第8章 数字滤波系统的网络结构与分析 课程名称：数字信号处理 任课教师：张培珍 授课班级：信计1081-1082

8.1 数字滤波器的结构表示 8.2 FIR数字滤波器的网络结构形式 8.3 IIR数字滤波器的网络结构形式 8.4 综合实例 1 2 3

导入实例 8 FPGA的FIR抽取滤波器的设计

前言 8 一个时域离散系统或网络可以用差分方程、单位脉冲响应及系统函数进行描述。 上式为IIR滤波器形式，{bi}都为0时就是一个FIR滤波器。

前言 8 上两式可以化成不同的计算形式(其中M≤N)，如直接计算、分解为多个有理函数相加、分解为多个有理函数相乘、交换运算次序等等。不同的计算形式和顺序也就表现出不同的计算结构。

研究数字滤波系统网络结构意义 8 (1) 滤波器的基本特性(如有限长脉冲响应FIR与无限长脉冲响应IIR)决定了结构上有不同的特点。 (2) 不同结构所需的存储单元及乘法次数不同，直接影响系统的运算速度，以及系统的复杂程度和成本。 (3) 不同运算结构的误差及稳定性不同。 本章主要讨论IIR和FIR滤波器的结构及其性能。

数字滤波器结构表示 8 数字滤波器有方框图表示法和流图表示法两种表示方法。 图8.2 方框图表示法

数字滤波器结构表示 8 图8.3 流图表示法 但从运算上看，只需要加法、单位延迟、乘常数三种运算，因此数字滤波结构中有三个基本运算单元，即加法器，单位延时器，乘常系数乘法器。

例 8 例8.1 画出数字滤波器 方框图及流图表示法结构。 解：数字滤波器对应的差分方程为 方框图和流程图表示如图所示。

关于流图表示法的定义 8 (1) 输入节点或源节点，如x(n)所处的节点⑦。 (2) 输出节点或阱节点，y(n)所处的节点⑧。 (3) 分支节点，一个输入，一个或一个以上输出的节点。如节点②、④、⑤和⑥。 (4) 相加器(节点)或和点，有两个或两个以上输入的节点，如节点①、③。

关于流图表示法的定义 8 (5) 通路，从源点到阱点之间沿着箭头方向的连续的一串支路，通路的增益是该通路上各支路增益的乘积，如x(n)→①→②→y(n)。 (6) 回路，从一个节点出发沿着支路箭头方向到达同一个节点的闭合通路。组成回路的所有支路增益的乘积通常叫做回路增益。图中有两个回路，如①→②→③→④。

FIR滤波器主要结构类型和特点 8 1. 直接型:根据差分方程式给出，h(n)是有限长序列。 级联型:系统函数H(z)按照二阶因式分解后，以级联方式实现。 线性相位型:脉冲响应关于(N-1)/2呈现奇对称或偶对称，使得乘法运算次数减半，系统结构简化。 频率采样型:是一种基于频率响应H(ejω)采样的设计方法；

说明 8 系统函数|H(z)|在|z|>0处收敛，极点全部在z=0处(即FIR一定为稳定系统)，结构上主要是非递归结构，没有输出到输入反馈，但频率采样结构也包含有反馈的递归部分。 系统函数： 差分方程：

1. 直接型 8 根据式 给定的非递归差分方程得出直接型结构，其实现等效于卷积和，这种结构类似于横向系统，因此直接型结构也常被称为横向滤波器，其结构如图所示。 图8.5 FIR滤波器直接型结构

等价结构 8 用转置定理（对于单个输入、单个输出的系统，通过反转网络中的全部支路的方向，并且将其输入和输出互换，得出的流图具有与原始流图同样的系统传输函数。 图8.6 FIR滤波器直接型的转置结构

例8.2 8 已知FIR滤波器差分方程如下，利用直接型结构实现，并画出结构图。 解： 根据差分方程得到相应的系统函数 对应的直接型结构如图所示。

说明 8 FIR滤波器直接型结构特点如下。 (1) 实现简单，但结构相对复杂，需要N-1个延时器和N个常系数乘法器。 (2) 系数量化会受到有限字长效应的影响，从而产生较大误差。

2. 级联型 8 为了减少直接型结构误差，有效的方法是把高阶滤波器分解成若干个低阶滤波器子系统。通常h(n)为实数，H(z)的零点分布有四种可能(见第7章)。每一对共轭零点可以合成一个二阶子系统。那么H(z)可用二阶节级联构成，每一个二阶节控制一对零点。

级联结构 8

例8.3 8 FIR滤波器系统函数为 利用级联型结构实现，并画出结构图。

程序 8 num=[-4 6 5 6 -4]; %输入分子系数向量 den=[1 0 0 0 0]; %输入分母系数向量 [z,p,k]=tf2zp(num,den); %求出各子系统的零极点 [sos,A]=zp2sos(z,p,k); %求出各二阶节乘系数 disp('零点:');disp(z); disp('极点:');disp(p); disp('增益系数:');disp(k); disp('二阶节:');disp(real(sos));

