第3章 立体的投影 知识点 1.三视图及投影规律 2.基本体的投影 3.截交线 4.相贯线 要求 1.熟练掌握三视图的投影规律； 2.掌握基本体的投影特性、投影图的画法以及表面取点的作图方法； 3.掌握截交线的性质和作图方法，能够正确画出切割体的三视图； 4.掌握相贯线的性质和作图方法，能正确分析并画出相贯体的三视图。 一般的机件都可以看作由一些简单的几何形体按某种方式组合而成，这些简单的几何形体称之为基本立体。本章将在掌握点、线、面投影的基础上，进一步学习基本立体的投影，以及切割体、相贯体的投影。

3.1 三视图的形成及投影规律 3.1.1三视图的形成 (a) (b) 图3.1 三视图的形成 按照国家标准《机械制图》的规定，工程上把用正投影法所绘制出的图形叫做视图。在三面投影体系中，可得到物体的三个视图，如图3.1a所示，分别称为： 主视图——正面（V）投影 俯视图——水平（H）投影 左视图——侧面（W）投影 三视图的相对位置关系是：以主视图为准，俯视图在主视图正下方，左视图在主视图正右方。如图3.1b所示。在绘制物体的三视图时，必须按此位置关系配置。

3.1.2三视图的投影规律 如图3.1所示，在物体的三视图中，主视图和俯视图都反映物体的长度；主视图和左视图都反映物体的高度；俯视图和左视图都反映物体的宽度。因此，三视图之间存在如下的投影关系： 主、俯视图长对正； 主、左视图高平齐； 俯、左视图宽相等。 即“长对正、高平齐、宽相等”是三视图的投影特性，人们常常称之为“三等”关系。它不仅适用于整个物体，也适用于物体的局部，乃至点、线、面的投影。 注意：俯、左视图中宽度的方向。 3.1.3三视图与物体方位的关系 物体有前后、左右、上下六个方位，每个视图只能反映物体两个方向的位置关系，如图3.1b所示。主视图反映物体的左右和上下位置，俯视图反映物体的左右和前后位置，左视图反映物体的上下和前后位置。 注意：俯、左视图中，靠近主视图的一侧为物体的后面，远离主视图的一侧为物体的前面。

3.2 基本立体的投影及其表面取点 一般的机件，都可以看作由一些简单的几何形状按某种方式组合而成，这些简单的几何形状称之为基本立体。基本立体按照其表面性质，可分为平面立体和曲面立体两类。本节将在掌握点、线、面投影知识的基础上，进一步学习基本立体的投影的画法，以及在其表面取点的方法。 3.2.1平面立体的投影及其表面上取点 表面均为平面的基本立体称为平面立体。常见的平面立体有棱柱和棱锥。 1．棱柱 （1）棱柱的投影 如图3.2a所示为正六棱柱，它的上、下底面为正六边形，六个侧面为相等的矩形，六条侧棱互相平行且与底面垂直，正六棱柱是一个前后、左右对称的平面立体。 图3.2 正六棱柱的投影及表面取点

为了作图方便，将正六棱柱放置成如图3.2b所示的轴线与H面垂直的位置，上下底面与H面平行，为水平面，其水平投影反映实形，另外两面投影为直线；正六棱柱的六个侧面中，前后两个是正平面，正面投影反映实形；其余四个侧面均为铅垂面；六条侧棱均为铅垂线。图3.2c为正六棱柱的三视图。 棱柱的投影特性是：与轴线垂直的投影面上的投影为一多边形，它反映棱柱底面的实形；另两个投影都是由粗实线或虚线组成的矩形线框，它反映侧面的实形或类似形。 作图步骤如图3.3所示： (a) 布置图面，画作图基准线(中心线、底面基准线等) (b) 画俯视图

(a)根据六棱柱的高，按投影关系画出主视图 根据主视图及俯视图按投影关系画出左视图， 最后检查加深图线 图3.3 正六棱柱三视图的作图步骤 （2）在棱柱表面上取点 在棱柱表面上取点，其原理和方法与在平面上取点相同。正棱柱的各个表面都处于特殊位置，因此在其表面上取点时，均可利用平面积聚的原理作图，并表明可见性，如图3.2c所示。 棱柱表面上的点的可见性判断的原则是：凡位于可见表面上的点，其投影为可见，否则为不可见。

2.棱锥 （1）棱锥的投影 图3.4所示为一正三棱锥，它的底面为一正三角形，三个侧面为全等的等腰三角形，三条侧棱相交于锥顶S。 图3.4 正三棱锥的投影 将正三棱锥放置成如图3.4b所示的轴线垂直于H面的位置。其底面为水平面；其中侧面△SAB、△SBC是一般位置平面，它们的各个投影均为类似形；侧面△SAC为侧垂面。底边AB、BC为水平线，CA为侧垂线；棱线SB为侧平线，SA、SC为一般位置直线。

