控制系统分析与设计的 状态空间方法1 ——基础部分 自动控制原理（现代控制理论） 控制系统分析与设计的 状态空间方法1 ——基础部分 （涉及第二、三、七章）

经典控制理论的特点 图形方法为主，物理概念强，直观简便，实用性强 控制结构简单，设定和调整参数少，且调整方针明确 以简单的控制结构获取相对满意的性能 主要缺点： 需反复“试凑”，控制结构及性能一般不是最优 仅适用于单变量（SISO）线性定常系统，一般不能用于多变量系统、时变系统或非线性系统 只考虑系统输入与输出的关系,不涉及系统的内部状态

现代控制理论（状态空间方法）的特点 统一表达和处理单、多变量系统，可以分析时变系统和非线性系统； 核心是状态变量的能控性、能观性； 通常寻求最优控制性能； 重要成果有极点配置、状态观测器、最佳调节器、最优控制等。 主要缺点： 对模型精度要求高，对模型误差及未知扰动的鲁棒性较差； 状态反馈难以直接实现，而采用状态观测器使控制结构复杂、 性能变差。

状态空间方法的主要内容 线性系统状态空间描述 —— 数学模型（2章） 线性变换与对角规范型 —— 模型的结构化简（3、7章） 状态空间描述下的运动分析 —— 分析的基础（3章） 李雅普诺夫稳定性理论 —— 稳定性分析（自学） 状态可控性和可观性 —— 核心概念（7章） 状态空间描述下系统的结构分析 —— 可控或可观状态变量的划分（自学） 状态反馈和极点配置、最优控制、状态观测器设计 —— 理论应用 （8章） 主要讲SISO线性定常系统

一、线性系统的状态空间描述 状态变量：完全描述系统行为的最小一组变量 称为状态向量 构成n维状态空间 x3 x(t1 ) x(t0 ) 3维状态空间 x(t0 ) x(t1 ) x(t ) 构成n维状态空间 随时间变化产生状态轨迹

1. 系统的状态空间表达式 例: R-L-C串联网络 （输入u，输出uc） 状态方程 实际系统的阶数取决于独立储能元件的个数，一般 阶数=个数（有例外），如上例。如没有电感或电容，则为一阶；两者都没有，则为零阶。 输出方程

状态变量的选择是否唯一？ 不唯一! 由R-L-C网络的输入输出微分方程求 状态方程 该方法具有一般性,可用于输入输出高阶微分方程 输出方程

即同一系统不同状态变量之间存在线性变换关系（化简的基础） 同一系统不同状态变量之间的关系？ 前例R-L-C网络的两种状态变量为 即同一系统不同状态变量之间存在线性变换关系（化简的基础）

线性系统状态空间表达式的一般形式 系统 u(t) y(t) A、B、C、D 为常数阵  定常系统 A、B、C、D 含时变参数  时变系统

线性系统状态空间模型的结构图 B ∫ C A D 状态空间描述的示意图 状态方程 … 输出方程

2. 两种模型的相互转化 由状态空间模型转化为传递函数（阵） 由微分方程或传递函数转化为状态空间模型 应用MATLAB进行模型之间的相互转化（自学）

由状态空间模型转化为传递函数（阵） 系统 u(t) y(t) G(s) 注意！

例: R-L-C串联网络（输入u，输出y=uc） 由同一系统的不同状态空间表达式导出的传递函数（阵）必然相同

这种转换不唯一! 由微分方程或传递函数转化为状态空间模型 系统 u(t) y(t) G(s) U(s) Y(s) A,B,C,D 这种转换不唯一! 转化的实质：寻找在外部特性上等价的状态空间表达式，使其满足输入输出微分方程或传递函数 G(s) = C(sI-A)-1B+D 并称该状态空间表达式为该传递函数的一个实现。 方法：直接分解法、极点分解法、结构图分解法 （自学）

例: 求3阶微分方程的状态空间表达式 反映一般规律! 系统 u(t) y(t)

