全等三角形 AAS 全等與作圖 SSS 作圖與全等 RHS 全等 SAS 作圖與全等 全等三角形的應用 ASA 作圖與全等 自我評量

國小時，我們曾經用剪紙與疊合的方法來判斷兩個三角形是否全等。如果兩個三角形可以完全疊合時，我們就說這兩個三角形全等。此時疊合在一起的頂點稱為對應頂點，疊合在一起的角稱為對應角，疊合在一起的邊稱為對應邊。 若兩個三角形全等，則這兩個三角形的對應頂點、對應邊與對應角皆會完全疊合在一起。也就是說，

兩全等三角形的對應邊相等，對應角也相等。 圖3-17

如圖3-17，△ABC 與△DEF 全等，我們記為「△ABC △DEF」，其中符號「 」讀作「全等於」。若A 和D、B 和E、C 和F 是三組對應頂點，則 ＝ ， ＝ ， ＝ （三組對應邊相等） ∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F （三組對應角相等）

1 三角形的全等 如右圖，△ABC △PQR，且 A 和 P、B 和 Q、C 和 R 是三組對應頂點。若∠A＝73°，∠B＝37°， ＝ 4 公分，求： (1)∠C 及∠P。 (2) 的長。

(1) 因為三角形內角和為180°，所以 ∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－73°－37° ＝70° 因為△ABC 與△PQR 全等，所以 ∠P＝∠A＝73°。 (2) 因為△ABC 與△PQR 全等，所以 ＝ ＝4 公分。 解

「△ABC 和 △DEF 全等」記為「△ABC △DEF」時，表示這兩個三角形全等，不一定表示頂點 A 的對應頂點是D，頂點 B 的對應頂點是E，頂點 C 的對應頂點是F。但在本教材中，若未特別說明時，則「△ABC △DEF」即表示各頂點的對應順序為A 對應到D，B 對應到E，C 對應到F。

△ABC △PQR，∠A＝90°， ＝10 公分， ＝6 公分，求： (1) △ABC 的周長。 因為△ABC △PQR，所以 ＝ ＝10， ＝ ＝6。 因為∠A＝90°，所以 ＝ ＝ ＝8 △ABC 的周長＝6＋8＋10＝24（公分）

(2) △PQR 的面積。 因為∠A＝90°，所以∠P＝90°。 △PQR 的面積＝ ＝24（平方公分）

對於任意兩個三角形，是否需要檢驗「三組對應邊皆分別相等」與「三組對應角皆分別相等」，才可以保證這兩個三角形全等？這是本單元準備要探討的問題，希望能用最少的條件來檢驗兩個三角形是否全等。為了方便記錄，我們用S 來代表邊（side），用 A 來代表角（angle）。

首先我們來探討兩個三角形有三組對應邊相等的情況。如圖3-18，給定三個線段a、b、c，這三個線段可以圍成一個三角形，利用尺規作圖畫出一個三角形，使得此三角形的三邊長分別等於三個線段a、b、c 的長度。

作法： (1) 畫一直線 L，並在L 上取 B、C 兩點，使得 ＝ a。 (2) 分別以B、C 為圓心，c 和b 長為半徑，在 L 的同側畫兩弧，設兩弧相交於 A 點。 (3) 連接 、 ，則△ABC就是所求的三角形。

由上面的作圖過程中可知，只要知道三角形的三邊長，便可用尺規作圖畫出一個三角形。這樣的作圖方法，稱為 SSS 作圖。

利用 SSS 作圖法完成下列各小題： 拿出附件一，仿照上面的作法，畫出一個三 角形，並以疊合的方式比較你所畫的三角形 與上圖△ABC，看看它們是否全等。 (2) 模仿課本的作法，但由不同的邊開始操作 (如先在 L 上作出與線段b或c相等長的邊) 將所畫出的三角形與△ABC比較，看看它們 是否全等。 是 是