棱锥的投影特性是：与棱锥底面平行的投影面上的投影为多边形，且反映棱锥底面的实形。在该投影面上，棱锥侧面的投影均为三角形；其余两面投影为一个或几个三角形线框，其中棱锥底面的投影为一条直线，侧面的投影或积聚为直线，或是类似形。 作图时，先画出底面△ABC的各个投影，再作出锥顶的各个投影，然后连接各棱线的同面投影，即得正三棱锥的三面投影。 （2）在棱锥表面上取点 组成棱锥的表面可能是特殊位置的平面，也可能是一般位置的平面。凡属特殊位置表面上的点，其投影可利用平面投影的积聚性直接求得。如图3.4c中，已知侧垂面SAC上点N的水平投影n，可利用平面投影的积聚性直接找到n”。 对属于一般位置表面上的点，可通过在该面上作辅助线的方法求得。如图中，已知立体表面上的点M的正面投影m’，求其它两面投影。因点M所在表面△SAB为一般位置平面，所以可以利用辅助线法来作图。

(a) 图3.5　正三棱锥表面取点 (b) 方法一：过M点在△SAB上作AB的辅助平行线ⅠM，即1’m’‖a’b’，再作1m‖ab，求出m，再根据m、m求出m″（如图3.5a）所示； 方法二：过锥顶S和点M作一辅助线SⅡ，然后求出点M的水平投影m（如图3.5b）。 可见性判断：同棱柱。

3.2.2曲面立体的投影及其表面上取点 表面均为曲面，或由曲面和平面共同围成的基本立体称为曲面立体。常见的曲面立体多为回转体。回转体是由一母线（直线或曲线）绕以固定的轴线作回转运动所形成。常见的回转体包括圆柱、圆锥、圆环和球等。 　1.圆柱 （1）圆柱的形成 圆柱体表面是由圆柱面和上下两圆形底面所组成。圆柱面可以看成是由直线AA1绕与它平行的轴线OO1旋转而成的回转面，如图3.6a所示。直线AA1为母线，它在圆柱面上任一位置称为素线。 (a) (c) (b) 图3.6 圆柱的投影

(2)投影分析 如图3.6b所示，当圆柱的轴线垂直于H面时，圆柱面的水平投影积聚为圆，圆柱面上任意点和线对H面的投影均积聚在该圆上，圆柱上下底面的投影为该圆平面；圆柱的V面投影和W面投影是由上下底面投影积聚线和圆柱面的转向轮廓线组成的两个完全相等的矩形线框。 (3)画法 首先画出圆柱在各个投影位置上的轴线和底圆的对称中心线，其次画出投影为圆的圆的视图——俯视图，最后根据圆柱高及投影的外形轮廓素线画出其余两个视图。注意：绘制回转体投影时，必须画出轴线和对称中心线。根据国家标准的规定，轴线和对称中心线应采用细点画线画出，且要超出轮廓线2～5 mm，如图3.6c所示。 (4)圆柱表面上取点 轴线处于特殊位置的圆柱，其圆柱面在与轴线垂直的投影面上的投影具有积聚性，其底面在另两投影面的投影有积聚性。因此，在圆柱表面上取点，可用积聚性作图。 如图3.7(a)所示，已知圆柱面上A点的正面投影a’和B点和水平投影b，求作它们的其余投影,并判断可见性。

根据已知条件a’和b不可见，可知A点在后半个圆柱面上；B点在下底面上。 作图: 图3.7 圆柱表面取点 分析： 根据已知条件a’和b不可见，可知A点在后半个圆柱面上；B点在下底面上。 作图: (1)利用圆柱面的水平投影具有积聚性,可由(a’)作垂线直接求出a，然后根据点的两投影求出a"。由于A点在左半部分圆柱面上，因此a"为可见。 (2)利用下底面的正面投影具有积聚性，可由(b)作垂线直接求出b’,然后根据点的两投影求出b"。b"不需判断可见性。

2.圆锥 (1) 圆锥的形成 如图3.8a可知，圆锥的表面由圆锥曲面和底面圆组成。圆锥面可以看成是一直线OA绕与其相交的轴线OO1旋转而成。圆锥面上通过锥顶S的任一直线都是圆锥面的素线。 (a) (c) (b) 图3.8　圆锥的投影

