利率期限结构：动态模型 厦门大学金融系 陈蓉 2011/11/1

动态利率模型概述 仿射利率期限结构模型 HJM分析框架与无套利模型 动态利率模型参数的估计与校准 >> 利率期限结构：动态模型 动态利率模型概述 仿射利率期限结构模型 HJM分析框架与无套利模型 动态利率模型参数的估计与校准

为何需要动态模型？ 普通的债券、利率远期、利率期货和利率互换， 由当前静态利率期限结构的信息即可定价 利率期权产品：还需要利率波动的信息 动态模型：DTSMs

动态利率模型的基本框架 动态利率模型的评价标准 动态利率模型的分类与演进 >> 动态利率模型概述 动态利率模型的基本框架 动态利率模型的评价标准 动态利率模型的分类与演进

动态利率模型的建模对象 无风险的瞬时即期利率 瞬时远期利率 Why？ instantaneous spot rate or short rate 瞬时远期利率 Instantaneous forward rate Why？ 只要瞬时利率的变化规律已知，就可以推知任意到期期限的即期利率的动态过程

利率期限结构与瞬时利率 贴现因子（零息票债券）与瞬时利率 即期利率与瞬时利率

利率期限结构与瞬时远期利率 贴现因子（零息票债券）与瞬时远期利率 即期利率与瞬时远期利率

动态利率模型的基本设定 瞬时利率在现实测度下的SDE 重要工具I：随机过程、SDE、漂移率、波动率、 布朗运动 不同动态利率模型的差异主要在于对漂移率和波 动率设定的不同 （1）是dt和dz的动态过程，dt为趋势项，dz为波动项 （2）一般的伊藤过程，漂移率是时间的函数，是可测函数即可，这样漂移率有可能是随机的也可能是确定的。随机又分为两种：单独的随机源和源自r的随机源。如果单独有随机源，则在短时间内，连漂移项都是随机的，会有方差；但如果是源自r的随机源，则在短时间内，漂移是确定的，短时间内的方差仅仅源于波动项。当然长期来看漂移项也会有方差；如果是确定的时间的函数或是常数，则漂移项是没有方差的。最常见的漂移项是后三种：常数、时间的确定函数、r和t的函数。人们往往通过变换将漂移项中的r去掉，这样简化随机过程的求解和分析。如果要让漂移率有自己的随机源，就需要引入漂移率的随机过程。 （3）波动率也是类似的情形，可能是常数、时间的确定函数、r和t的函数、随机波动率。 （4）这里不考虑随机波动率和随机漂移率的情形，这样唯一的随机源是dz r，就可以使得方差仅仅来源于波动项。

瞬时利率动态过程模拟

动态利率模型的分析框架 重要工具II：Itô-Doeblin引理 根据Itô-Doeblin引理，当瞬时利率服从伊藤过程时 ，无风险零息债券和即期利率的随机过程可以用 瞬时利率的漂移率、波动率参数和随机源dz(t)表 示

偏微分方程方法I Partial Differential Equation（PDE）方法，也称无 套利（no arbitrage）方法 通过构造无风险组合，而无风险组合在无套利条 件下只能获得无风险利率推导得到结论

偏微分方程方法II 用两个无风险债券构造组合W 选择权重W1、 W2使得

偏微分方程方法III 无套利思想 整理可得 由于债券是任意选取的，因此对于任意债券有 我们称之为瞬时利率的市场风险价格

偏微分方程方法IV PDE 对于任意其价格仅取决于瞬时利率和时间的可交 易证券，都满足上述风险价格公式和PDE 给定不同的边界条件，即可求解证券价格。 解析解 数值解：随机过程复杂或是产品设计复杂的情形 必须以无套利为前提

等价鞅测度法I 重要工具III：测度转换、等价测度、鞅、Girsanov theorem、资产定价基本定理 在无套利条件下，存在一个市场风险价格值使得 不同测度下的的风险源满足 则风险中性测度下的利率产品价格满足

