第二章 随机变量及其分布 §1 随机变量 §2 离散型随机变量及其分布 §3 随机变量的分布函数 §4 连续型随机变量及其概率密度 第二章 随机变量及其分布 §1 随机变量 §2 离散型随机变量及其分布 §3 随机变量的分布函数 §4 连续型随机变量及其概率密度 §5 随机变量的函数的分布

例：E1 ：从100件产品（5件次品，95件正品)中任取两件。观察任取的2件中次品数X。 第二章 随机变量及其分布 §1随机变量 一、问题的引入 随机事件和实数之间存在着某种客观的联系，例如： 例：E1 ：从100件产品（5件次品，95件正品)中任取两件。观察任取的2件中次品数X。 又如：射击中靶次数；掷一枚匀质的骰子出现的点数Y等。

有的问题看起来与数无关，只要稍加处理也可用数来描述 如：E：从一批产品中任取一件是否是合格品？ 第二章 随机变量及其分布 有的问题看起来与数无关，只要稍加处理也可用数来描述 如：E：从一批产品中任取一件是否是合格品？ 我们约定：若试验的结果是合格品， 令X=1 若试验的结果是不合格品, 令X=0

以上遇到的变量，他们的取值依赖于试验的结果，所以在试验之前是不能确定的，也就是说它们的取值是随机的，从而把这样的变量称为随机变量. 第二章 随机变量及其分布 以上遇到的变量，他们的取值依赖于试验的结果，所以在试验之前是不能确定的，也就是说它们的取值是随机的，从而把这样的变量称为随机变量.

e. X(e) R 随机变量X实质上对应与高等数学中的实值函数.只不过它是定义在样本空间S上的一个集合函数。

我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值 情况来刻划随机事件．例如 第二章 随机变量及其分布 我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值 情况来刻划随机事件．例如 ： 表示取出2个黑球这一事件； ： 表示至少取出2个黑球这一事件，等等．

随机变量通常用大写字母 X,Y,Z或希腊字母ζ,η等表示 而表示随机变量所取的值 时,一般采用小写字母x,y,z等.

二、引入随机变量的定义 有了随机变量,随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来. 例1：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用X表示，它是一个随机变量. 事件{收到不少于1次呼叫} { X 1} {没有收到呼叫} {X= 0}

例2 掷一颗骰子，令 X：出现的点数． 则 X 就是一个随机变量． 它的取值为1，2，3，4，5，6． 第二章 随机变量及其分布 §1 随机变量 例2 掷一颗骰子，令 X：出现的点数． 则 X 就是一个随机变量． 它的取值为1，2，3，4，5，6． 表示掷出的点数不超过 4 这一随机事件； 表示掷出的点数为偶数这一随机事件．

表示通过的汽车数大于 50 辆但不超过 100 辆这一随机事件． 第二章 随机变量及其分布 §1 随机变量 例3 上午 8:00～9:00 在某路口观察，令： Y：该时间间隔内通过的汽车数． 则 Y 就是一个随机变量． 它的取值为 0，1，…． 表示通过的汽车数小于100辆这一随机事件； 表示通过的汽车数大于 50 辆但不超过 100 辆这一随机事件． 注意 Y 的取值是可列无穷个！

例 4 观察某电子元件的寿命（单位：小时），令 Z：该电子元件的寿命． 则Z 就是一个随机变量．它的取值为所有非负实数． 第二章 随机变量及其分布 §1 随机变量 例 4 观察某电子元件的寿命（单位：小时），令 Z：该电子元件的寿命． 则Z 就是一个随机变量．它的取值为所有非负实数． 表示该电子元件的寿命不超过500小时这一随机事件． 表示该电子元件的寿命大于 1000小时这一随机事件． 注意 Z 的取值是不可列无穷个！

随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，就象数学分析中常量与变量的区别那样. 第二章 随机变量及其分布 例 5 掷一枚硬币，令： §1 随机变量 则X是一个随机变量． 随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，就象数学分析中常量与变量的区别那样.

随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件 随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件. 引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究. 随机变量及其 取值规律 事件及 事件概率

例如，“电视机的寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等. 三、随机变量的分类 通常分为两类： 所有取值可以逐个 一一列举 离散型随机变量 随机变量 如“取到次品的个数”， “收到的呼叫数”等. 全部可能取值不仅 无穷多，而且还不能 一一列举，而是充满 一个区间. 连续型随机变量 例如，“电视机的寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等.