(2)投影分析 由图3.8b可知，底面平行于H面的圆锥，其正面投影和侧面投影是相同的等腰三角形，水平投影为圆。因为圆锥面上所有素线都倾斜于水平面,故水平投影没有积聚性。在正面投影和侧面投影中，等腰三角形的底边是圆锥底面的投影，两腰是转向轮廓线的投影。正面投影的转向轮廓线是最左和最右两条素线SA和SB，侧面投影的转向轮廓线是最前和最后两条素线SC和SD，它们在其余两投影面上的位置与轴线或圆的对称中心线重合。 (3)画法 一般先画出轴线和对称中心线的投影，然后画出圆锥投影为圆的投影，再根据投影关系画出圆锥的另两个投影，得到圆锥的三视图（图3.8c）。 (4)圆锥表面上取点 轴线处于特殊位置的圆锥，只有底面的投影有积聚性，而圆锥面的三个投影都没有积聚性。因此，在圆锥表面上取点，除圆锥面转向轮廓线上的点和底圆平面上的点可直接求出之外，其余点的投影，则必须用辅助线法（亦称素线法）或辅助圆法（亦称纬圆法）作出，并表明可见性

图3.9圆锥面上取点

如3.9a所示，已知圆锥面上一点M的正面投影m’，求作它的水平投影m和侧面投影m"，可用两种方法求解。 方法一：辅助素线法 如图3.9b所示，过锥顶S和锥面上点M作一素线SⅠ,作出其正面投影s’1’和水平投影s1 ,就可求出M点的水平投影m，然后由m和m’求得m"。 方法二：辅助圆法 如图3.9c所示，在圆锥面上过M点作垂直于轴线的纬圆，则点M的另两投影必在该纬圆的同面投影上。 3.圆球 （1）圆球的形成 如图3.10a所示，球面可以看成是由一母线圆绕其直径旋转而成。

(a) (c) (b) 图3.10 圆球的投影

(2) 投影分析 圆球的三面投影均为与球直径相等的圆，它们分别是球的三个投影的转向轮廓线。正面投影圆是前半球和后半球分界圆A（正面投影的转向轮廓线）的投影；水平投影圆是上半球和下半球分界圆 B(水平投影的转向轮廓线)的投影；侧面投影圆是左半球和右半球分界圆C(侧面投影的转向轮廓线)的投影。这三个圆的其余两投影均与中心线重合，不必画出。 (3) 画法 画圆球的三面投影时，可先画出确定球心的相互垂直的回转轴线的三个投影；再以球心为圆心画出三个圆。 (4) 圆球面上取点 图3.11 圆球表面取点 (b) (a)

由于圆球的三个投影均无积聚性。所以在圆球表面上取点，除属于转向轮廓线上的特殊点可直接求出之外，其余处于一般位置的点，都须用辅助圆法作出，并表明可见性。 如图3.11a所示，已知圆球表面上一点M的正面投影m’,求其水平投影m和侧面投影m”。根据m’的位置和可见性，可知M点位于前半球的左上部位。为找出M点的水平投影m，可过M点作纬圆（正平圆、水平圆、侧平圆）求解。如过m’作纬圆与圆球正面投影（圆）交于点1’、2’，以1’2’为直径在水平投影上作水平圆，则点M的水平投影m必在该纬圆上，再由m’和m求出m”，m和m”均为可见。又如图3.11b所示给出了根据球面上点N和K的水平投影n和k，求出n’、n”和k’、k”的作图过程，请自行分析。 4.圆环 （1）圆环的形成 圆环可以看成是以圆为母线，绕与其共面但不通过圆心的轴线回转而形成，如图3.12所示。其中，外半圆ABC回转形成外环面，内半圆ADC回转形成内环面。 图3.12 圆环的投影

(2) 投影分析 圆环的正面投影和侧面投影形状完全一样，水平投影是三个同心圆（其中有一个细点画线圆）。 水平投影为三个同心圆，其中的细点画线圆是母线圆心轨迹的水平投影；内外粗实线圆表示圆环上半部（可见部分）与下半部（不可见部分）的分界线的投影，也即水平投影的转向轮廓线。 正面投影是由平行于正面的两个素线圆和上下两条轮廓线组成，它们是内外环面分界处的圆的投影。因为圆环的内环面从前面看是看不见的，所以素线圆靠近轴线的一半应该画成虚线。 圆环的侧面投影与正面投影完全类似，在此不再叙述，请自行分析。 (3) 画法 画圆环的三面投影图时，首先画各投影的中心线和轴线，其次画出其正面投影和侧面投影，最后画出其水平投影。 (4)圆环面上取点

