北师大版七年级数学（下） 利用三角形的全等测距离

一、复习旧知识 1、要证明两个三角形全等应有哪些必要条件？ （1）“SSS”：三边对应相等的两个三角形全等. （2）“ASA”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角 形全等. （3）“AAS”：两角和其中一角的对边对应相等的两个 三角形全等. （4）“SAS”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角 形全等.

用图形表示三角形全等的判定方法： SSS SAS ASA AAS 全等三角形的性质： 全等三角形对应边相等、对应角相等。

动手画一画： 请你在下列各图中，以最快的速度画出一个三角形，使它与△ABC全等，应该怎么画？ D′ D E A C B C A B A B

听故事 在抗日战争期间，为了炸毁与我军阵地隔河相望的日本鬼子的碉堡，需要测出我军阵地到鬼子碉堡的距离。由于没有任何测量工具，我八路军战士为此绞尽脑汁，这时一位聪明的八路军战士想出了一个办法，为成功炸毁碉堡立了一功。

？ 这位聪明的八路军战士的方法如下： A C D B 战士面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿势，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离。 你觉得他的这种方法可行吗？说明其中的理由。

？ ？ 如何求未知线段？ 途径：利用全等三角形的性质 关键：构造全等三角形 你能用所学的数学知识说明BC=DC吗？ A A C D D B

？ A B D C 1 2 解：在△ADB与△ADC中，有 AD=AD, ∠ADB=∠ADC=90°. ∴△ADB≌△ADC (ASA) . 步测距离 碉堡距离 ？ 解：在△ADB与△ADC中，有 ∠1=∠2， AD=AD, ∠ADB=∠ADC=90°. ∴△ADB≌△ADC (ASA) . ∴DB=DC (全等三角形对应边相等).

想一想 把你的设计方案在图上画出来，并与你的同伴 小明在上周末游览风景 区时，看到了一个美丽的 池塘 ，他想知道最远两点 A、B间有多远呢？ 小明在上周末游览风景 区时，看到了一个美丽的 池塘 ，他想知道最远两点 A、B之间的距离，但是他没有船，不能直接去测。 手里只有一根绳子和一把尺子，他怎样才能测出A、 B之间的距离呢？ 把你的设计方案在图上画出来，并与你的同伴 交流你的方案，看看谁是方案更便捷。 A B ● ●

方案一 理由如下: 在△ACB与△DCE中， AC=C D △ACB≌△DCE（SAS） ∠BCA=∠ECD BC=CE AB=DE（ ） 在能够到达A、B的空地上取一适当点C，连接AC，并延长AC到D，使CD=AC，连接BC，并延长BC到E，使CE=BC，连接ED。则只要测出 ED的长就可以知道AB的长了。 A ● ● B C ● E D 理由如下: 在△ACB与△DCE中， AC=C D ∠BCA=∠ECD △ACB≌△DCE（SAS） BC=CE AB=DE（ ） 全等三角形的对应边相等

在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD＝BC. 还可以用下面的方法： 在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD＝BC. 再过D点作出BF的垂线DG，并在DG上找一点E，使A、C、E在一条直线上，这时测得的DE的长就是A 、 B间距离. A B D E C F 在△ACB与△ECD中， 证明: BC＝DC ∠ABC＝ ∠EDC △ABC≌△ECD ( ASA) AB＝ED ∠ACB＝ ∠ECD G

方 案 二 解:连结AC，由AD∥CB，可得∠1＝∠2 在 ABD与 CDB中 AD=CB ∠1=∠2 ACD≌ CAB(SAS) 如图，先作三角形ABD,再找一点C，使BC∥AD，并使AD=BC，连结CD，量CD的长即得AB的长 A 1 2 C D 解:连结AC，由AD∥CB，可得∠1＝∠2 在 ABD与 CDB中 ∠1=∠2 AD=CB BD=DB ACD≌ CAB(SAS) AB ＝ CD 返回

方案三 如图，找一点D，使AD⊥BD，延长AD至C，使CD=AD，连结BC，量BC的长即得AB的长。 解: 在Rt ADB与Rt CDB中 BD=BD ∠ADB=∠CDB CD=AD 　ADB≌　CDB(SAS) ∴ BA = BC

例2 如图，太阳光线AC与A’C’是平行的，同一时刻两根高度相同的木杆在太阳光照射下的影子一样长吗？说说你的理由？ ∴∠ACB=∠A’C’B’ (两直线平行，同位角相等). 在△ABC和△A’B’C’中，有 ∠ABC=∠A’B’C’=90°, 　∠ACB=∠A’C’B’, AB=A’B’. ∴△ABC≌△A’B’C’（AAS）. ∴BC=B’C’ (全等三角形对应边相等).

例3 你还记得怎样用尺规作一个角等于已知角吗？你能说明其中的道理吗？ 例3 你还记得怎样用尺规作一个角等于已知角吗？你能说明其中的道理吗？ D’ A’ C’ O’ B’ B O D A C 解：连结BC、B’C’. 在△DOC和△D’O’C’中，有 OC=O’C’ , 　OD=O’D’ , CD=C’D’ . ∴△DOC≌△D’O’C’（SSS）. ∴∠DOC=∠D’O’C’ (全等三角形对应角相等).

练一练 某城市搞亮化工程，如图，在甲楼底部、 乙楼顶部分别安装一盏射灯.已知A灯恰好照到B灯，B灯恰好照到甲楼的顶部，如果两盏灯的光线与水平线的夹角相等，那么能否说甲楼的高度是乙楼的2倍？说说你的看法. 甲 乙 A B

做一做 A B 如图，工人师傅要计算一个圆柱形容器的容积，需要测量其内径。现在有两根同样长的木棒、一条橡皮绳和一把带有刻度的直尺，你能想法帮助他完成吗？ · 中点C

思维拓展： B A O P Q 1805年，法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战，德军兵营在莱 站立的点O处，让士兵丈量他所站的位置B与O点间的距离，并下令按这个距 离炮轰敌兵营。试问法军能命中目标吗？ 证明: 在△ABO与△POQ中， ∠ABO=∠POQ AB=PO BO=OQ（ ） 全等三角形的对应边相等 ∠BAO=∠OPQ △ABO≌△POQ（ASA） 法军能击中目标。 B A O P Q

做一做，比比看谁的速度快！ 如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB 的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，测得ED的长就是AB的长。判定△EDC≌△ABC的理由是( ) A、SSS B、ASA C、AAS D、SAS B B A ● D C E F

想一想 好高的纪念碑呀！相当于几层楼高呢？ 纪念碑

想到办法了，要站在路中间。

他在干吗呢？

想一想 A A’ 你能用所学的知识说说这样做的理由吗？ 我知道了，相当于八层楼高。 O B B’

小结 请同学们谈一谈你在本节课的收获 距离 方法 便捷 本节课我们学习了利用全等三角形的性质测 ，还学会了把生活中实际问题转化为 几何问题。在测量的过程中，要注意利用已有的 条件和选择适当的 。测量方法越 越 准确越好。 距离 方法 便捷