一般规律（输入端不含导数项）

输入端含导数项时如何建立状态空间表达式？ 即 可互换 输入端含导数项时如何建立状态空间表达式？

基于传递函数的直接分解法： 设 G(s) 为SISO系统 对该方程的处理类同前面！ A,B,C,D y(t) u(t) 系统 U(s) Y(s) A,B,C,D 设 G(s) 为SISO系统 引入中间变量 h(t) 对该方程的处理类同前面！

称为（第二）可控规范形

思考：若传递函数分子分母的阶次相等 如何导出状态空间模型的可控规范形？

练习 B2.24(1),(2)； B2.25； B2.26; B2.27

二、线性变换与对角规范形 同一系统不同状态空间表达式之间的关系？ 设系统的两种状态空间表达式为 和 非奇异线性变换为 则有 y(t) u(t) y(t) 和 非奇异线性变换为 则有

非奇异线性变换的重要性质 （1）线性变换不改变系统的特征值 ∵变换前后有 即变换前后的特征多项式相同

（2）线性变换不改变系统的传递函数 变换关系： 变换前 变换后为

矩阵 A 的对角化 （1） 矩阵A的特征值λi 互异（可变换为对角形） 设变换矩阵P为

变换矩阵P的计算: 先求矩阵 A 的特征值λi，i=1, 2, … , n 由 (λi I－A)Pi = 0 确定每一个λi 所对应的特征向量 Pi ， i = 1, 2, … , n P = [ P1 P2 … Pn ] 若矩阵A为可控规范形，则实现对角化的一个变换阵为Vandermonde矩阵，即 自证

试求对角化变换矩阵P。 解：

试求对角化变换矩阵P。 解： 注 特征向量不唯一 此处满足比例关系

注：关于独立解向量的举例说明

返回

（2）矩阵A 有多重特征值（可变换为约当标准形） 其特征值为λ1=2，λ2 =λ3 = 1，求将矩阵A变换为约当形的变换矩阵P。 解： 设属于λ1的特征向量为P1

取p13=1 P3×常量不再是特征向量

三、状态空间描述下的运动分析

先考虑最简单的情况 零输入响应 零状态响应（卷积）

1. 齐次状态方程的解 模仿单变量方程的求解

2. 状态转移矩阵的性质（自证） 分段转移特性 求逆容易 类似（3）

3. 状态转移矩阵的计算 ①　拉氏变换法

②　对角标准形法 设矩阵 A 的特征值相异，对角变换为

解：1）用拉氏变换法计算

2）利用对角形变换法计算

4. 非齐次状态方程的解

参考前面的例

练习 B3.4（1）； B3.5（1）; B3.7

四、状态可控性 问题：状态变量能否通过输入 u 任意改变？ 线性系统状态空间模型的结构图 B ∫ C A D

显然，通过 u 可以控制状态变量 iL，但不能控制 uc，所以系统是不完全可控的。

虽然 u不能直接控制 uc，但可以通过控制 iL 来间接影响uc， 可以证明系统是完全可控的。

可控性定义 为何不研究输出y(t)是否可控？

- u(t) R1 R2 C2 + y x1 x2 C1 可以证明，R1 C1 = R2 C2 时系统不可控（直观解释？）; 但 R1 C1 ≠ R2 C2 时系统完全可控。

较复杂的情况： 如图所示的系统是否可控？ （Kalman问题） 难以直观判断！ - 一般情况下，对于任意给定的 A、B，系统是否可控？ u(t) R1 R2 L + - y x1 x2 C 如图所示的系统是否可控？ （Kalman问题） 难以直观判断！ 一般情况下，对于任意给定的 A、B，系统是否可控？

线性定常系统的可控性判据 1. 凯莱-哈密尔顿（Cayley-Hamilton）定理 设特征多项式为

将上述结果应用于状态转移矩阵可得

2. 可控性判据

（充分性证明可参考胡寿松教材） 结论：线性定常系统完全可控的充要条件为 Qc ：可控性判别阵; 下标c代表 Controllability。

关于可控性判别阵的说明：

重新讨论前面的例： - u(t) R1 R2 C2 + y x1 x2 C1 R1 C1 ≠ R2 C2 时 det Qc ≠0，Qc 满秩，系统状态完全可控； 但 R1 C1 = R2 C2 时 det Qc =0， Qc 不满秩，系统状态不完全 可控。