(3) 在紙上任意畫一個三角形，利用尺規作圖的 方法畫出一個三角形，使它的三邊長分別與 原三角形的三邊長相等，並檢驗這兩個三角 形是否全等。 是

由隨堂練習中發現，利用可圍成一個三角形的三線段長，以 SSS 作圖方法所作出的三角形都是全等的。換句話說，

1.(1) 如下圖，△ABC 與△PQR 是否全等？為什 麼？ (2) ∠A 與∠P 是否相等？為什麼？ (1) 是，根據SSS 全等性質。 (2) 是，因為三角形全等，則對應角相等。

2.已知一線段長a，試利用 SSS 作圖，畫出邊長

作法：  畫一直線 L，並在 L 上取 P、Q 兩點，使得 = a。  分別以 P、Q為圓心，線段長 a 為半徑，在 L 的同側畫兩弧，設兩弧相交於 R。  連接 、 ， 則△PQR 就是 所求的三角形。

如圖3-19，已知有一個三角形的兩邊長分別等於所給的線段長 a 和 b，而這兩邊所夾的角等於所給的∠1，利用尺規作圖畫出這個三角形。

作法： (1) 作∠Q，使∠Q＝∠1。 (2) 在∠Q 的一邊取一點P，使 ＝a。 (3) 在∠Q 的另一邊取一點R，使 ＝b。 (4) 連接 ，則△PQR 就是所求的三角形。 我們將兩個邊所夾的角稱為夾角。

由上面的作圖過程中可知，只要知道三角形的兩邊長與此兩邊的夾角時，便可用尺規作圖畫出一個三角形。這樣的作圖方法，簡稱為SAS 作圖。

利用SAS 作圖法完成下列各小題： 拿出附件二，仿照上面的作法，畫出一個三 角形，並以疊合的方式比較你所畫的三角形 與上圖△PQR，看看它們是否全等。 是

(2) 依照不同的次序作圖 ( 如先作一長等於 b 的 線段當作角的一邊，再作等角，然後在角的 另一邊取一點，使得頂點到此點的線段長等 於 a ) 畫出另一個三角形，再與原來畫出的 △PQR 比較，看看它們是否全等。 是

(3) 任意畫兩個線段和一個角，利用上述作法畫 出一個三角形，使得它的兩邊分別等於已知 線段，夾角等於已知角。再用不同的次序作 出一個三角形，並比較這兩個三角形是否全 等。 是

由隨堂練習中發現，利用兩線段長和一個角，以SAS作圖方法所作出的三角形都會全等。也就是說，

1.如下圖，△ABC 與△PQR 是否全等？為什麼？ 是，根據SAS 全等性質。

2.請勾選出與△ABC 全等的三角形： (1)□ (2)□ (3)□ ˇ

3.已知∠1 與一線段長a，試利用SAS 作圖，畫出

作法： (1)作∠P，使∠P＝∠1。 (2)在∠P 的一邊取一點Q，使 ＝a。 (3)在∠P 的另一邊取一點R，使 ＝a。 (4)連接 ，則△PQR 就是所求的三角形。

如圖3-20，已知一個三角形的兩個角分別等於給定的∠1 和∠2，它們所夾的邊長等於給定的長度a，如何利用尺規作圖畫出這個三角形呢？

作法： (1) 畫一直線 L，在 L 上作 ，使 ＝ a。 (2) 分別以P、Q 為頂點， 為一邊，在 L 的同 側作∠P＝∠1，∠Q＝∠2。 設∠P 和∠Q 的另一邊相交於R，則△PQR 就 是所求的三角形。 我們將兩個角共用的邊稱為這兩個角的夾邊。

由上面的作圖過程中可知，只要知道三角形的兩個角及此兩角的夾邊時，便可用尺規作圖畫出一個三角形。這樣的作圖方法，簡稱為ASA 作圖。

請用 ASA 作圖法完成下列各小題： 拿出附件三，仿照上面的作法，畫出一個三 角形，並以疊合的方式比較你所畫的三角形 與上圖△PQR，看看它們是否全等。 是

(2) 請依不同的次序作圖 (如先作∠A 等於∠2， 然後在∠A 的一邊取一點B，使 等於 a， 最後作∠B 等於∠1)畫出另一個三角形，再 與原來畫出的 △PQR 比較，看看它們是否 全等。 是