等价鞅测度法II 如果该产品是可交易资产，则 新测度的特点 无论实际风险多大，利率产品价格对数的漂移率均为无风险利率：风险中性测度 只要波动率不是随机的，转换测度时波动率不变

等价鞅测度法III 新测度的另一个重要特点：鞅测度 可交易资产当前的价格等于该产品T时刻的价值在 风险中性测度下按无风险利率贴现至t时刻的期望 值。

PDE方法VS鞅方法 PDE方法：运用无套利条件构建PDE方程，求解后 用瞬时利率的参数来表示利率产品的价格 鞅方法：在市场风险价格存在的前提下，通过市 场风险价格实现风险中性测度的转换，利率产品 的定价通过求风险中性期望实现 一致性： 无套利＝市场风险价格存在＝风险中性测度存在 discounted Feynman-Kac theorem

Discount Feynman-Kac Theorem 如果随机变量X(t)满足伊藤过程 给定满足条件 的函数h(X)。定义 则f(x,t)满足以下偏微分方程 其边界条件为

动态利率模型与静态利率模型 建模目的 建模重点 复杂性和信息含量 估计参数需要的数据 静态：高拟合度、曲线的平滑、拟合灵活度和稳定度 动态：经济意义 复杂性和信息含量 估计参数需要的数据

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实用主义标准 名义利率是否非负 收益率曲线的静态特征：形状、长端水平等 利率动态特征： 简单快捷 均值回归 分布特征：肥尾、非对称 利率期限结构长短端变动不一致 利率波动率特征： 利率的波动率与利率水平有关 利率波动率期限结构形状 简单快捷

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传统分类 均衡模型与无套利模型 从单因子到多因子 均衡模型：参数的非时变性 Merton模型 Vasicek模型 CIR模型等 无套利模型：无套利条件下得到的时变参数 Ho-Lee模型 Hull-White模型等 从单因子到多因子 Hull-White双因子模型 Longstaff-Schwartz模型

两个重要的动态利率模型框架 仿射模型 HJM模型 把收益率曲线表示成状态变量的线性函数，能获得债券和期权价格的解析解，易于在实务中进行校准，应用价值高 HJM模型 无套利模型的基本框架：从瞬时远期利率的随机过程出发，推导出利率期限结构所必须满足的无套利条件 LIBOR市场模型：应用最广泛

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Merton模型 Vasicek模型 CIR模型 仿射模型的一般形式 >> 仿射利率期限结构模型 Merton模型 Vasicek模型 CIR模型 仿射模型的一般形式

Merton模型I 基本形式 Merton模型下的资产价格与利率期限结构

Merton模型II λ为常数时，现实测度下瞬时利率仍然服从Merton 模型， 基本性质 可能出现负利率 长期利率趋于负无穷 只能刻画开口向下的抛物线形状

Merton模型III 基本性质（续） 动态特征的缺陷 不存在均值回归特征，当T趋于无穷时，利率的均值和方差都将趋于无穷大 利率波动率特征不符合现实 单因子意味着利率期限结构的平移

Merton模型 Vasicek模型 CIR模型 仿射模型的一般形式 >> 仿射利率期限结构模型 Merton模型 Vasicek模型 CIR模型 仿射模型的一般形式

Vasicek模型I 基本形式：均值回归模型 现实测度：

Vasicek模型II Vasicek模型下的资产价格与利率期限结构

Vasicek模型III 改善 均值回归 T趋于无穷时，长期利率收敛于 参数取值不同，得到不同的即期利率期限结构形状 短期利率波动率大于长期利率波动率

Vasicek模型IV 缺点 仍有可能出现负利率 长期利率应该是时变的，而非一个常数 利率期限结构形状不够丰富 无法刻画驼峰状的利率波动率；利率波动率与利率水平无关 单因子模型导致模型导出的债券价格相关性过高。

