边对应的比相等,两三角形相似. △ABC∽△A’B’C’ 如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似. 简单地说:三边对应的比相等,两三角形相似.

知识要点 三角形相似判定定理之一 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。简称：三边对应成比例，两三角形相似。 A1 B1 C A1 B1 C1 △ABC∽△A1B1C1. 即： 如果 那么

小练习 求证：∠BAD=∠CAE。 已知： A E 解：∵ ∴ΔABC∽ΔADE D C ∴∠BAC=∠DAE B ∴∠BAC－∠DAC =∠DAE－∠DAC 即∠BAD=∠CAE

　　类似于判定三角形全等的方法，我们能通过两边和夹角来判断两个三角形相似呢？

如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角相似. 　　实际上，我们有利用两边和夹角判定两个三角形相似的方法． 如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角相似.

？ 思 考 对于△ABC和△A’B’C’, 如果 , ∠B=∠B’,这两个三角形一定相似吗?试着画画看.

例1:根据下列条件，判断△ABC与△A’B’C’是否相似，并说明理由． (1)∠A=1200,AB=7cm,AC=14cm. ∠A’=1200,A’B’=3cm,A’C’=6cm. (2)AB=4 cm,BC=6cm,AC=8cm, A’B’=12cm,B’C’=18cm,A’C’=21cm.

要使两三角形相似，不改变的AC长，A’C’的长应改为多少？ ∽ 要使两三角形相似，不改变的AC长，A’C’的长应改为多少？ △ABC与△A’B’C‘的三组对应边的比不等，它们不相似．

练习 (1)∠A=400,AB=8,AC=15, ∠A’=400,A’B’=16,A’C’=30; 1.根据下列条件,判断△ABC与△A’B’C’是否相似,并说明理由: (1)∠A=400,AB=8,AC=15, ∠A’=400,A’B’=16,A’C’=30; (2)AB=10cm,BC=8cm,AC=16cm, A’B’=16cm,B’C’=12.8cm,A’C’=25.6cm.

2.图中的两个三角形是否相似?

运用3 答案是2:1

理解 4:2=5:x=6:y 4:x=5:2=6:y 4:x=5:y=6:2 要作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边的长分别为4、5、6,另一个三角形框架的一边长为2,怎样选料可使这两个三角形相似? 4 5 4:2=5:x=6:y 4:x=5:2=6:y 4:x=5:y=6:2 6 2

小结 相似三角形的判定方法  平行于三角形一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似;  三边对应成比例,两三角形相似.  平行于三角形一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似;  三边对应成比例,两三角形相似.  两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.