Kalman问题：如图所示系统是否可控？ u(t) R1 R2 L + - y x1 x2 C R1 R2 C ≠ L 时，Qc 满秩，系统状态完全可控； 但 R1 R2 C = L 时， Qc 不满秩，系统状态不完全可控。

例：判断下列多输入系统的可控性 解： ∵rank B = 2，∴ 简化判别阵为 系统不可控

问题：反馈控制需要状态信息，但 x 通常无法直接测取，能否通过输出 y 确定状态变量？ 五、状态可观测性 问题：反馈控制需要状态信息，但 x 通常无法直接测取，能否通过输出 y 确定状态变量？ 线性系统状态空间模型的结构图 B ∫ C A D

显然，通过 y 可以确定状态变量 x1 ( iL )，但不能确定 x2 ( uc )，所以系统是不完全可观测的。

- u(t) R1 R2 C2 + y x1 x2 C1 可以证明，R1 C1 = R2 C2 时系统不可观测（直观解释？） 但 R1 C1 ≠ R2 C2 时 系统完全可观测。

Kalman问题：如图所示系统是否可观测？ u(t) R1 R2 L + - y x1 x2 C 难以直观判断！

状态可观测性定义： 对于任意给定的输入u(t) ，如果能在有限的时间区间[ t0, t1]内，根据输出y(t) 的量测值唯一地确定系统的初始状态x(t0) ，则称系统是可观测的。

线性定常系统的可观测性判据 D = 0 根据Cayley-Hamilton定理 Qo ：可观测 性判别阵 下标o代表 Observability。

结论：线性定常系统完全可观测的充要条件为 说明：

重新讨论前面的例： R1 C1 ≠ R2 C2  可观测 R1 C1 = R2 C2  不可观测 - u(t) R1 R2 C2 + y x1 x2 C1 R1 C1 ≠ R2 C2  可观测 R1 C1 = R2 C2  不可观测 同可控性条件

Kalman问题：如图所示系统是否可观测？ u(t) R1 R2 L + - y x1 x2 C R1 R2 C ≠ L  可观测 R1 R2 C = L  不可观测 同可控性条件

注：非奇异线性变换不改变系统的可控性 和可观测性 注：非奇异线性变换不改变系统的可控性 和可观测性 设变换关系为 则变换后的可控性判别阵为 即变换前后的可控性判别阵同秩 直观理解？ 可观测性的情况类似（自证）

对偶性原理

六、可控性、可观测性与传递函数

可控性判别阵为 显然满秩，系统状态可控。 上述结论可推广到任意 n 阶系统，表达为可控标准形的系统一定是状态可控的。

可观测性判别阵为 上述结论可推广到任意 n 阶系统，表达为可观测标准形的系统一定是状态可观测的。

可观测标准型的一般表达式 为可控标准形的对偶实现

传递函数零极点与可控、可观性 状态可控

可控标准形实现的可观测性判别阵为 所以当系统零点与极点相同时，状态不完全可观测，反之则完全可观测。 上述结论可推广到一般情况，系统存在零极点对消时，按可控标准形实现的系统虽然是状态完全可控的，但不完全可观测；没有零极点对消时则既可控又可观测。

所以当系统存在零极点对消时，状态不完全可控，反之则完全可控。该结论可推广到一般情况。 可观测 按可控标准形实现的 可观测性判别阵 对应的可控性判别阵为 所以当系统存在零极点对消时，状态不完全可控，反之则完全可控。该结论可推广到一般情况。

系统极点为-1、-2、-3，有零极点对消。 状态可控 所以系统状态不可观测。

状态 可观测 所以系统状态不可控。

结论 系统传递函数有零极点对消时，系统状态一定是或者不可控、或者不可观测、或者既不可控又不可观测，具体取决于状态变量的选择。 系统传递函数没有零极点对消时，系统状态一定是既可控又可观测的。

练习 B7.1（1），（3）； （只用秩判据） B7.4（1），（3）； B7.7（1）

“状态空间法1”习题汇总 B2.24(1), (2)；B2.25； B2.26; B2.27 B3.4（1）； B3.5（1）; B3.7