Vasicek模型拓展：Hull-White 单因子模型I 基本形式

Vasicek模型拓展：Hull-White 单因子模型II H-W模型下的资产价格与利率期限结构

Vasicek模型拓展：Hull-White 单因子模型III 基本性质 无套利 简单 但并未改善Vasicek模型的缺陷

Vasicek模型拓展：Hull-White 双因子模型I 基本形式 可以证明

Vasicek模型拓展：Hull-White 双因子模型II 基本性质 引入两个具有相关性的风险源：分别影响短期利率和长期利率 波动率期限结构形状更为复杂多变 参数估计与校准困难

Merton模型 Vasicek模型 CIR模型 仿射模型的一般形式 >> 仿射利率期限结构模型 Merton模型 Vasicek模型 CIR模型 仿射模型的一般形式

CIR模型I 基本形式：均值回归模型 现实测度：

CIR模型II CIR模型下的零息债价格与利率期限结构

CIR模型III CIR模型下的零息债期权价格

CIR模型IV 均值回归 T趋于无穷时，长期利率收敛于 利率非负 即期利率波动率为 仍然是单因子模型

Longstaff-Schwartz模型I 状态变量所服从的随机过程 利率与波动率与状态变量的关系

L-S模型II 利率与波动率的动态过程

Merton模型 Vasicek模型 CIR模型 仿射模型的一般形式 >> 仿射利率期限结构模型 Merton模型 Vasicek模型 CIR模型 仿射模型的一般形式

仿射模型的基本形式 瞬时利率 风险中性测度下状态向量所服从的过程 瞬时利率是状态向量的仿射函数；状态向量的漂 移率和方差率也是状态向量的仿射函数

仿射模型下的零息债价格与利率期限结构 仿射模型下零息票债券的价格 参数满足

仿射模型讨论 优势 不足 拓展：二次模型/更多的风险源/跳跃模型 给定瞬时利率的随机过程，不需要求解偏微分方程或公式，可以直接得到债券价格的解析解 不足 仿射模型采用线性形式，而对仿射模型定价误差的研究表明，仿射模型定价误差的存在可能是由于忽略了一些非线性因素。 拓展：二次模型/更多的风险源/跳跃模型

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HJM建模对象：瞬时远期利率 瞬时远期利率与零息债价格和即期利率 Hull-White单因子模型

HJM模型框架I 瞬时远期利率所服从的随机过程 积分可得 即期利率所服从的随机过程

HJM模型框架II 零息债价格所服从的随机过程

HJM模型框架III 风险中性测度下的零息债价格

HJM模型框架IV 风险中性测度下的瞬时远期利率与瞬时利率

HJM模型特征 在无套利条件下，风险中性测度下瞬时远期利率的漂 移率 是波动项 的函数，波动率完全决定了瞬时远期 利率的风险中性过程，而在HJM分析框架下，风险中 性测度和现实测度下的波动项 是相同的。   无套利属性：只要给定波动率，同时运用当前0时刻 的利率期限结构信息（f(0,t)），就可以为利率产品定 价 非马尔可夫过程 仅是一个分析框架

连续无套利模型：Ho-Lee模型 单一风险源且波动率为常数

连续无套利模型：Hull-White模型 单一风险源且波动率为时间的函数

离散无套利模型：树图方法 用大量离散的小幅度二值运动来模拟连续的资产 价格运动，得到未来的利率分布树图，从而为利 率产品定价 用市场信息来确定树图上每个节点的值，以保证 不存在套利机会

Ho-Lee的离散模型I 单期利率树图 其中

Ho-Lee的离散模型II σ外生给定。 Ho-Lee模型对应的债券

Ho-Lee的离散模型III

BDT模型（Black, Derman and Toy, 1990）

BDT模型树图I

BDT模型树图II

BDT模型树图III 多期模型

BDT模型的连续形式 Hull and White (1990) BDT模型实际上是假设瞬时利率对数服从参数时变 的Vasicek模型，是一个无套利的均值回归模型。 模型只有两个待估参数： σ同时决定了瞬时利率对 数的波动率和均值回归速度；瞬时利率对数的长期 均值则由σ和 μ共同决定。这两个时变的参数都由 时刻的市场数据校准得到。

