3．2.2 用向量方法求空间中的角
学习目标 1.理解直线与平面所成角的概念． 2．能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题．
3.2.1 用 向 量 方 法 求 空 间 中 的 角 课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练
1．两条异面直线所成的角的范围是______． 2．直线与平面所成的角是指这条直线与它在这个 课前自主学案 温故夯基 1．两条异面直线所成的角的范围是______． 2．直线与平面所成的角是指这条直线与它在这个 平面内的______所成的角，其范围是______． 3．二面角的大小就是指二面角的平面角的大小，其范围是_______． 4．已知直线l1的一个方向向量为a＝(1，－2,1)，直线l2的一个方向向量为b＝(2，－2,0)，则两直线所成的角为____. 射影 [0，π] 30°
知新益能 1．异面直线所成角的求法 设两异面直线所成角为θ，它们的方向向量分别 为a、b，则cosθ＝________＝_______. 2．直线与平面所成角的求法 设直线l与平面α所成角为θ，直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n. 则sinθ＝|cos〈n，a〉|＝_______.
问题探究 1．异面直线所成的角是否等于它们的方向向量所成的角？ 提示：不一定．若方向向量所成角小于等于90°,则相等；若方向向量所成角大于90°，则不相等． 2．直线与平面所成角与直线的方向向量和平面法向量所成角互余吗？ 提示：不一定．
两条异面直线所成角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等．当两方向向量夹角为钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角． 课堂互动讲练 考点突破 求异面直线的夹角 两条异面直线所成角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等．当两方向向量夹角为钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．
(1)建立适当的坐标系，并写出点B、P的坐标； (2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值． 四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°.在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2. (1)建立适当的坐标系，并写出点B、P的坐标； (2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值． 例1
求直线与平面所成的角
例2 【思路点拨】 利用正三棱柱的性质，建立适当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，取A1B1的中点M，连结C1M，证明∠C1AM是AC1与平面A1ABB1所成的角；另一种是利用平面A1ABB1的法向量n＝(λ，x，y)求解．
求平面与平面所成的角 利用向量法求二面角的步骤： (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量； (3)求出两个法向量的夹角； (4)判断出所求二面角的平面角是锐角还是钝角； (5)确定出二面角的平面角的大小．
(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值； (2)证明AF⊥平面A1ED； (3)求二面角A1EDF的正弦值． (2010年高考天津卷)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4. (1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值； (2)证明AF⊥平面A1ED； (3)求二面角A1EDF的正弦值． 例3
【思路点拨】 解答本题首先建立空间坐标系，写出一些点的坐标，再利用向量法求解．
【名师点评】
方法感悟 1．利用空间向量求线线角、线面角的关键是转化为直线的方向向量之间、直线的方向向量与平面的法向量之间的角，通过数量积求出，通常方法分为两种：坐标方法、基向量方法，解题时要灵活掌握．
2．利用向量方法求二面角的方法分为二类：一类是找到或作出二面角的平面角，然后利用向量去计算其大小；另一类是利用二面角的两个平面的法向量所成的角与二面角的平面角的关系去求．后一类需要依据图形特点建立适当的空间直角坐标系．
知能优化训练
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