运行结果 8 零点: 2.2601 -0.6013+0.7990i -0.6013-0.7990i 0.4425 极点: 0 0 0 0 增益系数: -4 二阶节: 1.0000 -2.7026 1.0000 1.0000 0 0 1.0000 1.2026 1.0000 1.0000 0 0 所以可以得到级联型滤波器的系统函数为

FIR滤波器级联型结构特点 (1) 可以有效控制滤波器的传输零点。 (2) 所需要的系数乘法器比直接型的多，所以乘法运算量比较大。 8 (1) 可以有效控制滤波器的传输零点。 (2) 所需要的系数乘法器比直接型的多，所以乘法运算量比较大。 (3) 在不考虑零系数的情况下需要乘法器2M+1个(M为滤波器的级联子系统的个数)，延时器N-1个。

3. 线性相位型结构 8 FIR的重要特点是可设计成具有严格线性相位的滤波器，此时h(n) 满足偶对称或奇对称条件。而且零点也是对称的。 1．h(n)偶对称时，FIR滤波器线性相位结构 (1)N为偶数时，系统函数可进一步表示为

h(n)偶对称，N=偶数 8

h(n)偶对称，N=奇数 8 系统函数进一步表示为 可得到线性相位FIR滤波器的结构

h(n)奇对称FIR滤波器线性相位结构 8 (1) N为偶数时，h(n)=-h(N-1-n)，系统函数进一步表示为

例8.4 8 FIR滤波器 利用线性相位型结构实现，画出结构图。 解： 由系统函数可知，

例8.4结果 8 所以h(n)偶对称，对称中心在n=(N-1)/2=2处，且N为奇数，其线性相位型结构如图所示。

FIR滤波器线性相位型结构特点 8 (1) 与前两种结构相比结构简化，乘法器个数减半，仍需要N-1个延时器。 (2)当N为偶数时乘法器个数为N/2，N为奇数时为(N+1)/2。

4. 频率采样型 8 前面讨论了有限长序列系统函数H(z)在单位圆上作N等分采样，这个采样值也就是h(n)的离散傅里叶变换值H(k)，即

4. 频率采样型 8 根据第7章的讨论，用频率采样表达系统函数的内插公式为 上式既包含极点，也包含零点，所以这时滤波器具有递归结构。频率采样型结构,是两部分级联而成，即

4. 频率采样型 8 其中H1(z) 为全零点滤波器，即其零点位于单位圆的等间隔点上 N=7和N=8时全零点滤波器的零点分布图

4. 频率采样型H1(z) 8 滤波器H1(z)又被称为梳状滤波器，其频率响应和幅频特性表达式分别为 (8.12)

4. 频率采样型H2(z) 8 另一个滤波器的系统函数为 是由N个单极点的一阶滤波器并联构成，极点正好与梳状滤波器的一个零点(i=k)相抵消，从而使频率ω=2πk/N上的频率响应等于H(k)。

4. 频率采样型H2(z) 8

4. 频率采样型结构存在问题 8 所有极点都是在单位圆上,由于系数量化的影响，极点就不能被梳状滤波器的零点所抵消，系统稳定性变差。 为了克服稳定性变差的缺点，可以首先进行修正，将所有谐振器的极点从单位圆向内收缩，使它处在一个靠近单位圆但半径稍小的圆上r≤1，同时，梳状滤波器的零点也移到半径为r的圆上，也即将频率采样由单位圆移到修正半径r的圆上 。

频率采样型结构 知 识 点 回 顾 8 FIR数字滤波器有哪四种基本网络结构 ？每种结构的特点。 （1）直接型 （2）级联型 （3）线性相位型 （4）频率采样型

8.3 IIR滤波器网络结构形式 8 若N阶IIR数字滤波器系统差分方程为式 同一系统函数，有各种不同的结构形式。基本网络结构有三种，即直接型(包括直接Ⅰ型和直接Ⅱ型)、级联型和并联型，不同结构的稳定性、复杂程度及性能各不相同。

8.3.2 直接Ⅰ型 8 直接型结构由式 得到网络结构，可以看出y(n)由两部分组成， 第一部分 是一个对输入x(n)的M节延时链结构， 第二部分 是一个对输出y(n)的N节延时链结构，是个反馈网络。

8.3.2 直接Ⅰ型 8

IIR滤波器直接Ⅰ型结构特点 8 (1) 由两个网络级联构成，第一个横向结构M节延时网络实现零点，第二个有反馈的N节延时网络实现极点，物理概念清楚、简单、易于理解。 (2) 需要的延迟单元太多，共需M+N个延迟器，当M=N时为2N个。 (3) 系数ai和bi对滤波器性能的控制不直接，一个ai和bi的改变会影响系统的零点或极点分布，对极、零点的控制难。 (4) 容易出现不稳定或产生较大误差。