(3) 任意畫兩個角和一個線段，利用上述作法畫 出一個三角形，使得它的兩個角分別等於已 知角，兩角所夾的邊長等於已知線段。再依 不同的次序作出另一個三角形，並比較這兩 個三角形是否全等。 是

由隨堂練習中發現，利用兩個角和一線段長，以 ASA 作圖方法所作出的三角形，都會全等。也就是說，

1.下圖中，△ABC與△PQR 是否全等？為什麼？ 是，根據ASA全等性質。

2.已知∠1與一線段長 a，試利用 ASA 作圖，畫 。

作法： (1) 畫一直線 L，在 L 上作 ，使 ＝a。 (2) 分別以P、Q 為頂點， 為一邊，在 L 的同 側作∠P＝∠Q＝∠1。 (3)令∠P 和∠Q 的另一邊相交於R，則△PQR 就是所求的三角形。

我們知道，當兩個三角形的兩角和它們的夾邊對應相等時，這兩個三角形就會全等（ASA 全等）。但如果對應相等的邊不是夾邊，而是其中一角的對邊，那麼這兩個三角形是否會全等呢？讓我們來看看下面的例題：

2 AAS 全等 如右圖，△ABC 與 △PQR中，∠A＝∠P＝73°， ∠B＝∠Q＝37°， ＝ ＝2.4 公分， (1) 求∠C 及∠R。 (2) 請問△ABC 與 △PQR是 否全等？

依據ASA 全等性質，所以△ABC 與△PQR 全等。 解 (1) 因為三角形內角和是180°，所以 ∠C＝180°－∠A－∠B ＝180°－73°－37°＝70° ∠R＝180°－∠P－∠Q (2) △ABC 與△PQR 中， ∠B＝∠Q＝37° ＝ ＝2.4 公分 ∠C＝∠R＝70° 依據ASA 全等性質，所以△ABC 與△PQR 全等。

由例題2可知，兩個三角形有兩個角及其中一角的對邊對應相等，因為第三個角也會對應相等，所以這兩個三角形根據ASA全等性質會全等。我們就得到另一個三角形全等的性質： 若兩個三角形有兩角及其中一角的對邊對應相等，則這兩個三角形就會全等，稱為AAS全等性質。

1.請勾選出與△ABC全等的三角形。 (1)□ (2)□ ˇ (3)□

2.已知長度為 a 的線段，∠1＝40°，∠2＝60°， 求作一個三角形，使得這個三角形的兩個內角 分別為40°和80°，並且這兩個角夾邊的長度為 a 。

作法： 作∠3＝180°－∠1－∠2＝180°－40°－60° ＝80°

 畫一直線 L，在 L 上作 ，使 ＝ a。  分別以P、Q 為頂點， 為一邊，在 L 的同 側作∠P＝∠1＝40°，∠Q＝∠3＝80°。  令∠P 和∠Q 的另一邊相交於 R，則△PQR 就是所求的三角形。

圖3-21中，兩個直角三角形的斜邊長都是a，且各有一股長是b；第一個三角形的另一股是c，第二個三角形的另一股是d。

由勾股定理可得 所以b2＋c2＝b2＋d2，得c2＝d2。 因為c、d 皆為正數，所以c＝d。 利用SSS全等性質，可知這兩個三角形會全等。我們得到以下的結論： 若兩個直角三角形的斜邊和一股對應相等，則這兩個三角形就會全等，稱為 RHS 全等性質。

RHS中的 R 代表直角（right angle），H 代表斜邊（hypotenuse），S 指另一邊。

下圖中，直角△ABC 與直角△PQR 是否全等？為什麼？ 是，根據 RHS 全等性質。

從 RHS 全等性質得知，兩個三角形如果有兩組邊對應相等，加上其中一組對應邊的對角是直角，則這兩個三角形就會全等。但若其中一組邊的對角並不是直角，只有對應相等，則這兩個三角形是否仍會全等？