BDT模型特点 与Hull-White单因子模型相比，BDT模型不仅可以 完全拟合当前市场上的利率期限结构，还可以完 全拟合当前利率波动率的期限结构。 此外，由于BDT模型使用利率的对数建模，还避 免了模型生成负利率的可能。

B-K模型（Black and Karasinski , 1991） BDT模型的一般化 时变的均值回归速度 灵活性提高，样本内拟合效果提高 但同时也意味着拟合该模型所需的市场信息也将 增加，且样本外的定价和预测结果并不必然优于 BDT模型

B-K模型的离散形式 离散树图 节点重合 （1） （2） （3）三叉树图

LIBOR Market Model 在HJM分析框架下，瞬时远期利率不可观测 模型相对不易理解 较难用市场价格校准模型参数 Brace, Gatarek and Musiela (1997)、 Jamshidian(1997)和Miltersen, Sandman and Sondermann(1997)等人在HJM框架下提出了一套对 市场利率的建模方法 BGM模型 LIBOR市场模型（LIBOR market models，LMM)

测度转换 设两种资产在风险中性测度下分别服从如下过程 则 其中

风险中性测度 以货币市场账户作为计价单位，风险价格为0，即 风险中性测度

远期测度 以B(t,T)作为计价单位的测度称为远期测度 远期测度的重要性质

互换测度 以t时刻的年金现值因子为计价单位的测度称为互 换测度 t时刻的（远期）互换利率

LFM模型（BGM模型） Lognormal forward-LIBOR model, LFM 远期利率在B(t, T*)远期测度下服从对数正态分布 其中 为时间的确定性函数。

LSM模型 Lognormal swap model, LSM 互换利率在对应的互换测度下服从对数正态分布 其中 为时间的确定性函数。

比较LFM和LSM 都是HJM分析框架的特例，都服从对数正态分布 互换利率和远期利率不可能同时满足对数正态分 布的假设。

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动态模型的参数估计 用过去某段时间内的利率历史数据直接对利率模型进 行拟合，求出模型的参数，并通过均方根误差、残差 平方和、似然比等统计指标对模型的优劣进行检验。 参数估计的模型风险很大，往往存在定价误差 估计得到的往往是现实测度下的参数，而定价时需要 的往往是风险中性测度下的参数。 用历史时间序列估计得到的参数常常主要用来研究一 段时间内利率期限结构的变化情况，较少用于衍生品 的定价。

极大似然估计 离散化瞬时利率动态过程，得到待估模型的离散 形式； 写出待估模型的对数似然函数； 将样本期的短期利率时间序列数据代入，极大化 似然函数，估计出离散化模型的参数。

GMM估计I 离散化瞬时利率动态过程 写出待估模型的矩条件； 构造样本矩并估计参数

GMM估计II 常用的权重函数为样本矩的方差－协方差矩阵 GMM的目标函数为

动态模型的参数校准 “校准”是利用市场的价格数据，通过令模型定 价结果与市场价格的误差最小倒推出参数的最优 取值。 校准得到的参数反映了市场的实际信息，因而成 为目前国际金融市场为利率产品定价时主要使用 的参数提取方法。 校准对数据的要求比较高，常常需要衍生品价格 来进行校准，当市场中交易的资产品种缺乏时， 就难以使用这一方法。

参数校准方法 校准函数 校准过程是一个最小化过程。 参数校准是一个非常灵活的过程：权重设定和函 数的设定都可灵活设定。 过去多采用横截面数据或是可观测变量进行校准 ；现在已经拓展至更复杂的方法。