图3.13 圆环表面上取点 如图3.13所示，已知圆环表面上点M的正面投影m’，求其另两个投影。根据m’为可见投影，可知M点在外环面上的前半部。为求m、m”，可过点M作一个纬圆，该圆垂直于圆环轴线，找出这个圆的水平投影，即可得出M点的水平投影m，再由m’、m求得m”，且均为可见。

3.3平面与立体相交 较为复杂的机器零件的形体，往往不是单一、完整的基本体，如图3.14所示的零件，可看成是由几种基本体进行切割而成的形体。其中基本体被平面截切后的部分称为切割体。截切基本体的平面称为截平面，基本体被截切后的断面称为截断面，截平面与基本体表面的交线称为截交线。 (b) 顶尖 (a) 拨叉轴 图3.14 机件表面的截交线

基本体截交线的形状和种类较多，但都具有以下两个基本性质： 1.截交线是截平面与基本体表面的公有线。 3.3.1截交线的几何性质 基本体截交线的形状和种类较多，但都具有以下两个基本性质： 1.截交线是截平面与基本体表面的公有线。 如图3.15a所示，四棱锥被P平面截切，得到的截交线是四边形。截交线既在P平面上，又在四棱锥的表面上，因此是P平面与棱锥体表面的公有线。 2.截交线是一个封闭的平面图形。 如图3.15a所示的四棱锥是平面立体，其截交线是一个多边形。而曲面立体的截交线则是由平面曲线（图3.15b）或平面曲线和直线所组成的平面图形。 图3.15 截交线的性质 (a) (b)

由以上性质可以看出，求截交线的实质就是求出截平面与立体表面的一系列公有点，然后依次连接各点即可。求截交线的方法，可利用投影的积聚性直接求出，也可通过作辅助线的方法求出。 3.3.2平面立体的截交线 由于平面立体的表面都是由平面所组成的，所以其截交线是由直线围成的封闭的平面多边形。多边形的各个顶点是截平面与平面立体的棱线或底边的交点，多边形的每一条边是平面立体表面与截平面的交线。因此，求平面立体的截交线，就是求出截平面与平面立体上各被截棱线或底边的交点，然后依次连接即可。 1．棱柱的截交线 例3-1　求作斜截正六棱柱的截交线，并完成三视图。

(a) (b) 图3.16 求作斜截六棱柱的截交线

分析：如图3.16a所示，由于正六棱柱各侧面都被正垂面切断，截交线必为一个六边形，正面投影积聚为一斜线，斜线与正六棱柱侧棱的正面投影相交，交点即为六边形顶点的正面投影，需求的是其水平及侧面投影。 作图：（图3.16b） （1）利用投影积聚性求出截交线六边形的正面投影和水平投影，正面投影与截平面的正面投影重合，水平投影与棱柱的水平投影重合； （2）根据点的投影规律求出各交点的侧面投影； （3）依次连接各点的侧面投影即为截交线的侧面投影；由于被切去的是棱柱的左、上部分，因此，截交线的侧面投影为可见。侧棱Ⅳ的侧面投影不可见，应画成虚线。其中下面一段虚线与侧棱Ⅰ的侧面投影重合。 2.棱锥的截交线 例3-2 求作斜截三棱锥的截交线。 图3.17 求作斜截三棱锥的截交线 (b) (c) (a)

分析：如图3.17b所示为正三棱锥被一正垂面P斜切，截交线为一个三角形。三角形的顶点是三条棱线与截平面的交点，其正面投影与截平面的正面投影重合可直接得出，需要求作的是截交线的水平投影。 作图：（图3.17c） （1）三角形的顶点Ⅰ、Ⅲ在棱线SA和SC上，可由其正面投影1’、3’作铅垂线直接求得其水平投影1、3； （2）三角形的顶点Ⅱ在棱线SB（侧平线）上，其水平投影2可过该点作辅助水平线ⅡM求的。作法是：先过2’作2’m’‖b’c’，由m’求得m，过m作bc的平行线交sb于2，即为所求； （3）依次连接1、2、3点即得到截交线的水平投影。由于被切去的是棱锥的左、上部分，因此，截交线的水平投影为可见。 3.3.3曲面立体的截交线 回转体的表面是由曲面或曲面与平面所组成，它们切割后的截交线，一般是封闭的平面曲线或平面曲线与直线共同围成的平面图形。因此，求回转体的截交线，就是要求出截平面与回转体上各被截素线的交点，然后依次光滑连接各点即可。 1.圆柱的截交线 根据截平面与圆柱轴线的相对位置不同，平面截切圆柱所得的截交线有三种：矩形、圆及椭圆，见表3-1。