如圖3-22，給定一個角∠1 與兩線段長 a、b（a＞b），試利用尺規作圖畫出一個三角形，使得它的兩邊分別等於 a 和 b，且邊長 b 所對的角等於∠1。

作法： (1) 畫一直線 L，在 L 上取一點 P。 (2) 以 P 為頂點，L 為角的一邊，作∠XPY＝∠1。 (3) 在∠XPY 的邊 上取一點Q，使 ＝a。 (4) 以 Q 為圓心，b 為半徑畫弧，交∠XPY 的另一 邊 於 R 與 S 兩點。 (5) 連接 、 ，可畫出符合條件的 △PQR 和 △PQS。

由上面的作圖過程中可知，當我們知道三角形的兩邊長 a、b（a＞b）與其中較短邊 b 的對角時，所畫出來的兩個三角形△PQR和△PQS 並不全等。

1.上面的作圖條件中，如果 b 過短時，所作 的弧與∠XPY 的另一邊沒有交點，是否可 以形成一個三角形？ 上面的作圖條件中，如果 b 過短時，所作的弧與∠XPY 的另一邊沒有交點，無法形成一個三角形。

2.上面的作圖條件中，如果 b 的長度大於 a， 所作的弧與∠XPY 的另一邊會有幾個交點？ 這些交點與 P、Q 兩點會形成幾個三角形？ 上面的作圖條件中，如果b的長度大於a，所作的弧與∠XPY的另一邊只會有一個交點。此交點與 P、Q 兩點會形成唯一的一個三角形。

兩個三角形全等，有SSS、SAS、ASA、AAS、 RHS 等性質，我們將利用這些全等的性質來檢驗兩個三角形是否全等，並協助我們去判斷兩三角形的對應邊或對應角是否相等。

3 全等三角形 如右圖，在△ABC中，如果 ， ，且 = ，試說明△BCD與△CBE全等。

在△ BCD與△CBE中， ∠BDE= ∠CEB=90°( ， ) ， = (已知) ， = (公用邊) ， △ BCD △CBE ( RHS全等 )

我們可以在圖3-24的△ABC與△ABD兩個三角形中，將其相等的對應邊與對應角用記號標出來。 如圖3-23， = ， ∠CAB= ∠DAB。 我們可以在圖3-24的△ABC與△ABD兩個三角形中，將其相等的對應邊與對應角用記號標出來。 圖3-23 圖3-24

哪一個全等的性質可以說明圖 3-24 中 △ABC △ABD？在□中打： □ SSS □ SAS □ ASA □ AAS □ RHS 

4 垂直平分線性質 如右圖，直線L是 的垂直平分線，A 是直線 L 上任意一點，試利用三角形全等性質說明 ＝ 。

在△ABD 與△ACD 中， ∠ADB＝∠ADC＝90° （直線 L 是 的垂直平分線） ， ＝ （直線 L 是 的垂直平分線）， 說明 在△ABD 與△ACD 中， ∠ADB＝∠ADC＝90° （直線 L 是 的垂直平分線） ，　　＝　 （直線 L 是 的垂直平分線）， ＝ （公用邊）， 因此△ABD △ACD （SAS 全等）。 所以 ＝ （對應邊相等）。

如右圖， ＝ ，自 A 點作直線 L 垂直 ，且交 於 D，可得兩個三角形△ABD 和△ACD。 (1)在下圖的兩個三角形中，依照上述 條件，將各組相等的對應邊或對應. 角用記號標出來。

(2) 哪一個全等的性質可以說明△ABD △ACD ？在□中打 ： □ SSS □ SAS □ ASA □ AAS □ RHS 和 是否相等？ □ 是 □ 否 (4) 直線 L 和 有什麼關係？ □ 垂直不平分 □ 平分不垂直 □ 垂直且平分   

從上面的例題與隨堂練習中，我們得到，若 A在 的垂直平分線上，則 ＝ ；反之，若 A 為 外一點，且 ＝ ，則 A 在 的垂直平分線上。 也就是說， 一線段的垂直平分線上任一點到此線段的兩端點距離相等；反之，若一點到某線段的兩端點距離相等，則該點在此線段的垂直平分線上。

