普通物理学教程 力学 高等数学补充知识

一、微积分基础知识 1. 函数，导数与微分 函数：自变量，因变量，定义域，对应法则，值域等；函数的一些基本性质（如连续性，对称性，周期性，奇偶性等），（基本）初等函数等。 导数：设函数y=f(x)当自变量在点x处有一增量△x时，函数y相应的有一改变量△y=f(x+ △x )-f(x)，那么当△x趋于零时，若比值△y/ △x的极限存在（为一确定的有限值），则这个极限为函数y=f(x)在点x处导数，记作： 这时称函数y=f(x)在点x处是可导的。

导数的几何意义： 　　函数 y=f(x) 在 x 处的导数 f’(x) 等于 曲线 y=f(x) 在点x处的切线的斜率，即：                                           　　在物理上，动点的位置矢量对时间的一阶导数就是该动点的速度矢量；位置矢量对时间的二阶导数（也是：速度矢量对时间的一阶导数）是动点的加速度矢量，详见运动学部分——速度矢量与加速度矢量。

注意：以下是易混淆的两个表示： 和 　　前者：只要是在上面加一点的，都是对时间的一阶导数，即： 　　　，当然加两点，则是对时间的二阶导数，即： 　　后者：永远是函数对自变量的导数。如对于函数y=y(x) ，则

　　若自变量有多个，则应该用偏导， 　　是函数y=y(x,t) (同时又有x=x(t) )对时间的偏导。（注意： 　　　　　　　　，对于多元函数，一般　　　　　 ）。

(8) (csc x)=-csc x cot x， (9) (ax)=ax ln a ， (10) (ex)=ex， ， 基本求导公式： (1) (C)=0， (2) (xm)=m xm-1， (3) (sin x)=cos x， (4) (cos x)=-sin x， (5) (tan x)=sec2x， (6) (cot x)=-csc2x， (7) (sec x)=sec x tan x， (8) (csc x)=-csc x cot x， (9) (ax)=ax ln a ， (10) (ex)=ex， ，

求导法则 　函数的和、差、积、商的求导法则： (1) (u  v)=u  v， (2) (Cu)=Cu (C是常数)， (3) (uv)=uv+u v， 反函数求导法： 复合函数的求导法则：

解：函数y=lntan x是由y=ln u，u=tan x复合而成， 复合函数的求导法则： 例1 y =lntan x ， 求 dx dy 。 解：函数y=lntan x是由y=ln u，u=tan x复合而成，

例2 y = 3 x e ， 求 dx dy 。

例3 2 1 sin x y + = ， 求 dx dy 。

微分：若函数 y=y(x) 的改变量可表示为： 式中dx=△x，则此改变量的线性主部A(x)dx称为函数y的微分，记作： 　　函数y=y(x)的微分存在的充分必要条件是：函数存在有限的导数 y’=f’(x) ，这时函数的微分是：

2. 不定积分 不定积分：对函数 y=y(x) ，如果在给定区间[a,b]上有 则其逆运算就是求 G(x) 的不定积分（即：求 G(x) 的原函数）： 上式中可以看出： G(x) （被积函数）的原函数为 y(x)+C，不止一个。其中， C 为积分常数。

3. 定积分 由上面的不定积分,再加上一定的初始条件，被积函数的原函数就是唯一确定的。 　　几何意义： 由 y=f(x) 的函数曲线，初始条件表示的直线，x 轴所围成的曲边梯形的面积。 牛顿——莱布尼兹公式（Newton-Leibniz formula）： 　　若函数 y=f(x) 在区间 [a,b] 上连续，或分段连续，则 y=f(x) 在 [a,b]上有原函数，设 F(x) 是 f(x) 在 [a,b] 上的一个原函数，则 (定积分与不定积分的内在联系 )

基本积分表 k x C (k是常数)， ln |x|C ， arctan x C ， arcsin x C ， cos x C ，

基本积分表

不定积分的性质 性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和，即 性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和，即 性质2 求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，即

例4 例5

例6 例7  arctan x ln | x | C ． 例8 定积分

三、矢量分析基础(由于物理学研究的需要而产生了矢量) 1.矢量的定义： 具有一定的大小和方向，且加法遵从平行四边形法则的量。 矢量表示： 2.矢量的加法、减法： 　　矢量的加法应满足平行四边形法则， 而减法是加法的逆运算，可用三角形法则；如图所示。 一般计算矢量的加法、减法时，对各分量分别相加减：

3.矢量的数乘 以实数 　 乘以矢量 　 称为矢量的数乘，记作 　 ，显然有： 　　实数 　只是一个系数，矢量的数乘可以看作是把原矢量的模伸缩为原来的 　 倍。 　 的方向为： 　 　时，与　方向不变；　 时，与　方向相反。 4. 矢量的正交分解 　　把矢量分解成沿着几个正交单位矢量方向上的分矢量，各分矢量按照平行四边形法则，又可合成原矢量。

（1）矢量的标积（又称：数量积、点乘、点积、内积）： 5. 矢量的标积和矢积 已知两矢量　 和　 ，夹角记作： 　　 ，则： （1）矢量的标积（又称：数量积、点乘、点积、内积）： （结果为标量 ） （2）矢量的矢积（又称：叉乘、叉积、外积）： 　　∴ 矢积 　　 的结果为矢量；大小为以 A、B为边的平行四边形的面积：

6.矢量对 t 的导数 对矢量函数（简称矢函数） ，如果极限： 　　存在，就称它为矢函数 　　的导数，记作 　 　　　　，矢函数 　　的导数仍为矢函数，从而还可像标量函数一样求其二阶导数、高阶导数。 　　对矢量函数求导数，一般是对它的各个分量分别求导，这时矢量导数就变成了标量函数的求导，但是如果坐标也在变，也必须对单位矢量求导，如自然坐标系中的切向单位矢量和法向单位矢量。