概 率 统 计 主讲教师 叶宏 山东大学数学院

§2.2 离散型随机变量及分布律 定义 个或可列个, 则称 X 为离散型随机变量 描述X 的概率特性常用概率分布或分布律 即 X 或 P

或 X ~ 分布律的性质 非负性 归一性 用性质可以判断 是否为分布律

离散型随机变量的分布函数 其中 . 值 xk 处发生间断, 间断点为第一类跳跃间 断点,在间断点处有跃度 pk . 其中 . F( x) 是分段阶梯函数, 在 X 的可能取 值 xk 处发生间断, 间断点为第一类跳跃间 断点,在间断点处有跃度 pk .

例1 设汽车在开往甲地途中需经 过 4 盏信号灯, 每盏信号灯独立地 以概率 p 允许汽车通过. 令 X 表示 例1 设汽车在开往甲地途中需经 过 4 盏信号灯, 每盏信号灯独立地 以概率 p 允许汽车通过. 令 X 表示 首次停下时已通过的信号灯盏数, 求 X 的概 率分布与 p = 0.4 时的分布函数. 解 出发地 甲地

k pk 0 1 2 3 4 代入 0.6 0.24 0.096 0.0384 0.0256 ] • ] ] • x ] • 1 2 3 4 x

x F( x) 1 • • o • o • o • o o • 1 2 3 4

用分布律或分布函数来计算事件的概率 例2 在上例中, 分别用分布律与分布函数计 算 解 或 此式应理解为极限

例3. 设随机变量X的概率函数为： k =0,1,2, …, 试确定常数a . 解: 依据概率函数的性质: P(X =k)≥0, a≥0 欲使上述函数为概率函数 应有 a≥0 从中解得 这里用到了常见的 幂级数展开式

常见离散型随机变量的分布 超几何分布 1.超几何分布 例 设有 N 件产品，其中有 M 件次品，现从中任取 n 件，用 X 表示其中的次品数，求其分布律。 超几何公式 超几何分布

例 某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中率是 p，求所需射击发数X 的分布律. 2.几何分布 例 某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中率是 p，求所需射击发数X 的分布律. 解: 显然，X 可能取的值是1,2,… ， Ak = {第k发命中}，k =1, 2, …， P(X=1)=P(A1)=p,

若随机变量X的概率分布如上式，则称X具有几何分布. 不难验证:

X 0 1 Pk 1 - p p 0 < p < 1 凡试验只有两个结果, 常用0 – 1 应用 场合 3. 两点分布（0 – 1 分布） X 0 1 Pk 1 - p p 0 < p < 1 或 凡试验只有两个结果, 常用0 – 1 应用 场合 分布描述, 如产品是否合格、人 口性别统计、系统是否正常、电力消耗 是否超标等等.

4. 二项分布 n 重Bernoulli 试验中, X 是事件A 在 n 次试 验中发生的次数 , P (A) = p ,若 则称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作 0–1 分布是 n = 1 的二项分布

二项分布的取值情况 设 .039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .0000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 由图表可见 , 当 时， x P • 1 2 3 4 5 6 7 8 分布取得最大值 0.273• 此时的 称为最可能成功次数

设 .01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 < .001 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ~ 20 • x P 1 3 5 7 9 2 4 6 8 10 20 由图表可见 , 当 时， 0.22 • 分布取得最大值

二项分布中最可能出现次数 当( n + 1) p = 整数时,在 k = ( n + 1) p与 ( n + 1) p – 1 处的概率取得最大值 当( n + 1) p  整数时, 在 k = [( n + 1) p ]处的概率取得最大值 [x] 表示不超过 x 的最大整数

令X 表示命中次数,则 X ~ B(400,0.01) 例 独立射击400次, 命中率为0.01, 求 (1) 最可能命中次数及相应的概率； 例 独立射击400次, 命中率为0.01, 求 (1) 最可能命中次数及相应的概率； (2) 命中次数不少于3次的概率. 令X 表示命中次数,则 X ~ B(400,0.01) (1) k = [( n + 1)p ] = [( 400+ 1)0.01] =4 问题 如何计算 泊松近似

若 其中 是常数，则称 X 服从参数为 的泊松(Poisson)分布. 或 记作 在某个时段内： 5. 泊松分布 应用场合 市级医院急诊病人数； 某地区拨错号的电话呼唤次数； 某地区发生的交通事故的次数. 一本书一页中的印刷错误数.

泊松分布的图形特点： 泊松分布中最可能出现次数 当λ= 整数时,在λ与λ– 1 处的概率取得最大值 当λ 整数时, 在 [λ]处的概率取得最大值

例 一家商店由过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数服从参数λ=5 的泊松分布，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进该种商品多少件？ 设该商品每月的销售数为X ，月底应进m件商品 P(X≤m)>0.95 P(X>m) ≤ 0.05 查泊松分布表得 m+1=10, m=9件

二项分布的泊松近似 当试验次数n很大时，计算二项概率变得很麻烦，必须寻求近似方法. 历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的. 我们先来介绍二项分布的泊松近似，后面我们将介绍二项分布的正态近似.

Possion定理 设 , 则对固定的 k 结论 二项分布的极限分布是 Poisson 分布 若X ~ B( n, p), 则当n 较大，p 较小, 则 n > 10, p < 0.1时近似效果较好

利用Poisson定理再求前例 令X 表示命中次数,则 X ~ B(400,0.01) (2) 命中次数不少于3次的概率. (2) 命中次数不少于3次的概率. 令X 表示命中次数,则 X ~ B(400,0.01) 泊松近似 查附表3泊松分布表

例 保险公司里有2500人参加某种事故保险，每人每年付120元保险费，在一年中一个人发生此种事故的概率为0 例 保险公司里有2500人参加某种事故保险，每人每年付120元保险费，在一年中一个人发生此种事故的概率为0. 002，发生事故时家人可向保险公司领得20000元. 问： (1) 对该项保险保险公司亏本的概率有多大？ (2) 该项保险的利润不少于10万元的概率有多大？ 令X 表示出事故人数,则 X ~ B(2500,0.002) 亏本 泊松近似 几乎不亏本 利润不少于10万 可能性极大