5 等腰三角形性質 如右圖，△ABC 為等腰三角形， ＝ ， 是∠BAC 的角平分線，交 於 D 點。 說明△ABD 和 △ACD 全等。 如果 ＝13， ＝12，求 BC 的 長。

(1) 在△ABD 與△ACD 中， ＝ （已知）， ∠BAD＝∠CAD （ 是∠BAC 的角平分線）， ＝ （公用邊）， ＝ （已知）， ∠BAD＝∠CAD （ 是∠BAC 的角平分線）， ＝ （公用邊）， 所以△ABD △ACD （SAS 全等）。 (2) 因為△ABD △ACD， 所以∠ADB＝∠ADC （對應角相等）。 又因∠ADB＋∠ADC＝180°， 所以∠ADB＝∠ADC＝90°， 說明

＝ = = =5 因為 ＝ （對應邊相等）， 所以 ＝2 ＝10。

△ABC 中， ＝ ＝25， ＝14，求△ABC 的面積。 如右圖，過 A 點作∠BAC 的角平分線 L，且 L 交 於 D 點， 則 = = 7， ∠ADB=∠ADC =90 ° = =24 △ABC面積為 =168。

6 角平分線性質 如右圖， 為 ∠BAC 的角平分線 ，P 在 上， ⊥ ， ⊥ 。請利用三角形全等的性質來說明 ＝ 。

△APD 與△APE 中： ∠ADP＝ ＝ ， （ ⊥ ， ⊥ ） ∠PAD＝ ， （P在∠BAC的角平分線上） ＝ ，（ ） （ ⊥ ， ⊥ ） ∠PAD＝ ， （P在∠BAC的角平分線上） ＝ ，（ ） △APD △APE ( AAS全等 )。 所以 ＝ 。（對應邊相等） 說明 ∠AEP 90° ∠PAE 公用邊

如右圖， P 為 ∠BAC 內部一點， ⊥ ， ⊥ ， 若 ＝ 。 (1) 哪一個全等性質可以說明△PAD △PAE？ (2) ∠PAD和∠PAE是否相等？為什麼？ RHS全等性質。 是。 因為△APD △APE， 所以∠PAD =∠PAE (對應角相等)。

從上面的例題與隨堂練習中可以得到，若 P 點在∠BAC 的角平分線上，則 P 到∠BAC 的兩邊距離相等；反之，若P為∠BAC 內部一點，且P到∠BAC 的兩邊距離相等，則P在 ∠BAC 的角平分線上。

7 全等三角形推理的應用 如右圖，正方形 ABCD中，E是 的中點，延長 交 的延長線於F。若 =6，則 的長是多少？

△ABE 與△FCE中， 因為∠ABE ＝∠FCE ＝ 90°， ＝ ， ∠AEB ＝∠CEF， 所以△ABE △FCE （ASA 全等）， ＝ ， ∠AEB ＝∠CEF， 所以△ABE △FCE （ASA 全等）， 因此 ＝ 。 因為 ＝6， ＝3， ＝ ＝ ＝ ， 所以 ＝ 。 解 △ABE 與△FCE 全等的條件： (1) ABCD 是正方形 (2) E 是 的中點 (3) 對頂角

如右圖，△ABC 為正三角形，E 在 上 ，且△BDE 為正三角形，∠BAE＝25°。 (1) 試填下列空格，來說明△ABE 與△CBD 全等： 在△ABE 與△CBD 中， = ( 因為 : ) △ABC 為正三角形 △BDE 為正三角形

∠ABE＝∠CBD＝60° （因為： ） 所以△ABE △CBD （因為： 全等性質） (2) ∠EDC 是多少度？ 正三角形一內角為60° SAS ∠CDB＝∠AEB＝180°－60°－25°＝95° ∠EDC＝∠CDB－∠EDB＝95°－60°＝35°

