函數的連續性與導數

函數的連續性 由極限的定義知: 我們取0<|x-a|,即排除f(a)這個值。 若f(x)≠L可從下圖(圖2.1)知f(x)這條曲線在x=a點中斷

圖2.1

我們定義f(x)在x=a點連續為 所以函數f(x)在a點連續的三要件為: 存在 f(a)存在(有定義) 極限值等於函數值, 亦即

當我們說f(x)為連續函數,意指f(x)在 定義域的每一點都連續。利用上一單元 的極限定理(定理1)我們可知兩個連續 函數的和,乘積,商(若分母函數恆不等於0, 或只考慮商函數母函數≠0的部份)皆為 連續函數,或一個連續函數開n次方亦為 連續函數。

顯而易見地,f(x)=x為連續函數,所以所有的多項式為連續函數,有理式函數在其定義域(即分母多項式不為零的點集合)為連續函數。 由於任一無理數可用有理數逼近,所以 亦為連續函數。

為方便起見,我們定義f(x)從點a右邊連續為

定理2.1 極限合成定理(Composite Limit Theorem) 若 ,f(t)在t=b連續,則 若定理2.1的g(x)在點a連續 (意即 ) 則f◦g(x)在點a亦連續,所以兩個連續函數的合成函數亦為連續函數。

例2.1: 以下各函數連續的範圍。 (a) (b) (c) 解: (a)f(x)為多項式,所以任何實數f(x)皆連續。 (b)g(x)為有理式,且分母函數 恆大於0,所以任何實數g(x)皆連續。

(c)h(x)為有理式,分母函數 的 根為1,2,所以h(x)連續的範圍為R\{1,2} 定理2.2 中間值定理(The Intermediate Value Theorem) 函數f在閉區間[a,b]連續,若w為f(a)和f(b) 之間任一數,則 ,使得f(c)=w, 如下圖(圖2.2)所示。

圖2.2

例2.2: 以下各函數連續的範圍。 (a) (b) (c) 解: (a)f(x)為多項式,所以任何實數f(x)皆連續。

(b) g(x)為有理式,且當x=1或-1時,分母函數等於0,所以任何實數g(x)連續的範圍為R\{-1,1}。 (c) 由於 的定義域為 除了1以外皆連續, 而 到處皆連續, 所以h(x)連續的範圍為 。

例2.3: 在何 處不連續, 又是否可使其連續? 解: f(x)為有理式函數,且當x=-2 時, 分母函數等於0,所以f(x)連續的範圍為R\{-2}, 但

所以我們只要令f(-2)=-6, 即可滿足 f(x)在x=-2連續的定義, 亦即 此時的y=f(x)=x-4為一條直線。

例2.4: 以下各函數連續的範圍。 (b) 解: (a) 指數函數 為連續函數, 亦為連續函數, 所以根據 定理2.1(極限合成定理), 連續的範圍為R。

為連續函數, 為有理式函數, 所以根據定理2.1(極限合成定理), 只在分母等於0處不連續。

由於 ,所以 連續的範圍為R\{3,-3}。

例2.5: 求 解: 由於 為有理式函數, 其在定義域皆連續, 又由於-2屬於其定 義域, 故根據連續函數的定義

例2.6: 驗證方程式 在1跟2之間有一個解。 解: 令 f(1)=4-6+3-2=-1<0 f(2)=32-24+6-2=12>0 由於f(1)<0<f(2), 且f(x)為連續函數, 所以 根據中間值定理, 存在一介於1跟2之間的 實數c, 滿足f(c)=0。

例2.7: 驗證方程式 至少存在一實數解。 解:令 f(1)=1-1-4=-4<0 f(2)=32-4-4=24>0 由於f(1)<0<f(2), 且f(x)為連續函數, 所以根據中間值定理, 存在一介於1跟2之間的實數c, 滿足f(c)=0。