截平面的位置 与轴线垂直 与轴线倾斜 与轴线平行 截交线形状 圆 椭圆 矩形 直观图 投影图

例3-3 求斜截圆柱的截交线。 (a) (b) 图3.18 求作斜截圆柱的截交线

分析：如图3.18a所示，圆柱被一正垂面P截切，由于截平面P与圆柱轴线斜交，故所得截交线是一椭圆，它既位于截平面PV上，又位于圆柱面上。因截平面P在V面上的投影有积聚性，故截交线的V面投影应当与PV重合。圆柱面的H面投影有积聚性，截交线的H面投影与圆柱面的H面投影重合，所以只需求出截交线的W面投影。 作图：（图3.18b） (1)作特殊点 特殊点是指位于回转体转向轮廓线上的点以及极限点（截交线上的最高、最低、最前、最后、最左、最右点），但应注意的是，有时它们是互相重合的。这些点对于确定截交线的范围及作图的准确性比较重要，应首先求出。 本例中的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ是截平面与圆柱四条转向轮廓线的交点,同时也是椭圆长轴和短轴的端点。先在水平投影上找出这些点，然后在正面投影中找出对应点，再由两面投影求出它们的侧面投影。 (2)作一般点　　 为使作图准确，可在特殊点之间再确定若个一般点。如图3.18b中取A、B、C、D四点，求出其三面投影。

(3)依次光滑连接各点的侧面投影，即得截交线的侧面投影。由于被切去的是圆柱的左、上部分，因此，截交线的侧面投影为可见，应连成实线。 例3-4 求切口圆柱的水平投影。 (b) 图3.19 求切口圆柱的水平投影 (a)

分析：从图3.19a中可以看出：槽口是由两个轴线平行的平面P、Q和一个与轴线垂直的平面T切出的。前者与圆柱面的交线是直线，后者与圆柱面的交线是圆弧。由于P是一水平面，它的正面投影具有积聚性，所以交线AB和CD的正面投影a’b’和c’d’与PV重合。同时，由于圆柱的轴线垂直于侧面，它的侧面投影有积聚性，所以交线AB和CD的侧面投影积聚成圆周上的两个点a”(b”)和c”(d”)。平面Q的情况与P相同，可自行分析它的交线情况。此外，因为平面T是一侧平面，它的正面投影有积聚性，所以交线BEF的正面投影b’e’f’与Tv重合。而它的侧面投影b”e”f”与圆柱面的侧面投影（圆周）重合。 作图：首先找出各个交线的正面投影和侧面投影，然后根据投影规律求出其水平投影，即可。其结果如图3.19b所示。 例3-5 求作圆柱切割体的投影。 分析：如图3.20a所示，该圆柱被切去Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ等四部分形体。Ⅰ、Ⅱ部分为由两平行于圆柱轴线的平面和一垂直于圆柱轴线的平面切割圆柱而成，切口为矩形。Ⅲ部分也为由两平行于轴线的平面和一垂直于轴线的平面切割圆柱而成，即在圆柱右端开一个槽，切口亦为矩形。Ⅳ部分是在切割Ⅰ、Ⅱ部分的基础上再挖去的一个小圆柱。 作图：(图3.20) (1) 画出整个圆柱的三个投影，并切去Ⅰ、Ⅱ部分（图b）； (2) 画切去Ⅲ部分后的投影（图c）； (3) 画切去Ⅳ部分后的投影，并完成全图（图d）。

图3.20 圆柱切割体的投影 (a) 切割分析 (b)画完整圆柱切去Ⅰ、Ⅱ部分后的投影 (c)画切Ⅲ部分后的投影 (d) 画挖去Ⅳ部分后的投影，并完成全图

常见圆柱切割体的三视图如图3.21所示。 图3.21 常见圆柱切割体的三视图示例 (a) 扁头 (b) 空心圆柱切槽 (c) 穿孔 (d) 开槽

根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，圆锥的截交线有圆、椭圆、抛物线、双曲线、三角形五种，如表3-2所示 表3-2 圆锥的截交线 2.圆锥的截交线 根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，圆锥的截交线有圆、椭圆、抛物线、双曲线、三角形五种，如表3-2所示 表3-2 圆锥的截交线 截平面 位置 垂直轴线 倾斜于轴线 平行于 任一素线 平行于锥轴 过锥顶 截交线 形状 圆 椭圆 抛物线 双曲线 三角形 直观图 三视图