第二章 随机变量及其分布 §2 离散型随机变量及其分布率 离散型随机变量的分布率与性质 一些常用的离散型随机变量

一、离散型随机变量的分布率与性质 1) 离散型随机变量的定义 如果随机变量 X 的取值是有限个或可列无穷个，则称 X 为离散型随机变量． 第二章 随机变量及其分布 §2离散型随机变量 一、离散型随机变量的分布率与性质 1) 离散型随机变量的定义 如果随机变量 X 的取值是有限个或可列无穷个，则称 X 为离散型随机变量．

2) 离散型随机变量的分布律 设离散型随机变量 X 的所有可能取值为 并设 则称上式或 为离散型随机变量 X 的分布律． 第二章 随机变量及其分布 §2离散型随机变量 2) 离散型随机变量的分布律 设离散型随机变量 X 的所有可能取值为 并设 则称上式或 为离散型随机变量 X 的分布律．

第二章 随机变量及其分布 §2离散型随机变量 3)离散型随机变量分布律的性质:

第二章 随机变量及其分布 §2离散型随机变量 例 1 设随机变量 X 的分布律为 解：由分布率的性质，得 该级数为等比级数，故有 所以

二、表示方法 再看下例 任取3 个球 （1）列表法： X~ （2）图示法 （3）公式法 X为取到的白球数 X可能取的值 是0,1,2 PK 0.1 0.3 0.6 k PK 1 2 （2）图示法 （3）公式法

三、举例 例2 某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布. 解： X可取0、1、2为值 P(X =0)=(0.1)(0.1)=0.01 P(X =1)= 2(0.9)(0.1) =0.18 P(X =2)=(0.9)(0.9)=0.81 且 P(X =0)+ P(X =1)+ P(X =2)=1

常常表示为： 这就是X的概率分布.

X：取出的5个数字中的最大值．试求X的分布律． 第二章 随机变量及其分布 例 3 从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令 X：取出的5个数字中的最大值．试求X的分布律． 求分布率一定要说明 k 的取值范围！ 解： X 的可能取值为 5，6，7，8，9，10． 并且 =—— 具体写出，即可得 X 的分布律：

例4 某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是p,每发相互独立，求所需射击发数X 的概率函数. 为计算 P(X =k )， k = 1,2, …， 设 Ak = {第k发命中}，k =1, 2, …， 于是 P(X=1)=P(A1)=p,

可见 这就是求所需射击发数X的概率函数. 不难验证: 若随机变量X的概率函数如上式，则称X具有几何分布.

第二章 随机变量及其分布 §2离散型随机变量 例 5 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯， 每盏信号灯以概率p禁止汽车通过. 以 X 表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，求 X 的分布律. (信号灯的工作是相互独立的). 可爱的家园 P{X=3} =(1-p)3p

p (1-p) p (1-p)2p (1-p)3p (1-p)4 例 5(续) 第二章 随机变量及其分布 例 5(续) §2离散型随机变量 解： 以 p 表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则 X 的分布律为： X pk 0 1 2 3 4 p (1-p) p (1-p)2p (1-p)3p (1-p)4 或写成 P{X= k} = (1- p)kp，k = 0,1,2,3 P{X= 4} = (1-p)4

第二章 随机变量及其分布 例 5(续) §2离散型随机变量 以 p = 1/2 代入得： X pk 0 1 2 3 4 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625

四、一些常用的离散型随机变量 (一)二点分布 如果随机试验 E 只有两个结果，则称 E 为 Bernoulli试验． 第一章 概率论的基本概念 四、一些常用的离散型随机变量 (一)二点分布 如果随机试验 E 只有两个结果，则称 E 为 Bernoulli试验． Bernoulli 试验的例子 例 掷一枚硬币，只有“出现正面”与“出现反面” 两种结果，因此“掷一枚硬币”可看作是一次 Bernoulli试验．

一般地，设在一次试验中我们只考虑两个 互逆的结果：A或 ， 或者形象地把两个互逆结果叫做“成功”和“失败”. 掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点” 新生儿：“是男孩”，“是女孩” 抽验产品：“是正品”，“是次品”

进行一次Bernoulli试验， A是随机事件。设： 第二章 随机变量及其分布 Bernoulli分布的概率背景 §2离散型随机变量 进行一次Bernoulli试验， A是随机事件。设： 设X 表示这次Bernoulli试验中事件A发生的次数． 或者设

