不查表，求cos（ –435°） 的值. 解：cos(–435 ° ) =cos435 ° 1. 75 °能否写成两个特殊角的和或差的形式? 2. cos75 ° =cos(45 ° +30 °)=cos45 ° +cos30 ° 成立吗? 3. 究竟cos75 ° =? 4. cos (45 ° +30 °)能否用45 °和30 °的角的 三角函数来表示? 5. 如果能,那么一般地cos(α+β)能否用α 、β的 角的三角函数来表示?
3.1.1.两角和与差的余弦公式 吴川市第一中学 李 君
cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ 证明:如图所示 在平面直角坐标系xOy内,作单位圆,并作 α 、 β 和–β角,使α角的始边为Ox，交圆O于P1, 终边交圆O于P2;β角的始边为OP2,终边交圆O于 P3; – β角的始边为OP1,终边交圆O于P4; 此时,P1.P2.P3.P4的坐标分别为P1(1,0) , P2(cosα,sinα), P3(cos(α+β),sin(α+β) ), P4(cos(–β), sin(–β)). 面 由︱P1P3 ︱= ︱P2P4︱及两点间距离公式, 得： [cos(α+β)–1]²+sin²(α+β)=[cos(–β)–cosα]²+[sin(–β)–sinα] ². 整理得: cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ.
cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ 简记： 公式的结构特征: 左边是复角α+β 的余弦,右边是单角α、β 的余弦积与正弦积的差. 将 替换为 cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsinβ
cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsinβ 简记： 公式的结构特征: 左边是复角α+β的余弦,右边是单角α、β 的余弦积与正弦积的和. 两角和与差的余弦公式：
应用举例 例1.不查表,求cos(–435°)的值. 解:cos(– 435 °)=cos75 ° =cos(45 ° +30 °) =cos45 ° ·cos30 ° –sin45 ° ·sin30 °
练习 不查表,求cos105 °和cos15 °的值. cos15 °= 答案：cos105°=
例3.已知cos(α–30 °)=15/17, α为大于30 °的锐角,求cos α的值. 分析： α=(α– 30 °)+ 30 ° 解：∵ 30 °＜ α ＜90 ° , ∴ 0 ° ＜ α – 30 ° ＜60 °, 由cos(α – 30 ° )=15／17,得sin (α – 30 ° )=8／17, ∴cos α=cos[(α – 30 ° )+ 30 °] = cos(α – 30 ° )cos 30 ° – sin (α – 30 ° )sin 30 ° = 15／17 × √3／2 – 8／17 × 1／2 =（15 √3 – 8）／34.
例4.在△ABC中,cosA=3／5,cosB=5／13,则cosC的值为( ). 33／65 分析: ∵C=180 °–(A+B) ∴cosC=–cos(A+B)= –cosAcosB+sinAsinB 已知cosA=3／5 ,cosB=5／13,尚需求sinA,sinB的值. ∵sinA= 4／5 , sinB=12／13, ∴cosC=–3／5 × 5／13 + 4／5 × 12／13=33／65.
例5. cos25 °cos35 °– cos65 °cos55 ° 的值等于( ) 例5.cos25 °cos35 °– cos65 °cos55 ° 的值等于( ). (A) 0 (B) 1／2 (C) √3／2 (D)–1／2 解: 原式=cos25 °cos35 °–sin25 ° sin35 ° =cos(25 ° +35 °) =cos60 ° =1／2. 故选: ( ) B
课堂练习 答案: 1.已知cosθ=–5／13, θ∈(π,3π／2)求cos(θ+π／6)的值. 2.cos ²15 °–sin²15 °= ----------。 3.在△ABC中,若sinAsinB=cosAcosB,则△ABC是 ( ). (A)直角三角形 (B)钝角三角形 (C)锐角三角形 (D)不确定. 课堂练习 答案: 1.( ) ; 2. ( ) ; 3. ( ). (12–5√3) ／26 √3 ／2 A
小 结 1.cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsin β cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsin β 2.利用公式可以求非特殊角的三角函数值,化简三角函数式和证明三角恒等式。使用公式时要灵活使用，并要注意公式的逆向使用.
作 业 P140 1， 3.