8.3.3 直接Ⅱ型 8 直接型结构中的两部分可分别看作是两个独立的网络H1(z)和H2(z),两部分串接构成总的系统函数。由于系统是线性的，交换两个级联网络的次序得两条延时链中对应的延时单元内容完全相同,合并后得到直接Ⅱ型结构。

8.3.2 直接Ⅱ型 8

例8.6 8 例8.6 IIR滤波器系统函数 分别用直接Ⅰ型和直接Ⅱ型结构实现。 解: 根据系统函数写出差分方程为

例8.6 8 按照差分方程画出如图8.19所示的直接Ⅰ型和直接Ⅱ型结构。

IIR滤波器直接II型特点 8 (1) 当M=N时，延迟单元减少一半，为N个，可节省寄存器或存储单元。 (2) 从输入到输出的观点看，两种直接型是等效的，所以仍不能克服直接Ⅰ型的缺点。

8.3.4 级联型 8 通常在实际中很少采用上述直接结构实现高阶系统，而是把高阶变成一系列不同组合的低阶系统(一、二阶)来实现。为了讨论方便这里令M=N，则一个N阶系统函数可用它的零、极点法来表示，将其分子、分母都表达为因子形式，即

8.3.4 级联型 8 二阶子网络称为二阶节，一般形式为

8.3.4 级联型 8 用若干二阶网络级联构成滤波器，其结构如图所示，所有的二阶节采用直接Ⅱ型结构实现。

例8.7 8 例8.7 设差分方程为 求解并画出它的级联结构。 解：根据差分方程可得到相应的系统函数为

例8.7 8 利用程序将H(z)的分子和分母进行因式分解。 a=[1 -3 0 -4 9] b=[5 -12 -2 4 2] [z,p,k]=tf2zp(a,b); [sos,A]=zp2sos(z,p,k)

结果 8 程序结果 sos = 1.0000 -4.4207 4.0682 1.0000 -3.1839 1.8833 1.0000 1.4207 2.2123 1.0000 0.7839 0.2124 A = 0.2000 这里L=2，所以可以得到相应的系统函数

结果 8 级联结构如图所示

IIR滤波器级联型结构特点 8 (1) 实现简化，用一个二阶节，通过变换系数就可实现整个系统。 (2) 极、零点可单独控制，便于准确控制滤波器的零极点，有效地进行滤波器性能调整。 (3) 级联的次序可以互换，各二阶节零、极点的搭配可互换位置，所以系统函数的级联结构不唯一，优化组合以减小运算误差。

8.3.5 并联型 8 将系统函数展开成部分分式之和，可用并联方式构成滤波器。每个二阶节可以用直接Ⅱ型实现。所得到的并联型结构有两种基本类型，即并联Ⅰ型和并联Ⅱ型。 并联Ⅰ型 并联Ⅱ型

并联型 8 图8.22 IIR滤波器并联结构 (a) 并联Ⅰ型 (b) 并联Ⅱ型

[r,p,k]=residuez(a,b) %用留数定理来解 例8.8 8 例8.8 IIR滤波器系统函数为 求解并画出并联型结构。 解：a=[1 -3 0 -4 9]；b=[5 -12 -2 4 2] [r,p,k]=residuez(a,b) %用留数定理来解 disp('留数：');disp(r') disp('极点：');disp(p') disp('常数：');disp(k')

例8.8 8 程序运行结果 留数： -0.0586 -0.5233 -1.8590 - 2.1155i -1.8590 + 2.1155i 极点： 2.3987 0.7851 -0.3919 - 0.2425i -0.3919 + 0.2425i 常数：4.5000

例8.8 8 该系统有一对共轭复数极点，利用[a1,b1]=residuez(R1,P1,0)语句可获得其所对应的实数二阶分式的分子、分母多项式系数，其中R1为共轭复数留数所构成的向量，P1为共轭复数极点所构成的向量，a1,b1为有理分式分子和分母多项式的系数向量。运行下面语句 R1=[r(3),r(4)]; P1=[p(3),p(4)]; [a1,b1]=residuez(R1,P1,0); disp('分子多项式的系数向量：');disp(a1) disp('分母多项式的系数向量：');disp(b1)

例8.8 8 程序运行结果： 分子多项式的系数向量： -3.7181 -2.4831 0 分子多项式的系数向量： -3.7181 -2.4831 0 分母多项式的系数向量： 1.0000 0.7839 0.2124 将复根合并成系数二阶节，所以并联型结构系统函数为

例8.8 8

重点习题 2（2）；6；7；9，10