Bernoulli分布(两点分布或0-1分布〕 第二章 随机变量及其分布 Bernoulli分布(两点分布或0-1分布〕 §2离散型随机变量 如果随机变量 X 的分布律为 或 则称随机变量 X 服从参数为 p 的 Bernoulli分布．

(二)二项分布 n重Bernoulli 试验 第一章 概率论的基本概念 (二)二项分布 n重Bernoulli 试验 若独立重复地进行n次Bernoulli试验，这里“重复” 是指每次试验中事件 A 发生的概率（即每次试验中 “成功”的概率）不变，则称该试验为 n 重Bernoulli 试验．

第一章 概率论的基本概念 §5 n重贝努里概型 一般地： 设在 n 重Bernoulli 试验中，

第二章 随机变量及其分布 说明： §2离散型随机变量 所以

第二章 随机变量及其分布 §2离散型随机变量 (二)二 项 分 布 如果随机变量 X 的分布律为

二项分布的概率背景 令 X 表示这 n 次 Bernoulli 试验中事件A发生的次数． 第二章 随机变量及其分布 §2离散型随机变量 二项分布的概率背景 　进行n重 Bernoulli 试验，A是随机事件。设在每次试验中 令 X 表示这 n 次 Bernoulli 试验中事件A发生的次数．

用X表示n重贝努里试验中事件A（成功）出现的次数，则 （1） 不难验证： （2） 当n=1时， P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1 称X服从0-1分布 称r.vX服从参数为n和p的二项分布，记作 X~B(n,p)

第二章 随机变量及其分布 §2离散型随机变量 说 明 显然，当 n=1 时 极端情况：单点分布，或退化分布

例6 已知100个产品中有5个次品，现从中 有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的概率. 解: 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验 的条件完全相同且独立，它是贝努里试验. 依题意，每次试验取到次品的概率为0.05. 设X为所取的3个中的次品数， 则 X ~ B (3, 0.05)， 于是，所求概率为：

注：若将本例中的“有放回”改为”无放回”，那么各次试验条件就不同了，不是贝努里概型，此时，只能用古典概型求解. 请思考： 古典概型与贝努里概型不同，有何区别？

例 7 一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能 答案，其中只有一个答案是正确的．某学生靠猜测 能答对4道题以上的概率是多少？ 第二章 随机变量及其分布 §2离散型随机变量 例 7 一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能 答案，其中只有一个答案是正确的．某学生靠猜测 能答对4道题以上的概率是多少？ 解：每答一道题相当于做一次Bernoulli试验， 则答5道题相当于做5重Bernoulli试验．

第二章 随机变量及其分布 §2离散型随机变量 所以

第二章 随机变量及其分布 §2离散型随机变量 例8、设有80台同类型的设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法，其一是由4人维护，每人负责20台；其二是由3人共同维护80台。试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。

第二章 随机变量及其分布 §2离散型随机变量 解：（方法一的求解） 设随机变量 表示第1人维护20台中同一时刻发生故障的台数， 表示事件第 人维护的20台中发生故障不能及时维修，则80台中发生的故障而不能及时维修的概率为

随机变量 Y 表示80台中同一时刻发生故障的台数 第二章 随机变量及其分布 §2离散型随机变量 方法二的求解 随机变量 Y 表示80台中同一时刻发生故障的台数

对于固定n及p，当k增加时 ,概率P(X=k) 先是随之增加直至 达到最大值, 随后单调减少. 二项分布的图形特点： X~B(n,p) n=10,p=0.7 n Pk 对于固定n及p，当k增加时 ,概率P(X=k) 先是随之增加直至 达到最大值, 随后单调减少. 二项分布的最可能值 当(n+1)p不为整数时，二项概率P(X=k)在k=[(n+1)p]达到最大值；当（n+1）p为整数时，在k=(n+1)p或(n+1)p-1达到最大 ( [x] 表示不超过 x 的最大整数)

解：对目标进行300次射击相当于做300重Bernoulli 试验．令： §2离散型随机变量 第二章 随机变量及其分布 例9 对同一目标进行300次独立射击，设每次射击时的 命中率均为0.44，试求300次射击最可能命中几次？ 其相应的概率是多少？ 解：对目标进行300次射击相当于做300重Bernoulli 试验．令： 则由题意