例2.8: 驗證方程式 至少存在一實數解。 解:令 f(5)=0-1/8=-1/8<0 f(9)=2-1/12=23/12>0 由於f(5)<0<f(9), 且f(x)為連續函數, 所以根據中間值定理, 存在一介於5跟9之間的實數c, 滿足f(c)=0。

例2.9: 若 ,驗證 存在一實數c, 滿足f(c)=10。 解: f(0)=0-0+0=0 f(3)=27-9+3=21 由於f(0)<10<f(3), 且f(x)為連續函數, 所以根據中間值定理, 存在一介於0跟3 之間的實數c, 滿足f(c)=10。

導數(Derivatives) 為了解導數起見我們須先對變率 (Rate of Change)的概念有所了解。 平均變率(Average Rate of Change) 對於曲線y=f(x),從x=a到x=a+h的 平均變率定義為 h≠0

例2.10: 紐約時報的一篇文章描述在光碟機上應用軟體的增加。該文章的數據顯示從1990年來,有光碟機的PC數量為 百萬台, 其中x為從1990年算起的年份。求1994年上半年間有光碟機的PC數量之平均變化率。

解: 1994年開始對於1994-1990=4, 1994 年前半年結束則對應於1994.5-1990=4.5。 ≈2(12.27787-10.16583)=4.224 1994年上半年間有光碟機的PC數量之 平均變化率為每年增加4.224百萬台。

例2.11: 一小鐵球從一高塔以自由落體的方式落下,其落下的距離y公尺和落下時間t秒的關係為 ,求落下時間2到3秒之間的平均速度v。 解: 將上例以圖示法來看,則如下圖(圖2.4)所示為v為曲線 中兩點(2,19.6)和(3,44.1)所連成割線(Secant Line)的斜率(Slope)。

圖2.3

例2.12: 求例2.4從t=a到t=a+h的平均變率,其中h≠0。 解:

由上式可知,若a固定不動,則當h越來越小時, 越來越趨近於9.8a,此值我們稱為 在時間t=a的瞬間速度(Instantaneous Velocity) 例如t=2時,小鐵球從高塔以自由落體的方式落下之瞬間速度為每秒19.6公尺。

若斜率決定後,通過一定點的直線亦為唯一,利用此想法,我們定義一條曲線y=f(x)在某點(a,f(a))的切線 定義方法如下: 令(a,f(a))為定點,取附近任一點(a+h,f(a+h))(動點),做通過此兩點的直線(割線),並求其斜率為

圖2.4

當h越來越小時,我們想知 是否會趨近某一定值,若 真的趨近某一定值m,則我們可定義點(a,f(a))在曲線y=f(x)的切線(Tangent Line)為(y-f(a))=m(x-a)。 表示。

瞬間變率 (Instantaneous Rate of Change 對於曲線y=f(x),若 存在,則我們稱之為y=f(x)在x=a的瞬間變率。

例2.13: 求拋物線 在點(1,1)的切線。 解: 利用上述想法求 是否趨近某一數值m。化簡 很明顯地,當h越來越靠近0時, 越來越靠近2,意即m為2。故拋物線 在點(1,1)的切線為y-1=2(x-1),即y=2x-1。

例2.14: ,求 (a)f(x)在x=1的切線斜率 (b)f(x)在x=1的切線。 (y-1)=-(x-1), 亦即x+y-2=0。

微分(導數)的定義 (Definition of the Derivatives) 回到前面的切線問題,若曲線y=f(x)在點(a,f(a))的切線(Tangent Line)存在, 意即極限 存在,則我們定義f(x)在a的微分(導數)(Derivative)為

若一函數f(x)在a的微分 存在,則我們稱f(x)在a為可微分(differentiable)。 若函數f(x)在其定義域內的每一點皆可微分,上式中的a用x替代則我們得到函數f(x)的微分函數