例3-6 如图3.22a所示，求圆锥被正垂面截切后的三视图。 (b) 图3.22 斜截圆锥的三视图

分析：截平面与圆锥斜交，且与圆锥的所有素线都相交，故截交线为椭圆。截平面为正垂面，截交线的正面投影积聚为一斜线，水平投影和侧面投影均为椭圆，但不反映截交线的实形。 作图：（图3.22b） (1)找特殊点 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分别位于圆锥最左、最右、最前、最后素线上，三面投影可直接求得。Ⅴ、Ⅵ为椭圆短轴上的两个端点，正面投影位于斜线的中点，利用辅助平面法求得 水平投影和侧面投影。 (2)找一般点 为了作图准确，再利用辅助平面法求出两个一般点Ⅶ、Ⅷ的水平投影和侧面投影。 (3)依次光滑连接各点的同面投影，即得截交线的水平投影和侧面投影。由于被切去的是圆锥的左上部分，所以水平和侧面投影均可见。 3．圆球切割体 平面切割圆球时，无论截平面与圆球处于何种位置，其截交线均为圆，圆的大小由截平面与球心之间的距离确定。截平面通过球心，所得截交线（圆）的直径最大；截平面离球心越远，圆的直径就越小。只有当截平面平行于投影面时，截交线在该投影面上的投影才反映圆的实形，否则投影为椭圆。如表3-3所示。

表3-3 圆球的截交线 截平面 位置 平行于投影面 垂直于投影面 立体图 三视图

例3-7　如图3.23a所示，求作半圆球开槽后的投影图。 (b) (a) 图3.23 开槽半圆球的三视图

分析： 如图3.23a所示，半圆球的凹槽是由左、右两个对称的侧平面和一个水平面组成。它们和圆球表面的交线都是圆弧，这些圆弧的V面投影有积聚性并且已知，只须作出它们的H面投影和W面投影即可。作图的关键是确定各段圆弧的半径。 作图：（图3.23b） （1）作未切割前半圆球的三视图。 （2）作切槽同时具有积聚性的投影——正面投影。 （3）分析截交线所在的面（某一投影面的平行面），作出反映实形的投影———圆及圆弧（圆弧半径的确定：延长有积聚性的投影与最大圆素线相交，求出各段圆弧的直径或半径，圆弧的圆心投影落在球心的投影上）。 （4）完成各段圆弧的第三投影。 （5）判断可见性，去掉多余图线。 水平面的槽底中段侧面投影为虚线，由于平行于W面的最大圆素线被切去一段，相应的侧面投影应去掉。

3.4 两立体表面相交 两立体相交，其表面就会产生交线，相交的立体称为相贯体，它们表面的交线称为相贯线，如图3.24所示。因此两立体相交也常称为相贯。根据相贯体表面几何形状的不同，可分为两平面立体相交、平面立体与回转立体相交以及两曲面立体相交三种情况。由于前两种情况与平面与立体相交产生的截交线的情况相同，所以不做讨论。本节只讨论两曲面立体相交所产生的相贯线的性质和作图方法。 (a) (b) 图3.24 相贯线示例

1.相贯线的性质 当相交两基本体的形状、大小及相对位置不同时，相贯线的形状也不同，但相贯线都具有下列两个基本性质： (1) 相贯线是相交两立体表面的公有线，是一系列公有点的集合。 (2) 相贯线一般为封闭的空间曲线，特殊情况为平面曲线或直线。 2.求相贯线的常用方法 根据相贯线的性质，求相贯线的实质就是求出两基本体表面上的一系列公有点。常用的求相贯线方法有积聚性法和辅助平面法。具体作图步骤如下： （1）找出一系列特殊点 （2）求出一般点 （3）顺次连接各点的同面投影并判断其可见性 相贯线可见性判断原则如下：凡同时处于两回转体可见表面上的点，其投影是可见的，否则为不可见。 3.4.1利用积聚性法求相贯线 当轴线垂直于投影面的圆柱与另一回转体相贯时，可利用圆柱投影的积聚性直接得到相贯线的一个投影。由于相贯线是公有线，所以相贯线也必定在另一个回转体的表面上。因此，可利用已知曲面上点、线的一个投影求另外两个投影，即在表面上取点的方法求得相贯线的其余投影。 1. 两圆柱正交时的相贯线 例3-8：如图3.25a所示，求两圆柱正交的相贯线 分析：两圆柱轴线垂直相交为正交。如图3.25a是一个铅垂圆柱与水平圆柱正交，相贯线为前、后和左、右对称的空间曲线。其水平投影积聚在铅垂圆柱的水平投影圆上，侧面投影积聚在水平圆柱的侧面投影圆上，已知相贯线的两个投影，即可求出其正面投影。

(a) (b) (c) 图3.25 两圆柱正交的相贯线 (d)