[ ] { } 132 44 . = k 04636 . = 56 . 44 = C X P 因此，最可能射击的命中次数为 其相应的概率为 §2离散型随机变量 第二章 随机变量及其分布 因此，最可能射击的命中次数为 [ ] 132 44 . = k 其相应的概率为 { } 168 132 300 56 . 44 = C X P 04636 . =

则称随机变量 X 服从参数为λ的Poisson 分布． §2离散型随机变量 第二章 随机变量及其分布 （三）Poisson 分布 如果随机变量X 的分布律为 则称随机变量 X 服从参数为λ的Poisson 分布．

> l 分布律的验证 ⑴ 由于 可知对任意的自然数 k，有 ⑵ 又由幂级数的展开式，可知 所以 是分布律． 第二章 随机变量及其分布 §2离散型随机变量 第二章 随机变量及其分布 分布律的验证 ⑴ 由于 > l 可知对任意的自然数 k，有 ⑵ 又由幂级数的展开式，可知 所以 是分布律．

第二章 随机变量及其分布 §2离散型随机变量 Poisson 定理 证明:

§2离散型随机变量 第二章 随机变量及其分布 对于固定的 k，有 所以，

第二章 随机变量及其分布 Poisson定理的应用 §2离散型随机变量 由 Poisson 定理，可知

上面我们提到 二项分布 泊松分布 n很大, p 很小

例5：有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过,设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率为0 例5：有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过,设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少? 设1000 辆车通过,出事故的次数为 X , 则 解 所求概率为 可利用泊松定理计算

Poisson 分布的应用 Poisson分布是概率论中重要的分布之一． 自然界及工程技术中的许多随机指标都服从Poisson分布． §2离散型随机变量 第二章 随机变量及其分布 Poisson 分布的应用 Poisson分布是概率论中重要的分布之一． 自然界及工程技术中的许多随机指标都服从Poisson分布． 例如，可以证明，电话总机在某一时间间隔内收到的呼叫次数，放射物在某一时间间隔内发射的粒子数，容器在某一时间间隔内产生的细菌数，某一时间间隔内来到某服务台要求服务的人数，等等，在一定条件下，都是服从Poisson分布的．

第二章 随机变量及其分布 §2离散型随机变量 例 10(bayes)

____________________________________ = §2离散型随机变量 第二章 随机变量及其分布 解：设 B={ 此人在一年中得3次感冒 } 则由Bayes公式，得 ____________________________________ =

§2离散型随机变量 第二章 随机变量及其分布 （四）几 何 分 布 若随机变量 X 的分布律为

§2离散型随机变量 第二章 随机变量及其分布 分 布 律 的 验 证 ⑴ 由条件 ⑵ 由条件可知 综上所述，可知 是一分布律．

§2离散型随机变量 第二章 随机变量及其分布 几何分布的概率背景 在Bernoulli试验中， 试验进行到 A 首次出现为止． 即

{ } å 例 11 36 . = 2 ³ = X P 次才命中 至少命中 对同一目标进行射击，设每次射击时的命中率 §2离散型随机变量 第二章 随机变量及其分布 例 11 对同一目标进行射击，设每次射击时的命中率 为0.64，射击进行到击中目标时为止，令 X：所需射击次数． 试求随机变量 X 的分布律，并求至少进行2次射击 才能击中目标的概率． 解： 64 . 36 1 = - n { } 2 ³ = X P 次才命中 至少命中 å ¥ = - 2 1 64 . 36 k 36 . 1 64 - = 36 . =

§2离散型随机变量 第二章 随机变量及其分布 （五）超 几 何 分 布 如果随机变量 X 的分布律为

超几何分布的概率背景 一批产品有 N 件，其中有 M 件次品，其余 N-M 件为正品．现从中取出 n 件． §2离散型随机变量 第二章 随机变量及其分布 超几何分布的概率背景 一批产品有 N 件，其中有 M 件次品，其余 N-M 件为正品．现从中取出 n 件． 令 X：取出 n 件产品中的次品数． 则 X 的分 布律为

§2离散型随机变量 第二章 随机变量及其分布 思考题：

2）两点分布、二项分布、泊松分布、几何分布； §2离散型随机变量 第二章 随机变量及其分布 本节小结： 1）离散型随机变量的分布律及其性质； 2）两点分布、二项分布、泊松分布、几何分布； 要求： 1）掌握分布律的性质； 2）熟练运用两点分布、二项分布、泊松分布、几何分布这几个分布模型解决实际问题。特别是二项分布。