亦可用 或 來表示。 若y=f(x),則用 表示 也行得通。 相對應地,我們用 或 來表示 。

若 的微分函數存在,我們用 或 來表示。同樣地,若y=f(x), 表示 。我們稱 為 f(x)的2次微分函數。以此類推, 或 ( 或 )表示f(x) 的n次微分函數。

當 表示f(x)的n次微分函數, 則可用 ( 當y=f(x))來表示。 例2.15: 求 解:

例2.16: 的微分函數為

例2.17: 函數f(x)=|x|在何處為可微分? 解: 若x>0,則

若x<0,則

若x=0,則我們需驗證 是否存在。

由於右極限和左極限不同,故f(x)=|x|在 0不可微分。 因此f(x)=|x|除了0以外皆可微分, 且 若X>0, 則 若X<0, 則 。

定理2.3 若 存在,則f在a連續。 證明: 令 x≠a

微分的技巧 利用微分的定義求常數函數f(x)=k的微分如下:

在x 的微分為 上述的微分結果對於任一實數n皆適用,亦即

為方便計算我們須發展一些計算上的技巧。 由極限定理可知,若a,b為常數,則可得 定理2.4: 若f(x)和g(x)為可微分函數,則

或 加法微分法則(The Sum Rule)

例2.18: (a) 若 ,求 。 解: (b) 若 , 求 。 (c) 若, ,求 。

(d) 求 。 解: (e) 若 , 求 。

例2.19: (a) 若 , 求 。 解: (b) 若 , 求 。 (c) 求 。

(d) 求 。 解: (e) 若 , 求 。

例2.20: 求以下各函數的微分。 (a) 解: (b)

(c) 解: 化簡f(x)

(d) 解: 展開f(x)

邊際分析 (Marginal Analysis) 每增加一個單位的生產量所須增加的實際成本稱為邊際成本(Marginal Cost)。 如下例(例2.10)所示,邊際成本近似總成本的瞬間變率,因此經濟學家將成本函數微分後所得的函數稱為邊際成本函數(Marginal Cost Functions)

例2.21: 假設製造x千桶的飲料的成本為 百美金。求以下各個不同x值的邊際成本。 (a) x=5 解: , 當x=5

亦即當5千桶飲料已經製造出來後, 再多製造一千桶飲料的費用大約為$14,000。 而多製造此一千桶飲料的實際成本為 =1244-1100=144(100美金)=$14,400

(b) x=30 解: , 當x=30 亦即當3萬桶飲料已經製造出來後, 再多製造一千桶飲料的費用大約為$34,000。

邊際收入(Marginal Revenue) 仿造前述邊際成本的概念,我們將收入函數R微分,亦可得邊際收入(營業額)函數(Marginal Revenue Function)。

例2.22: 製造某產品的需求函數為 (價格p的單位為美金)。求製造x千桶的飲料的成本為 百美金。求製造x=10,000個產品的邊際收入。 解:

收入函數為

邊際收入為 亦即當10,000個產品已經銷售後, 再銷售一個產品的收入為$1.2。

例2.23: 若例2.21的成本函數為 C(x)=2100+0.25x, 其中0≤x≤ 30,000 求製造和銷售以下數量產品的邊際利潤。 (a) 15,000 解: 由上例知銷售x個產品的收入為

故利潤為 P(x)=R(x)-C(x)

銷售x個產品的邊際利潤為 當x=15,000時的邊際利潤為

(b) 21,875 解:當x=21,875時的邊際利潤為 (c) 25,000 解: 當x=25,00時的邊際利潤為

例2.24: 從1994年至2004年, 預期超過100歲的美國人之人數(單位為100人)可用 來近似估計之, 其中x=0對應於1994年。 (a) 求超過100歲的美國人之人數變化率。 解: 將f(x)微分即可得之。 故知超過100歲的美國人之人數是以線性的方式增加。

(b) 求2003年超過100歲的美國人之人數變化率。 解: 2003年對應於x=2003-1994=9, 亦即2003年超過100歲的美國人是以每年大約增加9300人的速度在增加。