作图： （1）求特殊点 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ点分别是相贯线上的最左、最右点（同时也是最高点）、最前点和最后点（同时也是最低点），它们的水平投影1、2、3、4落在小圆柱最左、最右、最前、最后轮廓素线的水平投影上，侧面投影1＂、2＂重合在大圆柱侧面投影圆周的最高点，3＂、4＂分别为小圆柱最前、最后轮廓素线的侧面投影与大圆柱侧面投影的交点，根据点的两面投影求得正面1＇、2＇、3＇、4＇。如图3.25b 所示。 （2）求一般点 在小圆柱水平投影（圆）上的几个特殊点之间，适当的位置取几个一般点的投影，如：5、6、7、8点，再按投影关系找出各点的侧面投影5＂、(6＂)、（7＂）、8＂，最后作出它们的正面投影5＇（８＇）、6＇（７＇）。如图3.25c所示。 （3）顺序连接各点并判别可见性 依次光滑连接各点的正面投影，由于相贯线前后对称，可见与不可见投影重合，画一段粗实线，即得到相贯线的正面投影。如图3.25d所示。 2. 两正交圆柱相贯线的三种形式 如表3-4所示，圆柱相贯线有两外表面相贯、外表面与内表面相贯（垂直圆柱轴线穿孔）、两内表面相贯三种形式。相贯线的形状和求作方法是完全相同的。

表3-4　两正交圆柱相贯线的三种形式 两圆柱外表面相交 圆柱外表面和内表面相交 两圆柱内表面相交 立体图 三视图

3. 两正交圆柱（或圆孔）相贯线弯曲趋向及变化规律 当正交两圆柱体（或圆孔）的直径相对变化时，相贯线的形状和位置也随之变化，其变化规律如图3.26所示。 （1）相贯线的投影都是由小圆柱向大圆柱轴线弯曲； （2）两圆柱的直径相差越小，相贯线的投影越弯近大圆柱的轴线； （3）当两圆柱直径相等时，相贯线为两个椭圆，在平行于轴线的投影面上，其正面投影为相交两直线（如图3.26c）。 (d) (b) (c) (a) 图3.26 正交两圆柱相贯线的弯曲趋向

4.相贯线的近似画法 两不等直径的圆柱体（或圆孔）轴线垂直相交，当两圆柱正交且直径相差较大（直径之比>=1.5），并且对交线形状的准确度要求不高时，允许用大圆柱的半径作圆弧来代替相贯线，或用直线代替非圆曲线。如图3.27所示。 (b) 用直线代替相贯线 (a) 用圆弧代替相贯线 图3.27 相贯线的近似画法（一）

在不致引起误解时，如图3.28a所示两圆柱偏交的相贯线，可用直线代替，如图3.28b所示。 图3.28 相贯线的近似画法（二）

也可采用模糊画法表示相贯线。如图3.29a所示的圆柱与圆锥相交的相贯线，可按如图3.29b所示的形式画出。 图3.29 相贯线的近似画法（三） (a) (b)

当两相交回转体的投影都没有积聚性时，相贯线需要用辅助平面法求解。 1.辅助平面法的作图原理 3.4.2利用辅助平面法求相贯线 当两相交回转体的投影都没有积聚性时，相贯线需要用辅助平面法求解。 1.辅助平面法的作图原理 辅助平面法主要是根据三点共面的原理。如图3.30所示，当圆柱与圆锥相交时，为求得公有点，可假想用一个平面P（辅助平面）截切圆柱和圆锥。平面P与圆柱的截交线为两条直线，与圆锥面的截交线为圆。两直线和圆的交点C、D是圆柱面、圆锥面和平面P三个面的公有点，因此是相贯线上的点。如果作若干个辅助平面，就可以得到相贯线上的一系列的点，然后光滑连接各点，即得到所求之相贯线。 图3.30 用辅助平面法求相贯线

根据以上分析可知，用辅助平面法求相贯线，一般可按下列步骤作图： （1）选择恰当的辅助平面； （2）求出辅助平面分别截切两回转体时形成的两条截交线； （3）求出两截交线的交点，即为相贯线上的点。 2.辅助平面的选择 为简化作图，在选择辅助平面时，应使辅助平面与两回转体的截交线及其投影尽可能是简单易作的直线或圆，因而一般可选择水平面、正平面等投影面平行面作为辅助平面。 例3-9 求轴线正交的圆柱与圆锥的相贯线 分析：如图3.31a所示，圆柱轴线垂直W面，圆锥轴线垂直H面，相贯线为前后对称的空间曲线，其侧面投影积聚在圆柱体侧面投影的圆周上，只须求出其水平投影和正面投影即可。 (a) (b)