1. 全等三角形性質：全等三角形的對應邊相等 ，對應角也相等。 2. 三角形全等的判別方法： (1) SSS 全等性質：若兩個三角形的三邊對應 相等，則這兩個三角形全等。 (2) SAS 全等性質：若兩個三角形的兩邊和它 們的夾角都對應相等，則這兩個三角形全 等。

(3) ASA 全等性質：若兩個三角形的兩個角和它們的所夾的邊都對應相等，則這兩個三角形全等。 (4) AAS 全等性質：若兩個三角形有兩角及其中一角的對邊對應相等，則這兩個三角形全等。 (5) RHS 全等性質：若兩個直角三角形的斜邊和一股對應相等，則這兩個三角形全等。

4. 垂直平分線性質：一線段的垂直平分線上任 一點到此線段的兩端點距離相等；反之，若一點到某線段的兩端點距離相等，則該點在此線段的垂直平分線上。 5. 角平分線性質：角平分線上任一點到角的兩邊距離相等；反之，若有一點到角的兩邊相等，則該點在角平分線上。

不要努力成為一個成功者，要努力成為一個有價值的人。 ——愛因斯坦（Albert Einstein， 1879-1955）

3-2 自我評量 1.下列各組圖形中，都有一些用彩色標出的線段 或角，如果它們有相同的顏色（黑色除外）， 則表示它們的長度或角度相等。請對照左邊每 一組全等的圖形，在右邊找出適合的全等性質 ，並把它們連起來。

ASA 全等 AAS 全等 SSS 全等 RHS 全等 SAS 全等 ●

2. 如圖，設△ABC △PQR，∠A＝60°，∠R＝30°， ＝6公分， ＝ 公分， (1) 求∠B 及∠P。 (2) 求 的長。 (3) 求△ABC 的面積。

因為△ABC △PQR，所以∠P＝∠A＝60°， ∠C＝∠R＝30°， ∠B＝∠Q＝180°－60°－30°＝90° (2) ＝ ＝6（公分） (3) △ABC 的面積＝ ＝ ＝ (平方公分)

3.如右圖， 和 交於O點， = ， = 。 (1) 在右圖的兩個三角形中，依照上述條件，將各 組相等的對應邊或對應角用記號標出來。 (2)哪一個全等性質可以說明△ABO △CDO？ (1) (2) SAS 全等性質。

4.如右圖，在正方形 ABCD 中， = 。 (1)試填下列空格，來說明△ABE 與△ADF 全 等： 在△ABE 與△ADF 中， = (因為： ) = ( 已知 ) ∠ABE＝∠ADF＝90° （因為: ) 所以△ABE △ADF （因為 全等性質 ) ABCD為正方形 ABCD為正方形 SAS

(2) 如果∠BAE＝20°，則∠EAF 是多少度？ 因為∠DAF＝∠BAE＝20° （對應角相等）， 所以∠EAF ＝90°－20°－20° ＝50°。

5.如右圖，直線 L 是 的垂直平分線， P、Q 皆在直線 L 上。 (1)在右圖△APQ 和△BPQ 兩個三角形中， 將 各組相等的對應邊或對應角用記號標出來。 (2)哪一個全等性質可以說明△APQ △BPQ？ (3) ∠PAQ 和∠PBQ 相等嗎？為什麼？

(1) (3) 是。因為對應角相等。 (2) SAS 全等性質。

6.如右圖，矩形ABCD中，E在 上，∠DAE 的角平分線交 於 F 點，已知 ＝6 公分 ， ＝10 公分， ＝8 公分。 (1) 求 的長。 (1) AE＝ = 10 ( 公分 )

(2) 是。 因為 = = 10， ∠EAF＝∠DAF （ 為∠DAE 的角平分線）， = ， 所以△AEF △ADF （SAS 全等性質）。

7.已知兩線段的長分別是 a、b，試利用 RHS 作圖畫出一個直角三角形，使其斜邊長為a，其中一股長為b。

作法： 畫一直線 L，並在 L 上取 B、C 兩點，使得 ＝b。 自 C 點作一直線 M 垂直 L。 以 B 為圓心，a 為半徑畫弧，交直線M於A。 連接 、 ， 則△ ABC 就是所求的三角形。