(d) (c) 图3.31 圆柱与圆锥正交的相贯线

作图： （1）求特殊点 在侧面投影的圆周上，可直接找到相贯线的最高、最低、最前、最后点a＂、b＂、 c＂、d＂,最高、最低点的正面投影为圆锥最左轮廓素线和圆柱最上、最下轮廓素线的交点a＇、b＇,从而求得a、b。最前点C和最后点D可利用辅助平面求得，即利用辅助平面的正面、侧面投影积聚为直线，求得圆柱、圆锥截交线的水平投影，交点为c、d，从而求得c＇、d＇。如图3.31a所示； E、F为相贯线的最右点、在侧面投影上过锥顶作圆的切线，切点即为e＂、f＂,利用辅助平面法，求得E、F的另两个投影。如图3.31b所示。 （2）求一般点 在适当位置确定两点G、H，利用辅助平面法，则可求得的点G、H三面投影。如图3.31c所示。

(3) 光滑连接并判断可见性 依次光滑连接所求各点的同面投影，即得到相贯线的正面投影和水平投影。由于相贯线前后对称，因此其正面投影重合画粗实线；水平投影以c、d为界，曲线cbd画成虚线，其它应画成粗实线。值得注意的是：在水平投影面上，圆锥底圆被圆柱遮住部分的投影画虚线。 3.4.3相贯线的特殊情况 两回转体相交，在一般情况下，相贯线是空间曲线，但在特殊情况下也可能是平面曲线或直线。 1．相贯线为圆 同轴线的两回转体相交时，相贯线为垂直于轴线的圆。当轴线平行于投影面时，圆在该投影面上的投影积聚成直线，在与轴线垂直的投影面上的投影为圆的实形，如图3.32所示。

当相交两回转体表面公切于一个圆球时，其相贯线为椭圆。在两回转体轴线同时平行的投影面上，该椭圆的投影积聚为直线。如图3.33所示。 (c) (a) (b) 图3.32 相贯线为平面圆 2．相贯线为椭圆 当相交两回转体表面公切于一个圆球时，其相贯线为椭圆。在两回转体轴线同时平行的投影面上，该椭圆的投影积聚为直线。如图3.33所示。

(a) (b) (c) (d) 图3.33 相贯线为椭圆

当两圆柱轴线互相平行或者两圆锥共顶相交时，其相贯线为直线，如图3.34所示。 3. 相贯线为直线 当两圆柱轴线互相平行或者两圆锥共顶相交时，其相贯线为直线，如图3.34所示。 (b) (a) 图3.34 相贯线为直线

3.4.4综合相交举例 前面学习了两个回转体相贯时相贯线的各种情况和作图方法，而实际中机件上还会遇到两个以上的立体相交的情况。此时的相贯线比较复杂，但其作图方法和两回转体的相贯线的作图方法相同。只是在作图前要分析各相贯体的形状及相对位置，再逐个求出彼此相交部分的相贯线。 例3-10：求组合体表面的交线（图3.35a） (b) (a)

(c) 图3.35 多体相贯

分析：由图3.35b可看出，该组合体是由圆柱Ⅰ、Ⅲ 、Ⅳ及圆锥台Ⅱ组成。其中,Ⅰ与Ⅱ同轴，相贯线为圆A；Ⅱ与Ⅲ共轴，相贯线为圆B；Ⅳ与Ⅱ、Ⅲ分别正交，交线为两段空间曲线，即Ⅳ的上半部与Ⅱ相交的曲线为C，下半部与Ⅲ的交线为曲线D；圆B与曲线C、D有接点K（三面共点）。在回转面无积聚性的投影面上，须分别求出上述曲线的投影（如图3.35a）。 作图：(图3.35c) （1）求Ⅰ、Ⅱ的相贯线A 因Ⅰ、Ⅱ的轴线为铅垂线，所以圆A的正面投影a′及侧面投影a″分别积聚为直线； （2）求Ⅱ、Ⅲ的相贯线 与(1)同理，圆B的正面投影b′及侧面投影b″也均积聚为直线； （3）求Ⅱ、Ⅳ的相贯线C 因圆柱的轴线为侧垂线，其侧面投影积聚为圆，曲线C的正面投影c＇及水平投影c可用辅助平面法求得； （4）求Ⅲ、Ⅳ的相贯线D Ⅲ、Ⅳ两圆柱正交，因两圆柱的水平投影和侧面投影分别有积聚性，需求作的是交线的正面投影d＇，可用圆柱面上取点法作图。 值得注意的是，b＇、c＇、d＇必交于点k＇。